【347524】12.4 用公式法进行因式分解（3）

12.4 用十字相乘法进行因式分解

第三课时

1. 导入激学

  你还记得什么是因式分解吗？ 还记得二次三项式x²-4x+4是如何进行因式分解的吗？

   你会对二次三项式x²+5x+6进行因式分解吗？

二、导标引学

学习目标：

1、理解十字相乘法的概念和意义，会用十字相乘法把形如“x²+px+q”的二次三项式进行因式分解。

2、会用十字相乘法把形如“ax²+px+q”的二次三项式进行因式分解。

3、渗透化归数学思想和部分与整体的数学思想，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性、层次性。

学习重难点：熟练掌握十字相乘法因式分解；结合运用各种方法完成因式分解。

三、学习过程

（一）导预疑学

利用5分钟，按预学要求完成下列问题，小组讨论后找出疑难问题。

1、预学核心问题：（1）十字相乘法的概念和意义 （2）会用十字相乘法进行因式分解；

2、预学检测:

计算：（1）（x+2）（x+1）=__________; (2) （x+2）（x﹣1）=__________

(3)（x﹣2）（x﹣1）=_________; (4) （x+2）（x+3）=__________

(5)（x﹣2）（x+3）=__________; (6) （x﹣2）（x﹣3）=__________

讨论：你是用什么方法将这类题目做得又快又准呢？试总结一个公式。

____________________________________________________________

3、预学评价质疑：通过预学，你学会了什么？还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。

（二）导问互学

问题一：用十字相乘法进行因式分解；

活动1：两个一次二项式(x+a) (x+b)的积得x²+(a+b)x+ab即(x+a) (x+b)＝x²+(a+b)x+ab,观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？

活动2：计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。根据总结出的公式将下列各式写成两个一次因式相乘的形式：

x²+(2+3)x+2×3=__________; x²+(-2-3)x+(-2)×(-3)=___________;

x²+(2-1)x+2×(-1)=_________

活动3：（1）x²﹣7x+6 （2）a²﹣4a﹣21 (3)t²﹣2t﹣8

解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？

（三）导根典学

 例1： x² + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：

　　　　　 ①竖分二次项与常数项

②交叉相乘，和相加

③检验确定，横写因式

-x + 7x = 6x

顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

例2： 将 -x²-6x+16 分解因式

知识之根探索：：形如x²+px+q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因式a、b的积，并且a+b恰好等于一次项的系数p,那么它就可以因式分解。即：x²+px+q=x²+（a+b）x+ab=(x+a)(x+b) ，特征是“拆常数项，凑一次项”，当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。

例3： 把2x²-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1 1 -3

2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1

1 ×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）

=5 =7 = -5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解： 2x²-7x+3=（x-3）（2x-1）。

例4 把6x²-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1

3 × -5

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。

例5、       因式分解 。

分析：该题可以先将（ ）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。

因为                       

-2 +[-12 ]=-14   

a  +  (-2a)=-a    3a  +（-4a）=-a

解：原式=[ -2][ -12]

        =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

知识之根探索：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。

一般地，对于二次三项式ax²+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c₁c₂，把a₁，a₂，c₁，c₂排列如下：

a₁ c₁

a₂ × c₂

a₁c₂ + a₂c₁

按斜线交叉相乘，再相加，得到a₁c₂+a₂c₁，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a₁c₂+a₂c₁=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a₁x+c₁与a₂x+c₂之积，即

ax²+bx+c=（a₁x+c₁）（a₂x+c₂）

像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

（四）导标达学

目标1：将下列各式因式分解：

（1） x²-8x+15= （2）m²+4m﹣12＝

（3）x²+4x+3= （4）x²-2x-3=

（5）x⁴+6x²+8= （6）x²-3xy+2y²=

（7）x⁴ - 3x³ - 28 x²= （8）a²x²+ 7ax - 8=

目标2：（1）2x²-5x-12 （2）3x²-5x-2 （3）6x²-17x+5

（4）7x²+x-6 （5）12x²-13x+3 （6）4x²+24x+27

（7）8m² - 22mn +15n² （8）10x²-21xy+2y² （9）3a²b²- 17abxy + 10 x² y²

（10）4 x⁴ y² -5 x² y² -9 y² （11）10（x+2）²-29（x+2）+10

提示：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

[总结]：因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

注意三原则

1.分解要彻底.

2.最后结果只有小括号.

3.最后结果中多项式首项系数为正（例如： ）

反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。

四、导法慧学

1.将所学知识纳入知识体系.

2.本节解决问题的具体方法是怎样的？据此请总结此类问题的解题思路.

3.还有没有更好的解法？你还有疑问吗？