第十五讲 数论综合提高一

本讲知识点汇总：

1. 整除

1. 整除的定义

_如果整数a除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作 ．

如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a．

2. 整除判定

1. 尾数判断法
   能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；
   能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；
   能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．

2. 截断求和法
   能被9、99、999及其约数整除的数的特征．

3. 截断求差法
   能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．

4. 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．

3. 常用整除性质

1. 已知 、 ，则 以及 ．（b＞c）

2. 已知 ，则 ．

3. 已知 且 ，则 ．

4. 已知 且 ，则 ．

4. 整除的一些基本方法：

1. 分解法：
   ①分解得到的数有整除特性；
   ②两两互质.

2. 数字谜法：
   ①被除数的末位已知；
   ②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.

3. 试除法：
   ①除数比较大；
   ②被除数的首位已知.

4. 同除法：
   ①被除数与除数同时除以相同的数；
   ②简化后的除数有整除特性.
   
   

二、质数与合数

1. 质数与合数的定义
   质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．

2. 分解质因数
   分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如： ， ．

典型题型

1. 整除

   1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；

      1. 9的考点：乱切法；

      2. 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．

   2. 整除性质的使用；

   3. 整除与位值原理；

   4. 整除方法在数字谜中的应用．
      
      

2. 质数合数

   1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性；

   2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；

   3. 末尾0的个数问题：层除法．

1. （1）五位数 没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数 能被624整除，则三个方格中的数是多少？
   （3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？

「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．

练习1、（1）六位数 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？
（2）如果六位数 能被324整除，则三个方格中的数是多少？
（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？

2. 将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数： ，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？
   「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．
   
   练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数： ，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？
   
   

3. 已知 是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数 是多少？
   「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？
   
   练习3、已知 是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数 是多少？
   
   

4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？
   「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．
   
   练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？
   
   

5. 72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？
   「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．
   
   
   

6. 在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前 个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？
   「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．
   
   
   

数学王国里的一颗明珠——梅森素数

早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究 的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果 是素数，则 是完美数（Perfect number）．

1640年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论了形如 的数（其中p为素数）．

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对 作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时， 是素数；而对于其他所有小于257的数时， 是合数．前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分．不过，人们对其断言仍深信不疑．

虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究 型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究 型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即 ．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即 型素数）．

2300多年来，人类仅发现47个梅森素数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程．

作业

1. 五位数 没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？
   
   
   
   
   

2. （1）已知六位数 是99的倍数，那么这个六位数是多少？
   （2）已知六位数 是72的倍数，那么这个六位数是多少？
   
   
   
   

3. 的末尾有多少个连续的0？75
   
   
   
   

4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？34
   
   
   
   

5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？