2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

期中复习应用部分提高篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是期中复习应用部分提高篇。本部分内容第一单元至第四单元应用部分的提高，考点和题型相对困难，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。

【考点一】利润问题。

【方法点拨】

1.利润率表示利润占成本的百分比。

2.利润问题的通用公式：

（1）利润=售价-进价（成本）

（2）售价=进价（成本）+利润

（3）利润率=利润÷成本×100%

（4）利润=成本×利润率

（5）成本=利润÷利润率

（6）售价=成本×（1+利润率）

（7）成本=售价÷（1+利润率）

【典型例题1】求利润率

一种商品，进价是200元，售价为240元，这种商品的利润率是多少？

解析：（240-200）÷200=20%

答：略。

【对应练习】

一件商品进价120元，定价180元，则该商品的利润率是多少？如果打八折出售，则该商品的利润率是多少？

解析：

（1）（180-120）÷120=50%

（2）180×80%=144（元）

（144-120）÷120=20%

答：略。

【典型例题2】已知售价和利润率，求利润

售价为400元的书包，利润率为25%，则利润是多少元？

解析：

成本：400÷（1+25%）=320（元）

利润：400-320=80（元）

答：略。

【对应练习】

售价为360元的书包，利润率为50%，则利润是多少元？

解析：

进价：360÷（1+50%）=240（元）

利润：360-240=120（元）

答：略。

【典型例题3】已知进价和利润，求售价

某商店一种型号的电脑打九折后很畅销。每卖一台仍可获得利润192元。已知每台电脑的进价是6000元，原来售价多少元？

解析：

方法一：算术法：

打折后的售价：6000+192=6192（元）

原来售价：6192÷90%=6880（元）

答：略。

方法二：方程法：

解：设原来售价是x元。

90%x-192=6000

x=6880

答：略。

【对应练习】

一件衣服进价80元，按标价打六折出售后仍获利52元，这件衣服标价多少钱？

解析：（80+52）÷60%=220（元）

答：略。

【典型例题4】已知售价和利润率，求进价

某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为多少？

解析：打八折售价为330×0.8=264（元）

264÷（1+10%）=240（元）

答：略。

【对应练习】

某商品的标价为165元，若降价以9折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对于进价），那么该商品的进价是多少？

解析：

165×0.9=148.5（元）

148.5÷（1+10%）=135（元）

答：略。

【典型例题5】已知进价和利润率，求售价

某商品打7.5折后，商家仍然可得25%的利润。如果该商品是以每件16.8元的价格进的，为该商品在货架上的标价是多少？

解析：

16.8×（1+25%）=21（元）

21÷75%=28（元）

答：略。

【对应练习】

个体户小张，把某种商品按标价的九折出售，仍可获利20%，若按货物的进价为每件24元，求每件的标价是多少元？

解析：

24×（1+20%）=28.8（元）

28.8÷90%=32（元）

答：略。

【典型例题6】判断盈利或亏损

某商店同时以60元售出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，那么这次买卖的总体情况是盈利还是亏损？盈利或亏损多少钱？

解析：

60÷（1+25%）=48（元）

60÷（1-25%）=80（元）

48+80=128（元）

60+60=120（元）

亏：128-120=8（元）

答：略。

【对应练习】

某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

解析：

①135÷（1+25%）=108（元）

赚了：135-108=27（元）

②135÷（1-25%）=180（元）

赔了：180-135=45（元）

45>27

答：赔了。

【考点二】盈亏问题。

【方法点拨】

盈亏问题基本公式：

1.（盈+亏）÷两次分配之差=份数

2.（大盈-小盈）÷两次分配之差=份数

3.（大亏-小亏）÷两次分配之差=份数

【典型例题】

某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？

解析：（20+25）÷（90%-75%）=300（元）

答：略。

【对应练习】

一部手机如果降价7%售出，可得635元的利润；如果按定价的七三折卖出，就会亏损265元。那么这部手机的成本价是多少元？

解析：

降价7%，就是按原价的（1-7%）出售，即93%

定价：（635+265）÷（93%-73%）=900÷20%=4500（元）

成本价：4500×（1-7%）-635=3550（元）

【考点三】促销问题。

【方法点拨】

在日常购物时，要根据商品的不同促销方式，用学过的百分数知识求出商品的现价，从中选取最省钱的方法。

【典型例题】

张叔叔去买鲜橙汁，看到同一种鲜橙汁在两个超市有不同的促销策略。

张叔叔要买5瓶鲜橙汁，去哪个超市买合适？

解析：

甲超市付：12×4=48（元）

乙超市付：12×5×85%=51（元）

48<51

答：甲超市更便宜划算。

【对应练习】

一种果汁原定价为5元/瓶，甲、乙两个超市以不同的销售方式促销，甲超市打八五折出售，乙超市买四送一，如果买8瓶这种果汁，去哪个超市购买合算？如果买10瓶，去哪个超市购买合算？

