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第十六讲 数论综合提高二
本讲知识点汇总:
约数、倍数
基本概念
如果a能被b整除(也就是 ),则b是a的约数(因数),a是b的倍数;
约数具有“配对”性质:大约数对应小约数.
约数个数
分解质因数,指数加1再相乘;
平方数有奇数个约数,非平方数有偶数个约数.
约数和公式
如果一个数的质因数分解式为 ,则约数和为 ;
如果一个数的质因数分解式为 ,则约数和为 ;
公约数、公倍数
基本概念
如果a是若干个数公有的约数,则称a是它们的公约数,其中最大的叫做最大公约数;
如果b是若干个数公有的倍数,则称b是它们的公倍数,其中最小的叫做最小公倍数;
公约数是最大公约数的约数,公倍数是最小公倍数的倍数.
计算方法
短除法;
分解质因数法;
辗转相除法(只用于计算两个数的最大公约数).
基本性质
;
两个数的最大公约数是它们和或差的约数;
已知两个未知数的最大公约数,可利用最大公约数把这两个数表示出来:
例如,甲、乙的最大公约数是5,则可以把甲乙分别设为5a和5b,其中a、b互质,此时甲乙的最小公倍数是5ab.
两个最简分数的最大公约数、最小公倍数:
;
约数、倍数
约数的配对思想;
约数个数与完全平方数的关系;
求约数个数;
求约数的和;
利用约数个数反推原数的质因数分解形式.
公约数、公倍数
基本计算;
带有应用题背景的公约数公倍数计算;
有关最大公约数和最小公倍数的反求问题;
最大公约数、最小公倍数的质因数的分配.
庆祝高思学校4周岁的生日,预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动,由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵,开始都面朝东方站立,第一次所有编号是1的倍数的向左转,第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转,第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转,……,最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转,最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方?
「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方,这些次数排成一列,找出这组数列的规律.
练习1、有2012盏灯,分别对应编号为1至2012的2012个开关.现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数,第2个人按的开关的编号是2的倍数,第3个人按的开关的编号是3的倍数,……,依次做下去,第2012个人按的开关的编号是2012的倍数.如果最开始的时候,灯全是亮着的,那么这2012个人按完后,还有多少盏灯是亮着的?
一个数有15个约数,这个数最小是多少?第二小是多少?
「分析」根据约数个数公式分析出含有15个约数的数的分解质因数形式.
练习2、有10个约数的自然数最小是多少?有8个约数的最小的奇数是多少?
在35的倍数中,恰有35个约数的最小数是多少?(请写出质因数分解式)
「分析」所求数一定含有35的质因数,再结合含有35个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口.
练习3、42的倍数中,恰好有42个约数的数有多少个?
三个自然数乘积为86400,且这三个数的约数个数分别为8、9、10个.那么这三个自然数分别是多少?
「分析」把含有8、9、10个约数的数的分解质因数形式及86400中个质因数的个数结合在一起进行分析.
练习4、三个自然数乘积为5184,且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个.那么这三个自然数分别是多少?
两个整数的差为7,他们的最小公倍数和最大公约数的差是689,则这两个数分别是多少?
「分析」列不定方程求解.
大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长,亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印.问:这个花圃的周长是多少米?
「分析」这是一道公约数、公倍数的问题,首先回忆一下公约数、公倍数的求法,再思考一下题中各数据之间的关系.
亲和数(Amicable Pair)
亲和数是一种古老的数.
遥远的古代,人们发现某些自然数之间有特殊的关系:如果两个数a和b,a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数.
相传,毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题:“我结交朋友时,存在着数的作用吗?”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答:“朋友是你的灵魂的倩影,要象220和284一样亲密.什么叫朋友?就象这两个数,一个是你,另一个是我.”后来,毕氏学派宣传说:人之间讲友谊,数之间也有“相亲相爱”.从此,把220和284叫做“亲和数”(也叫“朋友数”或叫“相亲数”).这就是“亲和数”这个名称的来源.
毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数,在以后的1500年间,世界上有很多数学家致力于探寻亲和数,面对茫茫数海,无疑是大海捞针,虽经一代又一代人的穷思苦想,有些人甚至为此耗尽毕生心血,却始终没有收获.公元九世纪,伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则,因为他的公式比较繁杂,难以实际操作,再加上难以辨别真假,故它并没有给人们带来惊喜,或者走出困境.数学家们仍然没有找到第二对亲和数.
距离第一对亲和数诞生2500多年以后,历史的车轮转到十七世纪,1636年,法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416,这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬.两年之后,“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584.费马和笛卡尔在两年的时间里,打破了二千五百年的沉寂,激起了数学界重新寻找亲和数的波涛.
在十七世纪以后的岁月,许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列,他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆.可是,无情的事实使他们省悟到,已经陷入了一座数学迷宫,不可能出现法国人的辉煌了.
正当数学家们真的感到绝望的时候,平地又起了一声惊雷.1747年,年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布:他找到了30对亲和数,后来又扩展到60对,不仅列出了亲和数的数表,而且还公布了全部运算过程.
时间又过了120年,到了1867年,意大利有一个爱动脑筋,勤于计算的16岁中学生白格黑尼,竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了.这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹.
在以后的半个世纪的时间里,人们在前人的基础上,不断更新方法,陆陆续续又找到了许多对亲和数.到了1923年,数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得,发表了1095对亲和数,其中最大的数有25位.同年,另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数.
电子计算机诞生以后,结束了笔算寻找亲和数的历史,人们利用计算机,可以更有效率的寻找和分析亲和数,但直到今天,亲和数仍有许多未解之谜,等待着数学家和计算机专家来解决.
作业
300共多少个约数?其中有多少个是6的倍数?有多少个不是4的倍数?
把一张长108厘米,宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形,且纸无剩余,至少能裁成多少个正方形?
一个小于200的自然数,其最小的三个约数之和是31,那么这个自然数是多少?(请写出所有答案)
已知两个三位数M和N互为反序数(M>N),且它们的最大公约数是6,那么N最小值是多少?
两个自然数的差是5,它们的最小公倍数与最大公约数的差是203,则这两个数的和是多少?
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