六年级数学上册典型例题系列之

第三单元工程问题（解析版）

编者的话：

本试题是在《分数除法应用题提高部分》基础上进行编辑总结的，题型主要包括工程问题基础类型题、求合作时间类型题、求单量单独完成时间类型题、工程问题中的请假问题和较复杂的工程问题，共计十三个考点，按编排顺序考点难度由浅及深，考试出现频率逐次降低。值得注意的是，《工程问题》虽然是小学数学应用题中的一个独立类型，但是在实际教学中大多数教师都在六年级数学上册第三单元分数除法章节进行讲解和练习，因此，编者认为可配合《分数除法应用题提高部分》再行使用，亦可根据学生掌握情况而定，欢迎使用。

【知识点总览】

1. 工程问题的意义

与工作效率、工作时间、工作总量有关的问题被称为工程问题。

2. 工程问题的特征

通常把工作总量看作单位“1”，在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在 解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

3. 工程问题的解法

解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

4.基本数量关系

工作效率×工作时间=工 作总量，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率。

【考点一】工程问题基础题型。

【方法点拨】

工程问题的基础题型是主要根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数量关系列出算式：

工作效率×工作时间=工 作总量，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率。

【典型例题】

一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？

解析：直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。

1÷20=

答：略。

【对应练习1】

乙队完成一项工程的 需要12天，求乙队的工作效率。

解析： ÷12=

答：略。

【对应练习2】

一项工程，甲队的工作效率是 ，甲队完成这项工程需要几天？

解析：直接利用公式：工作时间=工作总量÷工作效率列式计算。

1÷ =10（天）

答：略。

【对应练习3】

乙队的工作效率是 ，乙队完成这项工程的 需要多少天？

解析： ÷ =12（天）

答：略。

【对应练习4】

一项工程，甲队的工作效率是 ，甲队工作5天可以完成这项工程的几分之几？工作9天可以完成这项工程的几分之几？

解析：① ×5=

② ×9= =

答：略。

【对应练习5】

砌一道墙，甲单独7小时完成，这道墙已由别人砌了 ，还要多少小时能完成？

解析：（1- ）÷ = （小时）答：略。

【考点二】工程问题：求合作效率。

【方法点拨】

合作效率=工作效率1+工作效率2

【典型例题】

一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。

（1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？

解析：1÷12= ；1÷20=

答：略。

（2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？

解析： + =

答：略。

（3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？

解析：3× = ；1- =

答：略。

【对应练习1】

一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。

（1）甲队每天完成这项工程的 ，乙队每天完成这项工程的 。

解析： ；

（2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的 。

解析： + =

（3）甲乙合作4天后，还剩下这项工程的 没有完成。

解析：1- ×4=

【对应练习2】

一项工程，甲单独做完需要20天，乙单独做完需要10天。问：

1. 甲的工作效率是几分之几？

解析：1÷20=

2. 乙的工作效率是几分之几？

解析：1÷10=

3. 甲、乙的工作效率和是几分之几？

解析： + =

【对应练习3】

一项工程，甲乙合作需要12天完成，甲单独做需要36天完成，那么：

1. 甲的工作效率是多少？

解析：

甲的工作效率：1÷36=

2. 甲乙合作的工作效率是多少？

解析：

合作效率：1÷12=

3. 乙的工作效率是多少？

解析： - =

【考点三】工程问题：已知工作总量是单位“1”，求合作时间。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

修一条公路，甲工程队单独完成要10天，乙工程队单独完成要8天，如果甲乙工程队合作需要多少天完成？

解析：直接利用求合作时间的公式解决，合作时间=工作总量÷合作效率

1÷（ ）= （天）

答：略。

【对应练习1】

一段公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。两队合修几天可以完

成？

解析：工作总量÷工效和=合作时间

1÷（+ ）=6（天）

答：两队合修6天可以完成。

【对应练习2】

打一份文稿，单独打小明要15小时，小刚要12小时，如果两人合打，几小时后可以完成这份文稿？

解析：1÷（ ）= （小时）

答：略。

【对应练习3】

一个蓄水池装有两个进水管。单开甲进水管，6小时可以注满水池；单开乙进水管，9小时可以注满水池。如果同时打开两个进水管，几小时可以注满水池？

解析：1÷（ ）= （小时）

答：略。

【对应练习4】

生产一批零件，甲单独做需要15天，乙单独做需要12天，丙单独做需要10天，如果甲、乙、丙三人合做，多少天可以完成？

解析：1÷（ ）=4（天）

答：略。

【考点四】工程问题：已知工作总量是几分之几，求合作时间。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