解析：

①买8瓶果汁：

甲超市：8×5×85%=34（元）

乙超市：（8-1）×5=35（元）

34<35

答：如果买8瓶果汁去甲超市更合算。

②买10瓶果汁：

甲超市：10×5×85%=42.5（元）

乙超市：4×2+2=10；4×2×5=40（元）

42.5>40

答：如果买10瓶，去乙超市合算。

【考点四】圆柱的四种旋转构成法。

【方法点拨】

把长方形或正方形经过旋转得到的圆柱，要注意区分高和半径及直径。

【典型例题1】

把长为4、宽为3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积是多少？（结果保留π）

解析：

以长为轴，32×2×π+2π×3×4=42π

以宽为轴，42×2×π+2π×4×3=56π

【典型例题2】

正方形的边长为4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面积是多少？

解析：

按如图方式旋转，底面圆的半径是2厘米，圆柱的高是4厘米。

S底=3.14×2²=12.56（cm²）

S侧=2×3.14×2×4=50.24（cm²）

S表=2S底+S侧=12.56×2+50.24=75.36（cm²）

答：表面积是75.36cm²。

【典型例题3】

请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。

解析：

S底：3.14×5²=78.5（平方厘米）

2S底：78.5×2=157（平方厘米）

S侧：3.14×5×2×15=471（平方厘米）

S表：157+471=628（平方厘米）

答：表面积是628平方厘米。

【考点五】圆柱表面积的三种增减变化。

【方法点拨】

1.底面积不变，圆柱高的变化引起表面积的变化，由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积。

底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。

2.平行于底面切（横切）一刀：多出的两个面是底面，即两个圆。

3.垂直于底面切（竖切）：多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。

【典型例题1】

一个圆柱被截去10厘米后（如下图），圆柱的表面积减少了628平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）

解析：

圆柱的底面周长：628÷10=62.8（厘米）

底面半径：62.8÷2÷3.14=10（厘米）

原来圆柱的表面积：3.14×102×2+62.8×（15+10）

=628+1570

=2198（平方厘米）

答：原来圆柱的表面积是2198平方厘米。

【典型例题2】

如图，一根长4米，横截面是半径为2分米的圆柱形木料被截成同样长的2段后。表面积比原来增加了多少平方分米？（π取3.14）

解析：

3.14×22×2=25.12（平方分米）

答：增加了25.12平方分米。

【典型例题3】

工人把一根高是1米的圆柱形木料，沿底面直径平均分成两部分，这时两部分的表面积之和比原来增加了0.8平方米。求这根木料原来的表面积。

解析：

由题意可知，增加了两个长方形的面积。

一个长方形的面积：0.8÷2=0.4（平方米）

底面圆的直径：0.4÷1=0.4（米）

底面圆的半径：0.4÷2=0.2

原来的表面积：3.14×0.22×2+3.14×0.4×1=1.5072（平方米）

答：原来的表面积是1.5072平方米。

【考点六】圆柱与长方体的拼切转化问题。

【方法点拨】

将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。

【典型例题】

把一个底面半径是 的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增加了 ，原来圆柱的体积是多少立方厘米？

解析：

圆柱的高：

圆柱体积：

答：原来圆柱的体积是 。

【对应练习1】

把一个高为1米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体的体积是多少立方分米？

解析：

1米＝10分米

圆柱的底面半径为：

40÷2÷10＝2（分米）

体积：3.14×2²×10

＝3.14×4×10

＝125.6（立方分米）

答：这个圆柱的体积是125.6立方分米。

【考点七】等积转化问题。

【方法点拨】

等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题1】

把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。这个圆柱的底面直径是20厘米，高是多少厘米？

解析：

（9×7×3＋5×5×5）÷[3.14×（20÷2）²]

＝（189＋125）÷[3.14×100]

＝314÷314

＝1（厘米）

答：圆柱是高是1厘米。

【典型例题2】

甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。乙长方体瓶子里水深6.28厘米。将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）

解析：

10×10×6.28÷（3.14×5²）＋2

＝628÷（3.14×25）＋2

＝628÷78.5＋2

＝8＋2

＝10（厘米）

答：这时甲瓶的水深10厘米。

【典型例题3】

一块圆柱形橡皮泥，体积是200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥的底面半径是10，求圆锥的高。（π取3）

解析：2

【典型例题4】

一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm²的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？

解析：

4×4×4×3÷12=16（dm）

【典型例题5】

一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？

解析：

20厘米＝0.2米

12.56×3×

＝12.56÷2

＝6.28（米）

答：能铺6.28米。

【考点八】排水法的应用。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：

①V物体=V现在－V原来

②V物体=S×(h现在- h原来)

