【324400】2024春七年级数学下册 第2章 二元一次方程组（基础30题专练）（含解析）（新版）浙

第2章二元一次方程组（基础30题专练）

一．选择题（共10小题）

1．（镇海区期末）下列方程是二元一次方程的是（　　）

A．y＝x B．x+ ＝2 C．xy＝6 D．x﹣y＝z﹣5

【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．

【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项符合题意；

B．是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

C．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

D．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了二元一次方程的定义，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．

2．（威宁县校级期末）下列各组数中是方程x+2y＝17的解的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】本题较简单，只要用代入法把x，y的值一一代入，根据解的定义判断即可．

【解答】解：A、代入方程，得左边＝1+14＝15≠右边，不是方程的解；

B、代入方程，得左边＝6+10＝16≠右边，不是方程的解；

C、代入方程，得左边＝﹣3+20＝17＝右边，是方程的解；

D、代入方程，得左边＝36﹣20＝16≠右边，不是方程的解．

故选：C．

【点评】考查了二元一次方程的解，解题关键是把四对数值分别代入原方程，验证等号左右两边的值是否相等，使方程左右两边相等的x和y的值就是符合方程的解．

3．（滨江区校级期末）已知二元一次方程组 有整数解，m为正整数，则m²的值为（　　）

A．4 B．49 C．4或49 D．1或49

【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，由方程组的解为整数解确定出m的值，代入原式计算即可求出值．

【解答】解： ，

①+②得：（m+3）x＝10，

解得：x＝ ，

把x＝ 代入②得：y＝ ，

由方程组为整数解，得到m+3＝±1，m+3＝±5，

解得：m＝﹣2，﹣4，2，﹣8，

由m为正整数，得到m＝2，

∴m²＝4，

故选：A．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，由x＝ 、y＝ 得出m的值是解题关键．

4．（滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（　　）

A．16 B．8 C．32 D．24

【分析】设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，观察图形，根据矩形空地的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个矩形小花圃的长和宽，再将其代入3xy中即可求出花圃的面积．

【解答】解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，

依题意得： ，

解得： ，

∴3xy＝3×4×2＝24．

故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

5．（嘉兴期末）已知 是方程mx﹣y＝3的解，则m的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7

【分析】把 代入方程mx﹣y＝3得出﹣m﹣4＝3，再求出方程的解即可．

【解答】解：把 代入方程mx﹣y＝3得：﹣m﹣4＝3，

解得：m＝﹣7，

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键．

6．（浦江县期末）已知二元一次方程4x﹣7y＝3．用x的代数式表示y，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可．

【解答】解：4x﹣7y＝3，

7y＝4x﹣3，

y＝ ．

故选：C．

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数，y看作未知数．

7．（重庆期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）

A．x²﹣y＝1 B．x+ ＝2 C．2x+y＝3z D．2x+ ＝4

【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．

【解答】解：A选项是二元二次方程，不符合题意；

B选项是分式方程，不符合题意；

C选项是三元一次方程，不符合题意；

D选项是二元一次方程，符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程的概念，解题的关键是掌握二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．

8．（拱墅区期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（　　）

A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁

C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁

【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，做差后即可得出结论．

【解答】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，

依题意得： ，

解得： ，

∴x﹣y＝4，

即甲比乙大4岁．

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9．（慈溪市期末）已知关于x，y的方程2x﹣y＝a+3有一个解为 ，则a的值为（　　）

A．8 B．2 C．0 D．﹣2

【分析】把 代入方程2x﹣y＝a+3，即可求出a的值．

【解答】解：把 代入方程2x﹣y＝a+3，

得4+1＝a+3，

解得a＝2．

故选：B．

【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

10．（鄞州区期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解，也是二元一次方程2x+y＝3的解，则k为（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．

【分析】将二元一次方程两式相加，得2x+y＝9k，代入已知方程求出k的值即可．

【解答】解： ，

①+②，得

2x+y＝9k，

将2x+y＝9k代入二元一次方程2x+y＝3得，

9k＝3，

解得k＝ ，

故选：C．

【点评】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

二．填空题（共10小题）

11．（乐清市期末）已知二元一次方程﹣3x+y＝7，用含x的代数式表示y：　y＝3x+7　．

【分析】把x看作已知数求出y即可．

【解答】解：﹣3x+y＝7，

y＝3x+7，

故答案为：y＝3x+7．

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．

12．（温州期末）已知方程组 ，则x+y的值是　3　．

【分析】将方程组中的两个方程相加，即可求x+y的值．

【解答】解： ，

①+②得，3x+3y＝9，

∴x+y＝3，

故答案为3．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，通过观察已知二元一次方程组与所求代数式的特点，灵活运用等式的基本性质是解题的关键．

13．（南浔区模拟）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问一牛一羊共直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问一头牛和一只羊共值金多少两？”根据题意可得，一头牛和一只羊共值金　 　两．