一项工程，甲队单独做6天完成，乙队单独做8天完成。甲、乙两队合做全工程的 ，需要多少天？

解析：甲、乙两队合做全工程的 _，工作总量变成了 ，所以用 作为工作量来列式。

÷（ ）=3（天）

答：略。

【对应练习1】

修一条隧道，甲工程队单独修60天完成，乙工程队单独修要75天完成。如果甲、乙两队合修，多少天可以完成这项工程的 ？

解析： ÷（ ）=30（天）

答：略。

【对应练习2】

一堆货物，甲车单独运4小时可以完成，乙车单独运6小时可以完成，现在由甲、乙两车合运这批货物的 ，需要多少小时？

解析： ÷（ ）=2（小时）

答：略。

【对应练习3】

一项工程，甲单独做要12天完成，乙单独做要18天完成，二人合作多少天可以完成这项工程的 ？

解析： ÷（ )= (天）

答：略。

【考点五】工程问题：先求工作效率，再求合作时间。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

一项工程，甲单独做8天完成，乙8天才完成这项工程的 ，两队合作，几天可以完成？

解析：乙效： ÷8=

合作时间：1÷（ ）=4.8（天）

答：略。

【对应练习1】

一项工程，甲单独做12天可以完成，乙单独做5天可以完成这项工程的 ，现在两人合作，几天可以完成？

解析：乙效： ÷5=

合作时间：1÷（ ）= （天）

答：略。

【对应练习2】

有一批杂志需要装订，小姜9天可以装订 ，小刘35天可以装订 ，小姜和小刘合作，几天可以完成这批任务？

解析：小姜效率： ÷9=

小刘效率： ÷35=

合作时间：1÷（ + ）=14.7（天）

答：略。

【对应练习3】

甲乙两队合挖一条水渠，已知乙队的工效是甲队的工效的 ，若甲队独挖20天可完成，那么两队合挖多少天可以完工？

解析：乙效： × =

合作时间：1÷（ + ）=12（天）

答：略。

【考点六】工程问题：较复杂的求合作时间问题。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？

解析：

甲乙合效：

乙丙合效：

甲丙合效：

甲乙丙合效=（甲乙+乙丙+甲丙）÷2

（ + + ）÷2=

合作时间：1÷ =10（天）

答：略。

【对应练习1】

一件工程，甲，乙合作需6天完成，乙，丙合作需9天完成，甲，丙合作需15天完成，现在甲，乙，丙三人合作需要多少天完成？

解析：1÷[( + + )÷2]= (天）

答：略。

【对应练习2】

一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成。问甲单独完成这项工作需要多少天？

解析：1÷[（ ）÷2- ]=90（天）

答：略。

【对应练习3】

一项工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成，那么甲、丁两人合作多少天可以完成？

解析：1÷（ ）=24（天）

答：略。

【考点七】工程问题：已知合作时间，求单量单独完成时间。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

一项工程，甲、乙合作6天可以完成，甲单独做18天可以完成，乙单独做多少天可以完成？

解析：

甲乙合效：

甲效：

乙效： - =

乙单独完成时间：1÷ =9（天）

答：略。

【对应练习1】

一份文件，甲、乙合打8小时完成，甲单独打要12小时完成。乙单独打要几小时完成？

解析：1÷（ ）=24（小时）

答：略。

【对应练习2】

一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天可以吃完；甲一人吃，24天可以吃完；乙一人吃，36天可以吃完，丙一人吃，多少天可以吃完？

解析：1÷（ ）=18（天）

答：略。

【对应练习3】

某工程甲、乙、丙三个队合做4天完成，甲队单独做8天完成，乙队单独做12天完成，丙队单独做需要多少天？

解析：1÷（ ）=24（天）

答：略。

【考点八】工程问题：先合作完成，再单独完成类型。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

一件工作，两人合作10天可以完成，甲单独做14天可以完成。两人合作4天后，

余下的由乙单独做，还需要几天完成？

解析：（工作总量-完成工作量）÷乙的工作效率=还需要的工作时间

（1- ×4）÷（- ）=21（天）

答：还需要21天可以完成。

【对应练习1】

一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做用30天完成。甲、乙两队合修3天后，余下的由乙队单独做，需要多少天才能完成？

解析：[1-（ ）×3]÷ =22.5（天）

【对应练习2】

一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？

解析：

丙效：[1-4×（ ）]÷8=

时间：1÷ =20（天）

答：略。

【对应练习3】

一项工程，甲乙合作36天完成，乙3天可完成这项工程的 。现在先由两人合作30天，剩下的由甲完成，则甲完成需要多少天？

解析：

乙效： ÷3=

甲效： =

=10（天）

答：略。

【对应练习4】

一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做2天可以完成全工程的，如果两队先合作若干天后，甲队再单独做3天完成了剩余的任务．甲 队一共工作了多少天？

解析：

甲乙合作时间：

1. ×3）÷（ ）=3（天）

甲一共工作：3+3=6（天）

答：略。

【对应练习5】

一项工程，由甲单独做30天完成，这项工程先由甲乙两队合做₈天，余下的甲队10天完成，那么乙单独做这项工程需要多少天完成？

解析：1÷[（1- ×8）÷8- ]=20（天）

答：略。

【考点九】工程问题：先单独完成，再合作完成类型。

【方法点拨】

合作效率=合作效率=工作效率1+工作效率2

合作时间=工作总量÷合作效率

【典型例题】

某工程由甲独自做，需18天完成，由乙独自做，需12天完成，现在乙先做2天，再由甲、乙两人合做，合做几天可以完成这件工程？

解析：（1- ×2）÷（ ）=6（天）

答：略。

【对应练习1】

一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要15天完成，甲先做了5天后，剩下的由甲乙合做几天可以完成？

