第五讲 抽屉原理二

1. 答案：12．
   解答：共有 种不同的选择方式，而 ，所以至少有12个人买的饮料完全相同．

2. 答案：46．
   解答：共有 种参加方法，所以至少 人．

3. 答案：27．
   解答：可构造出26个组数：（1，49）、（2，48）、…、（24，26）、（25）、（50）．所以至少要取27个数才能保证取到一组和为50的数．

4. 答案：46，37．
   解答：由题意可知，如果取出的数没有两个数的和是7的倍数，则：除以7余1的数与除以7余6的数不能共存，除以7余2的数与除以7余5的数不能共存，除以7余3的数与除以7余4的数不能共存．而除以7余0的数只能取1个，且 ，所以最不利的情况是取尽余1、余2、余3和一个余0的数，共45个数，所以至少选出46个数才可满足要求．同理至少选出37个数才能保证是6的倍数．（注意此时除以6余3和余0的数都只能选1个）

5. 答案：52．
   解答：可构造出51个组数：（1，8）、（2，9）…（7，14）；（15，22）、（16，23）…（21，28）；……（85，92）、（86，93）…（91，98）；（99）、（100）．每组数中的两数的差为7．只取出每个数组中较小的数显然不能满足要求，所以至少要取出52个数，这时由抽屉原理知必定能取到某一个数组的两个数．

6. 解答：先将正六边形分割成6个边长为2的正三角形，再将每个三角形等分成4个边长为1的正三角形，这样就把正六边形分割成24个边长为1的正三角形，则由抽屉原理知，必有3点在一个等边三角形中，以它们为顶点的三角形面积显然不大于1．（边长是1的等边三角形面积小于1）

练习1、答案：14．
简答：共有 种不同的选择方式，而 ，所以至少有14个人买的饮料完全相同．

练习2、答案：57．
简答：共有 种参加方法，所以至少 人．

练习3、答案：20．
简答：可构造出19个组数：（1，33）、（2，32）、…、（16，18）、（17）、（34）、（35）．所以至少要取20个数才能保证取到一组和为34的数．

练习4、答案：42．
简答：1~99这99个数中除以5余1的有20个，余2的有20个，余3的有20个，余4的有20个，余0的有19个，选出余1和余2的数，再选一个余0的数，再任选一个数一定符合题意， 个．

作业

1. 答案：（1）4个；（2）23张．
   简答：（1）抽屉原理；（2）最不利原则．
   
   

2. 答案：5位．
   简答：首先运动员的项目有 种可能，根据抽屉原理，至少有5位运动员的项目相同．
   
   

3. 答案：36个．
   简答：每12个数中最多取出6个．

4. 答案：12个．
   简答：将1~40按照除以4的余数分为四组：
   A组：{1，5，…，37}；
   B组：{2，6，…，38}；
   C组：{3，7，…，39}；
   D组：{4，8，…，40}．
   首先，B、D组最多取一个．取了A组就不能取C组．
   所以最多能取12个．

5. 证明：将半径为1的圆六等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是 ．根据抽屉原理，至少有三个点在同一部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即 ．