【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到两个等量关系，即可列出方程组．

【解答】解：设l头牛值金x两，1只羊值金y两，

由题意可得， ，

上述两式相加可得，x+y＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

14．（东阳市期末）当a＝　6　时，方程组 的解x，y的值互为相反数．

【分析】运用整体思想将两个方程的两边分别相加，结合x与y互为相反数求a．

【解答】解： ，

①+②得：2x+2y＝3a﹣18，

∵x+y＝0，

∴2x+2y＝0，

∴3a﹣18＝0，

∴a＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了方程组的解和整体思想，也可以利用消元法求出方程组的解，然后代入x+y＝0，得到关于a的方程，即可求出a．

15．（上城区期末）已知 是方程x+3y＝1的一个解，请再写出这个方程的一个解　 　．

【分析】将方程x+3y＝1变形为x＝1﹣3y，任取一个y，代入即可得到x的值．从而可得此方程的一个解．

【解答】解：将方程x+3y＝1变形为x＝1﹣3y，令y＝0，则x＝1．

则解为 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，将方程x+3y＝1变形为x＝1﹣3y是解题关键．

16．（吴兴区期末）定义运算“*”，规定x*y＝ax²+by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则3*4＝　17　．

【分析】根据新定义x*y＝ax²+by，化简1*2＝5，2*3＝10，解出a和b解题即可．

【解答】解：根据新定义x*y＝ax²+by，得：

，

得： ，

∴3*4＝1•3²+2•4＝17．

故答案为：17．

【点评】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键．

17．（嘉兴）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解　 （答案不唯一）　．

【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．

【解答】解：x+3y＝14，

x＝14﹣3y，

当y＝1时，x＝11，

则方程的一组整数解为 ．

故答案为： （答案不唯一）．

【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

18．（余姚市期末）已知方程2x﹣3y＝5，用含x的代数式表示y，则y＝　 　．

【分析】先把2x移到等式的右边，再把y的系数化为1即可．

【解答】解：移项得，﹣3y＝5﹣2x，

系数化为1得y＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题考查的是解二元一次方程，把2x从等式的左边移到右边时要注意符号的改变．

19．（镇海区期中）已知 是方程mx+3y＝2的一个解，则m＝　 　．

【分析】将 代入方程mx+3y＝2即可求得m的值．

【解答】解：将 代入方程mx+3y＝2得：

2m+3×（﹣3）＝2．

∴m＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程．将方程的解代入原方程是解题的关键．

20．（镇海区期中）将方程2x+y＝2变成用x的代数式表示y，则y＝　﹣2x+2　．

【分析】把x看做已知数求出y即可．

【解答】解：方程2x+y＝2，

解得：y＝﹣2x+2，

故答案为：﹣2x+2．

【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三．解答题（共10小题）

21．（拱墅区月考）已知方程组 与 有相同的解，求a，b的值．

【分析】根据题意得出方程组 ，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．

【解答】解：将第一个方程组中的第一个方程和第二个方程组中的第一个方程联立，组成新的方程组 ．

解这个方程组，得， ．

将 代入第一个方程组中的第二个方程和第二个方程组中的第二个方程，得，﹣6a﹣45＝4，﹣30﹣9b＝1．

解得，a＝ ，b＝ ．

【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出两方程的同解方程是解题关键．

22．（仙居县期末）小明同学解方程组 的过程如下：

解：①×2，得2x﹣6y＝2③ ③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7 ﹣7y＝﹣5，y＝ ； 把y＝ 代入①，得x﹣3× ＝1，x＝ 所以这个方程组的解是

你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．

【分析】用加减消元法解二元一次方程组，在两个方程作差时符号出错了，正确为③﹣②，得﹣6y+y＝2﹣7，求解即可．

【解答】解：错误；理由如下：

①×2，得 2x﹣6y＝2③，

③﹣②，得﹣6y+y＝2﹣7，

∴﹣5y＝﹣5，

∴y＝1，

把y＝1代入①得x﹣3×1＝1，

x＝4，

∴这个方程组的解为 ．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．

23．（诸暨市月考）已知关于x、y的二元一次方程组 ．

（1）若x，y的值互为相反数，求a的值；

（2）若2x+y+35＝0，解这个方程组．

【分析】（1）用加减消元法消去原方程组中a得到关于x、y的方程x+19y＝﹣36，根据x+y＝0可求得x、y的值，代回原方程组可得a；

（2）②×2﹣①，得x+19y＝﹣36 ③，与2x+y＝﹣35，联立方程组求解可得．

【解答】解：（1）

①﹣②×2得：﹣x﹣19y＝36，

即x+19y＝﹣36，

当x＝﹣y时，﹣y+19y＝36，

解得：y＝﹣2，

∴x＝2，

代入①得：a＝8；

（2）②×2﹣①，得：x+19y＝﹣36 ③，

又∵2x+y＝﹣35 ④，

∴③×2﹣①，得：37y＝﹣37，

解得y＝﹣1，

将y＝﹣1代入③，得：x﹣19＝﹣36，

解得：x＝﹣17，

所以方程组的解为： ．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组的能力，加减消元法消去a联立关于x、y的方程组是解题的关键．