解析：（1- ×5）÷（ ）= （天）

答：略。

【对应练习2】

修一条水渠，甲队修要20天，乙队要25天，乙队先修5天后，剩下的由甲、乙合作，还需要几天才能完成？

解析：（1- ）÷（ ）= （天）

答：略。

【对应练习3】

一件工作，甲单独做要用10小时，乙单独做要用15小时。甲做完后，剩下的由两人合作，还需要几小时完成？

解析：（工作总量—完成工作量）÷工效和=合作时间

（1— ）÷（+ ）=4（小时）

答：两人合做4小时可以完成。

【对应练习4】

一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做10小时完成，丙单独做15小时完成。现在先由甲做2小时，余下的再由乙、丙两人合作，还需要几小时才能完成？

解析：（1- ）÷（ ）=5（小时）

答：略。

【对应练习5】

一项工程甲单独做6天完成，乙单独做8天完成，现在先由丙做3天，结果完成这项工程的 ，余下的由甲、乙、丙合作，还需要几天完成？

解析：（1- ）÷（ ）=2（天）

答：略。

【考点十】请假问题：已知剩余完成时间，求单独完成时间。

【方法点拨】

合作效率=各单位量工作效率之和

工效和×合作时间=工作总量

工作总量÷工 效 和=合作时间

工作总量÷合作时间=工效和

【典型例题】

一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？

解析：

（1- ）÷（ ）=10（天）

答：略。

【对应练习1】

一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独完成比甲队多用4天，现在甲乙合作几天后，乙另有任务调走，甲又干做3天才完成任务，求乙队工作了几天？

解析：

乙队效率：1÷（8+4）=

1. ）÷（ ）=3（天）

答：略。

【考点十一】请假问题：已知单量的完成时间，求请假时间。

【方法点拨】

合作效率=各单位量工作效率之和

工效和×合作时间=工作总量

工作总量÷工 效 和=合作时间

工作总量÷合作时间=工效和

【典型例题】

某项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成。开始两人合作，中途因甲有事请假离开几天，一共经过15天才完成工程，甲请了几天假？

解析：此题关键是乙全程都在做工，时间是15天，可求出剩下工作量，即是甲需完成的。

15. （1- ）÷ =5（天）

答：略。

【对应练习1】

一项工程，甲单独做要75天完成，乙单独做要50天完成，现在两人合作，甲中途离开了几天。整个工程40天才完工，甲中途离开了多少天？

解析：40-（1- ）÷ =25（天）

答：略。

【对应练习2】

一项工作，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，现在由两人一起来完成这项工作，中途甲有事离开，剩下的由乙来完成，从工作开始到工作结束一共用了12天，那么，甲比乙少做了多少天？

解析：12-（1- ）÷ =10（天）

答：略。

【对应练习3】

一项工程由甲乙丙单独做各要10小时，15小时和20小时完成，现在三人合作，中间甲休息了几小时，结果共用了6小时完成，甲休息了几小时？

解析：6-[1-（ ]÷ =3(小时）

答：略。

【考点十二】请假问题：已知一共完成的时间，求单量单独完成时间。

【方法点拨】

合作效率=各单位量工作效率之和

工效和×合作时间=工作总量

工作总量÷工 效 和=合作时间

工作总量÷合作时间=工效和

【典型例题】

一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？

解析：假设法解题

假设这14天都是甲单独做的，那么：

那么乙干的天数：

1. ）÷（ ）=9（天）

那么甲做了：14-9=5（天）

答：略。

【对应练习1】

单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天，若甲先单独做若干天后，再有乙单独完成，则一共用了26天完成工作。问甲做了多少天？

解析：假设这26天都是乙做的。

1. ）÷（ ）=18（天）

答：略。

【对应练习2】

一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时，那么甲打字用了多少小时？

解析：假设这7小时都是乙完成的。

1. ）÷（ ）=4.5（小时）

答：略。

【考点十三】较复杂的工程问题。

【方法点拨】

合作效率=各单位量工作效率之和

工效和×合作时间=工作总量

工作总量÷工效和=合作时间

工作总量÷合作时间=工效和

【典型例题】

一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解析：

合作时间：1÷（ ）= （小时）

在合作时间内，甲做了： × = ；乙做了： × =

所以，甲比乙多做了 - =

这批零件：24÷ =168（个）

答：略。

【对应练习1】

一项工程，甲队单独做需7天完成，乙队单独做需5天完成，现由甲队单独做1天后，乙队加入，则乙队做了几天后完成了这项工程？

解析：（1- ）÷（ ）=2.5（天）

答：略。

【对应练习2】

一项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成．现在甲先做6天后，剩下的由乙单独做完．乙做了多少天？

解析：（1- ）÷ =21（天）

答：略。