第四讲 对应计数

例题：

1. 答案：171；231
   详解：第一问用课文里所说的“插板法”即可解决．20个苹果，共有19个空隙，分给3个小朋友需要 块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有 ；第二问同样用插板法，仍然是20个苹果和2块隔板．但此时隔板不一定要放在19个空隙中，也可以放在所有苹果的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的．因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可．这 个对象排成一行会占22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的20个位置自然就是放苹果，因此共有 种不同的方法．
   
   

2. 答 案：861
   详解：本题相当于把40个苹果放入3个盘子里，每个盘子都允许为空．因此共有40个苹果和2块隔板．方法数等于 ．
   
   

3. 答案：336个
   详解：如右图所示，每个 的长方形内都包含了4个不同的“L”型．因此只要求出图中有几个 小长方形即可．利用几何计数（五年级上册第9讲）的知识不难得知， 的长方形（包括横的和竖的）共有 个，所以共有“L”型 个．
   
   

4. 答案：（1）6；（2）36

   1. 详 解：青蛙要能够回到起点，必须向左跳两次，向右跳两次．例如（左，左，右，右），（左，右，右，左）等．不难看出，只要从4步中挑出2步来向左，另外两步自然向右，所以只要确定哪两步是向左跳，就确定了哪两步是向右跳．因此跳跃的方法数为 种；

   2. 详解：现在青蛙需要朝四个方向跳，我们记四个方向为1、2、3、4（如图所示）．如果想要跳回原地，必须保证四步之内1和2一样多，3和4一样多．于是可以分为两类情形：第一类，1、2、3、4各一个，共有 种方法；第二类，只有1、2或者只有3、4，共有 种方法．两者相加共36种．
      
      

5. 答案：70
   详解：由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种，再乘以2即可．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场，而且比赛一定是在常昊获得第4场胜利时结束的，因此常昊获胜的那4场比赛的编号就决定了整个比赛流程．
   
   

6. 答案：
   详解：本题从题面上看，是要从18盏灯中选出7盏来熄灭．但实际解决的时候，需要换一个角度：如何把灭掉的7盏灯，插入另外11盏亮着的灯之间．如下图所示，在11盏亮灯之间插入熄灭的灯时，每个空隙最多插1盏，否则灭灯就相邻了，因此必须挑7个空隙，每个空隙插一盏，而可供插入的空隙有12个（两端也可），因此答案为 ．
   

练习：

1. 答案： ；
   简答：用插板法即可解决，具体过程略．

2. 答案：
   简答：相当于把8个球放入4个篮子，每个篮子都可以为空．

3. 答案：100
   简答：每个田字格都可以找到4个“L”型．共有 个田字格，所以共 个“L”型．

4. 答案：20
   简答：6次跳远中，一定3次向左，3次向右，因此共有 种不同的跳法．
   
   
   
   

作业

1. 答案：165
   简答： ．

2. 答案：91
   简答： ．

3. 答案：10
   简答： ．

4. 答案：80
   简答：每个 的方格内都有2个“凹”字形，一共有40个 的方格，因此共有80个“凹”字形．

5. 答案：（1）35；（2）6
   简答：（1）用插板法，8个鸡蛋之间有7个“空”，用4个“板”隔成5部分，有 种方法；（2）每天预先吃掉一个鸡蛋，问题相当于是3天吃 个鸡蛋，每天至少吃一个，有 种吃法．