24．（杭州期末）已知关于x、y的方程组 ，给出下列结论：

①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解；

②当x＝y时，a＝﹣ ；

③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；

④若z＝﹣ xy，则z的最小值为﹣1．

请判断以上结论是否正确，并说明理由．

【分析】①将a＝1代入方程组，求出方程组的解，即可做出判断；

②将x＝y代入方程组，求出a的值，即可做出判断；

③将a看做已知数求出2x+y的值即可；

④将a看做已知数求出x与y的值代入z＝﹣ xy，即可做出判断．

【解答】解：关于x、y的方程组 ，

解得： ．

①将a＝1代入 ，得： ，

将x＝4，y＝﹣4代入方程左边得：x+y＝0，右边＝2，左边≠右边，该结论错误；

②将x＝y代入 ，得： ，

即当x＝y时，a＝﹣ ，该结论正确；

③将原方程组中第一个方程×3，加第二个方程得：4x+2y＝8，

即2x+y＝4，不论a取什么实数，2x+y的值始终不变，该结论正确；

④z＝﹣ xy＝﹣ （a+3）（﹣2a﹣2）＝a²+4a+3＝（a+2）²﹣1≥﹣1，

即若z＝﹣ xy，则z的最小值为﹣1，该结论正确．

故正确的结论有：②、③、④．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．

25．（饶平县校级期中）解下列方程组：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法可以解答此方程；

（2）根据解二元一次方程组的方法可以解答此方程．

【解答】解：（1）

①×2+②得，7a＝21，

解得a＝3，

将a＝3代入①，得

b＝﹣2，

故原方程组的解是： ；

（2）

化简①得，3x+2y＝7③，

②×2﹣③得，﹣x＝1，

解得，x＝﹣1，

将x＝﹣1代入②得，y＝5，

故原方程组的解是； ．

【点评】此题考查的是二元一次方程组的解法，掌握其解法步骤是解决此题关键．

26．（奉化区校级期末）某电器超市销售每台进价为80元、200元的A，B两种型号的电风扇，如表所示是六月份前2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）

销售时段	销售数量		销售收入
	A种型号	B种型号
第一周	6	5	2100元
第二周	4	10	3400元

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价．

（2）若超市一共采购这两种型号的电风扇共120台，售完后该超市能否实现利润为8000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据前两周的销售数量及销售收入，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设采购A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，根据该超市一共采购这两种型号的电风扇共120台且销售完毕后可获得8000元利润，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，

依题意，得： ，

解得： ．

答：A种型号的电风扇的销售单价为100元，B种型号的电风扇的销售单价为300元．

（2）设采购A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，

依题意，得： ，

解得： ．

答：能实现利润为8000元的目标，可采购A种型号的电风扇50台，B种型号的电风扇70台．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

27．（即墨区期末）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？

【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，

依题意，得： ，

解得： ．

答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．

（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，

依题意，得：4×30+2m＝200，

解得：m＝40．

答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

28．（锦江区校级自主招生）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称	空调	彩电	冰箱
工时
产值（千元）	4	3	2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）

【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，建立三元一次方程组，则总产值A＝4x+3y+2z，由于每周冰箱至少生产60台，即z≥60，所以x+y≤300，又由于生产空调器、彩电、冰箱共360台，故有x≥30台，即可求得，具体的x，y，z的值．

【解答】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有

，

①﹣②×4得3x+y＝360，

总产值A＝4x+3y+2z＝2（x+y+z）+（2x+y）＝720+（3x+y）﹣x＝1080﹣x，

∵z≥60，

∴x+y≤300，

而3x+y＝360，

∴x+360﹣3x≤300，

∴x≥30，

∴A≤1050，

即x＝30，y＝270，z＝60．

最高产值：30×4+270×3+60×2＝1050（千元）

【点评】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．

29．（金华校级月考）解方程组：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）先整理方程组后，再根据加减消元法解答即可；

（2）先消去z后，再解二元一次方程组即可．

【解答】解：（1）原方程组可化为： ，

①+②得：6x＝24，

解得：x＝4，

把x＝4代入②得：y＝2，

所以方程组的解是

（2）

①﹣③得：2y﹣x＝8④，

联立方程组得： ，

②+④得：y＝9，

把y＝9代入②得：x＝10，

把x＝10，y＝9代入①得：z＝7，

所以方程组的解是： ．

【点评】此题考查方程组的解法，关键是消元思想的应用，注意三元一次方程组要化为二元一次方程组．

30．（下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．

【分析】原式化为 ，②﹣①得，x+y＝0，即可得出z＝0，由 解得 ，即可求得原方程组的解为 ．

【解答】解：原式化为 ，

②﹣①得，x+y＝0，

∵x，y，z的值中仅有一个为0，

∴z＝0，

由 解得 ，

∴原方程组的解为 ．

【点评】本题考查了解三元一次方程组，加减消元法消去z联立关于x、y的方程组是解题的关键．