③V物体=S×h升高

【典型例题1】

在一个底面直径是6dm的圆柱形容器内装了一部分水，水中完全浸没着一个高4dm的圆锥形铁块，当铁块从水中取出时，水面下降了5cm，这个圆锥形铁块的体积是多少 ？

解析：

5cm＝0.5dm

半径：6÷2＝3dm

水面下降了5cm， 圆锥形铁块的体积就是下降的水的体积，

所以体积：3.14×3²×0.5

＝3.14×9×0.5

＝3.14×4.5

＝14.13（dm³）

答：这个圆锥形铁块的体积是14.13 dm³。

【典型例题2】

有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）

解析：

5厘米＝0.5分米；

3.14×3²×0.5÷（2×2）

＝14.13÷4

≈3.5（分米）

答：这块长方体铁块的高是3.5分米。

【典型例题3】

有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？

解析：

圆锥底面半径：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）

圆锥底面积：3.14×3²＝28.26（平方厘米）

圆锥高：

3.14×（20÷2）²×0.6×3÷28.26

＝3.14×100×0.6×3÷28.26

＝565.2÷28.26

＝20（厘米）

答：这个圆锥的高是20厘米。

【典型例题4】

一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？

解析：

3.14×（6÷2）²×20÷3

＝3.14×9×20÷3

＝188.4（立方厘米）

188.4÷[3.14×（20÷2）²]

＝188.4÷[3.14×100]

＝188.4÷314

＝0.6（厘米）

答：杯里的水面会下降0.6厘米。

【考点九】圆锥的旋转构成法。

【方法点拨】

直角三角形与圆锥之间的联系

沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。

【典型例题1】

以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形?所得的图形的底面直径和高各是多少厘米?

解析：

（1）以6cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为16cm，高为6cm的圆锥。

（2）以8cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为12cm，高为8cm的圆锥。

【典型例题2】

下图是一个直角三角形，如果以 边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？

解析：

3.14×2×2×3÷3

＝12.56×3÷3

＝12.56（立方厘米）

【考点十】判断比例关系。

【方法点拨】

已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关系。

【典型例题1】

若 A=5B（A、B均为大于0的自然数），则A和B成（ ）比例。

解析：由题意，A:B=15，所以A和B成正比例。

【典型例题2】

已知 ＝c（a、b、c都不为零）。

当a一定时，b与c成_____比例。

当b一定时，a与c成_____比例。

当c一定时，a与b成_____比例。

解析：反     正     正

【考点十一】图表中的正比例和反比例。

【方法点拨】

1.正比例关系图象的特点：

正比例关系的图象是一条从（0.0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。

2.反比例关系图像的特点：

从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。

【典型例题1】

下图表示某工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成（ ）比例，照这样计算，修筑650米公路需要（ ）小时。

解析：（1）正；（2）6.5

【典型例题2】

把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高度关系的图象如图所示：

（1）底面积和水面高度成（ ）比例关系。

（2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是（ ）cm，底面积是30cm²的杯子中，水面的高度是（ ）cm。

（3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是（ ）cm。

解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5

【考点十二】正比例与行程问题。

【方法点拨】

1.相遇问题通常同时出发，则相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。

2.追及问题通常有时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。

【典型例题1】

小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h。

（1）求相同时间内两车的路程比。

（2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢?

解析：（1）路程比：6:5；（2）小黄车120千米，小蓝车100千米。

【典型例题2】

小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。A、B两地相距220千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离A地多远?

解析：

相同时间内，两车的速度比等于路程比，所以路程比为6:5。

同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共行驶了两倍的全程。

路程和是440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。

小蓝车∶40×5=200（km）

答：相遇地点距离A地200千米。

【典型例题3】

小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车多行驶20km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢?

解析：

两车速度比为6∶5，路程=速度×时间，相同时间内，两车的路程比为6∶5。

一份量∶20÷（6-5）=20（km）。

小蓝车∶20×5=100（km）

小黄车∶20×6=120（km）

【考点十三】反比例与行程问题。

【方法点拨】

反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。

【典型例题1】

小东上学的速度与放学回家的速度比为2∶5，从学校回家花的时间比从家到学校花的时间要少15分钟，那么小东上学路上用了多长时间?

解析：

上学放学速度比为2∶5，路程=速度×时间，路程一定，上学放学的时间比为

5∶2。

一份量∶15÷（5-2）=5（分钟）。

上学∶5×5=25（分钟）。

【典型例题2】

甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是8:9，已知甲每小时行16千米，行完全程比乙多用 小时，两地相距多少千米？

解析：

解：设甲行完全程用x小时，则乙行完全程用（x- ）小时。

9:8=x:（x- ）

x=

路程：16× =60（千米）

答：两地相距60千米。