【347523】12.4 用公式法进行因式分解（2）

12.4用分组分解法进行因式分解

第二课时

一、导入激学

我们已经学习了在分解因式中，根据多项式的特点可以选择不同的分解方法，对多项式ax＋ay＋ab＋ac的因式分解.我们怎样做？

二、导标引学

学习目标：

1、理解分组分解法的概念和意义，掌握分组分解法中使用“二二”、“三一”分组的不同题型的解题方法。

2、渗透化归数学思想和部分与整体的数学思想，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性、层次性。

学习重难点：

1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；

2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解.

三、学习过程

（一）导预疑学

利用8分钟，自主学习课本内容，按预学要求完成下列问题，小组讨论后找出疑难问题。

1、预学核心问题：

（1）分组分解法的意义；

（2）在分组分解法中筛选合理的分组方案，总结出分组的规律与方法。

2、预学检测: 完成下列填空：

（1）ax＋ay－bx－by=(ax＋ay)－ ( ) =( ) ( )

（2）x²－2y－4y²＋x= ( )＋( ) =( ) ( )

（3）4a²－b²－4c²＋4bc= ( )－( ) =( ) ( )

3、预学评价质疑：通过预学，你学会了什么？还有什么疑问没有解决呢？请把它们写下来小组交流。

（二）导问互学

问题一：分组分解法的概念和意义、分组后能直接提公因式法分解的题型

活动1：我们已经学习了提公因式法和公式法进行因式分解。分解的前提是如果有公因式，通常先提取公因式，然后再运用公式法来分解。对于多项式“ax+ay+ab+ac”如何分解因式呢？我们发现这个式子：一没有公因式可提；二不能用公式法因式分解。

我们可以这样做：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)。我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

像这样通过分组进行因式分解的方法叫做分组分解法。

上面这个题目还有其他的分组方法吗？尝试一下___________________________

活动2：思考：已知多项式5ax+5bx+3ay+3by

1. 这个多项式有公因式吗？如果有，是什么？

（2）这个多项式分组后有公因式吗？应怎样分组？

（3）分组后能分解因式吗？怎样分解？

（4）本题还有没有其他分组的办法？若有，怎样分组？

问题二：分组后能运用公式法分解的题型

活动1：已知多项式m²-n²+am+an

(1)这个多项式可以运用先分组再提公因式的方法进行分解吗？

(2)若将m²-n²看做一组，am+an看做一组，各组应该用什么办法？

(3)试将此多项式分解。

活动2：已知多项式a²-2ab+b²-c²

(1) 这个多项式可以运用先分组再提公因式的方法进行分解吗？

(2)若将a²-2ab+b²看做一组，这一组可怎样分解？分解后再与-c²结合，应该用什么方法分解？

(3)试将此多项式分解。

解决问题评价：你在解决问题时在哪里遇到了困难？此类问题今后怎么处理？

（三）导根典学

例1：把下列各式分解因式：（1）a²-ab+ac-bc (2) 2ax-10ay+5by-bx

解：（1）a²-ab+ac-bc (2)2ax-10ay+5by-bx

= (a²-ab)+(ac-bc) =(2ax-10ay)+(5by-bx)

=a（a-b）+c (a-b) =2a(x-5y)+b(5y-x)

=(a-b)(a+c) =2a(x-5y)- b(x-5y)

=(x-5y)(2a-b)

知识之根探索：如果把一个多项式的各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用先分组再提公因式的方法来分解因式，此种情况的分组一般是“二二”分组。

例2：（1）m²-n²+am+an (2) a²-2ab+b²-c²

=（m²-n²）+（am+an） =(a²-2ab+b²)-c²

=（m+n）（m-n）+a(m+n) =(a-b)²- c²

=（m+n）（m-n+a） =(a-b+c)(a-b-c)

知识之根探索：有些四项式，经“二二”分组后，其中两项符合“平方差”公式的特点，需用“平方差”公式进行分解，另两项需用“提公因式”法进行分解，各自分解后再用“提公因式”法继续分解。

（2）有些四项式，需进行“一三”分组，这就要求四项式具备以下条件：有三个平方项且符号不全相同，试着把其中同号的两项与第四项括在一起，看能不能应用“a²±2ab+b²=(a±b)²”公式，若能，下一步再应用平方差公式即可分解。

（3）分组分解再探索

　 ①、展开后再分组

　　 例1 分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)．

　　 分析：将括号展开后再重新分组．

　　解：原式=abc²+abd²+cda²十cdb²
＝(abc²+cda²)+(cdb²+abd²)

＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)

＝(bc+ad)(ac+bd)．
　　②．拆项后再分组

　　例2 分解因式x2-y2+4x+2y+3．

　　分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．

　　解：原式=x²-y²+4x+2y+4-1=(x²+4x+4)+(-y²+2y-1)
=(x+2) ²-(y-1) ²

=(x+y+1)(x-y+3)．
　　③．添项后再分组

例3 分解因式x⁴+4．

　　分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．

　　解：原式=x ⁴+4x²-4x²+4

=(x²+2) ²-(2x) ²

=(x²+2x+2)(x²-2x+2)

　④、用换元法进行因式分解

用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．

例4 分解因式(x²+3x-2)(x²+3x+4)-16．

分析：将令y=x²+3x，则原式转化为(y-2)(y+4)-16再分解就简单了．

解：令y=x²+3x，

则原式=(y-2)(y+4)-16
=y²+2y-24
=(y+6)(y-4)．　　

因此，原式=(x²+3x+6)(x²+3x-4)=(x-1)(x+4)(x²+3x+6)．

（四）导标达学

目标1：将下列各式因式分解：

(1) 2ax-10ay+5by-bx (2) x²+x﹣4y²﹣2y (3) a²﹣2ab+ b²﹣c²

(4) a²﹣4b²+12bc﹣9c² (5) ac+bc+2a+2b (6) 5m(a+b)-a-b

(7) x ²﹣9y² +2x﹣6y (8) 4x²+12xy+9y²﹣25 (9)x - +x-1

目标2：已知a, b, c是△ABC的三边，且a²+b²+c²=ab+bc+ca, 则△ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

目标3：△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c +a +2ab-2bc=0，

求证：这个三角形是等腰三角形。

反馈评价：请交流你出现的问题，并把它们进行更正。

四、导法慧学

1.将所学知识纳入知识体系.

2.本节解决问题的具体方法是怎样的？据此请总结此类问题的解题思路.

3.还有没有更好的解法？你还有疑问吗？