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第七讲 不定方程
不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程
只有一个解
，方程组
只有一组解
．
什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程
的解就不唯一，因为每当y取定一个数值时，x就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时，这个方程（或方程组）就会有无穷多个解．
可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对．
练一练
求下列方程的自然数解：
（1）
； （2）
；
（3）
；
（4）
．
本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”．
形如
（a、b、c为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解．
甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？
「分析」设张明买了甲级铅笔
支，乙级铅笔
支，可以列出不定方程：
，其中
和
都是自然数．怎么求解呢？
练习1、（1）求
的所有自然数解；（2）求
的所有自然数解．
一般地，如果
是
的一组解，那么
（当
时）也是
的一组解．这是因为
．另外，
（当
时）也是
的一组解，理由相同．
这条性质有什么用呢？我们以求
的自然数解为例，我们容易看出它有一组自然数解
．应用上面的规律，
每次增加3，
每次减少2（只要
还是自然数），所得结果仍然是
的一组解，所以
、
、
、
、
都是
的自然数解．另外
每次减少3（只要
还是自然数），
每次增加2，所得结果也是
的自然数解，所以
、
、
也都是
的自然数解．而且这样就已经求出了
的所有自然数解，它们是：
、
、
、
、
、
、
、
、
．
这就告诉我们，在求形如
（a、b、c为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的
值每次变化
，
值每次变化
得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证
的大小不变）．
采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有
人，乙小队有
人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于
与
的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？
将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？
「分析」不妨设已经截出了
根长36厘米的管子和
根长24厘米的管子．合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？
练习4、酒店里有500升女儿红，李一白每次路过这里就打走35升，杜二甫每次路过这里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？
二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解．而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢？
我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？
《张丘建算经》
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题．
张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期．尽管当时的中国战火连年，朝代更迭频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下．与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大名鼎鼎的祖冲之．
卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅买了多少包奶糖？
「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有
包、
包、
包和
包，再由已知的单价、总价可以列出方程
．这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐．而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可．那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？
练习6、求
的所有自然数解．
作业
（1）求
的所有自然数解；（2）求
的所有自然数解．
在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11棵树，女生每个人种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？
一张纸上写有25个1.21和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为20.08，那么应划去多少个1.3？
樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．
（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子？
（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1.2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？
甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？
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