【350041】思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法

思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法

类型一　相交线与平行线中利用方程思想求角度

1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，若∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为(　　)

A．180° B．160° C．140° D．120°

2．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON＝90°.

(1)若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；

(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．【方法14②】

类型二　相交线与平行线中的分类讨论思想

3．在同一平面内，三条直线的交点个数是__________．

4．已知∠α和∠β两边分别平行，且∠α＝x，∠β＝4x－30°，则∠α＝________．

5．★如图，点D为射线CB上一点，且不与点B，C重合，DE∥AB交直线AC于点E，DF∥AC交直线AB于点F.画出符合题意的图形，猜想∠EDF与∠BAC的数量关系，并说明理由．

类型三　平移中利用转化思想求周长或面积

6．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是【方法16】B

A．甲种方案所用铁丝最长

B．乙种方案所用铁丝最长

C．丙种方案所用铁丝最长

D．三种方案所用铁丝一样长

7．如图，在长为50m，宽为30m的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是________．

8．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm.

(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；

(2)求四边形AEFC的周长．

9．(湘潭县期末)如图，已知三角形ABC的面积为16，BC的长为8，现将三角形ABC沿BC向右平移m个单位到三角形A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．

类型四　建立平行线的模型解决实际问题

10．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数为(　　)

A．80° B．90° C．100° D．70°

第10题图　 第11题图

11．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过．如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是________度．

12．小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋，其侧面如图所示．若她已测出∠A＝135°，∠C＝125°，由于受条件影响，屋顶的∠B的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，他也能算出∠B的度数，你知道小芳的哥哥是怎样做的吗？试着说出他的方法，并计算出∠B的度数．

类型五　平行线中利用从特殊到一般的思想进行探究

13．★如图①：MA₁∥NA₂，如图②：MA₁∥NA₃，如图③：MA₁∥NA₄，如图④：MA₁∥NA₅，…，则第n个图中的∠A₁＋∠A₂＋∠A₃＋…＋∠A_n＋1＝________°(用含n的代数式表示)．

14．★如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.

(1)探究猜想：

①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？

②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？

③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明你的理由；

(2)拓展应用：如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)其中区域③，④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求写出过程)．

解：AB∥EF.

理由：在∠BCD和∠CDE内分别作∠BCM＝∠B＝25°，∠EDN＝∠E＝10°，则CM∥AB，DN∥EF，又∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠MCD＝20°，∠CDN＝20°，∴∠MCD＝∠CDN，∴CM∥DN，∴AB∥EF.

参考答案与解析

1．B

2．解：(1)∵∠AOM＝∠CON＝90°，OC平分∠AOM，∴∠1＝∠AOC＝45°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.

(2)设∠1＝x，则∠BOC＝4x，∴∠BOM＝3x.∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝180°－90°＝90°，∴x＝30°，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝90°－∠1＝60°，∠MOD＝180°－∠1＝150°.

3．0或1或2或3　解析：有四种情况：①三条直线互相平行；②只有两条直线平行；③三条直线互不平行(交于一点)；④三条直线互不平行(两两相交，不交于一点)，如图所示．

4．10°或42°　解析：∵∠α和∠β两边分别平行，∴∠α＝∠β或∠α＋∠β＝180°.∵∠α＝x，∠β＝4x－30°，∴x＝4x－30°或x＋4x－30°＝180°，解得x＝10°或x＝42°，∴∠α＝10°或42°.

5．解：有两种情况：(1)如图①，当点D在BC上时，∠EDF＝∠BAC.理由如下：连接AD，∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠FAD.∴∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝∠FAD＋∠EAD＝∠BAC；(2)如图②，当点D在CB的延长线上时，∠EDF＋∠BAC＝180°.理由如下：连接AD，同(1)可得∠EDF＝∠EAF，∵∠EAF＋∠BAC＝180°，∴∠EDF＋∠BAC＝180°.

6．D

7．1421m²

8．解：(1)∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm.∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝CF＝＝3(cm)．

(2)四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．

9．解：过点A向BC作垂线，垂足为H，如图所示．∵S_三角形ABC＝16，BC＝8，∴·BC·AH＝16，∴×8·AH＝16，解得AH＝4.又∵S_{四边形ABB′A′}＝32，∴BB′×4＝32，∴BB′＝8，∴m＝BB′＝8，即m的值是8.

10．D

11．150　解析：如图，过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠ABD＝∠A＝120°.∵∠ABC＝150°，∴∠CBD＝∠CBA－∠ABD＝150°－120°＝30°.∵CF∥BD，∴∠CBD＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠CBD＝180°－30°＝150°.

12．解：过点B作BD∥AE交EF于点D，则AE∥BD∥CF.∵∠A＝135°，∠C＝125°，∴∠ABD＝180°－∠A＝45°，∠CBD＝180°－∠C＝55°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝45°＋55°＝100°.即∠B的度数为100°.

13．n·180　解析：∵MA₁与NA_n平行，∴在图①可得∠A₁＋∠A₂＝180°；在②中可过A₂作A₂B∥MA₁，如图所示，∵MA₁∥NA₃，∴A₂B∥NA₃，∴∠MA₁A₂＋∠BA₂A₁＝∠BA₂A₃＋∠NA₃A₂＝180°，∴∠A₁＋∠A₁A₂A₃＋∠A₃＝360°.同理可得∠A₁＋∠A₂＋∠A₃＋∠A₄＝540°，∠A₁＋∠A₂＋∠A₃＋∠A₄＋∠A₅＝720°，∴∠A₁＋∠A₂＋∠A₃＋…＋∠A_n＋1＝n·180°.

14．解：(1)①∠AED＝70°；

②∠AED＝80°；

③∠AED＝∠EAB＋∠EDC.理由如下：过点E向左作射线EF∥AB，∴∠EAB＝∠AEF.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠EDC＝∠DEF.∴∠AED＝∠AEF＋∠DEF＝∠EAB＋∠EDC.

(2)当点P在区域①时，∠PEB＋∠PFC＋∠EPF＝360°；当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；当点P在区域③时，∠PEB＝∠PFC＋∠EPF；当点P在区域④时，∠PFC＝∠EPF＋∠PEB.