【349945】年陕西省中考数学试卷

陕西省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）﹣18的相反数是（　　）

A．18 B．﹣18 C． D．

2．（3分）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）

A．57° B．67° C．77° D．157°

3．（3分），我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）

A．9.9087×10⁵ B．9.9087×10⁴ C．99.087×10⁴ D．99.087×10³

4．（3分）如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）

A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

5．（3分）计算：（ x²y）³＝（　　）

A．﹣2x⁶y³ B． x⁶y³ C． x⁶y³ D． x⁵y⁴

6．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2

9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°

10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11．（3分）计算：（2 ）（2 ）＝　 　．

12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　 　．

13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y （k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为　 　．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　．

三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）

15．（5分）解不等式组：

16．（5分）解分式方程： 1．

17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

（1）这20条鱼质量的中位数是　 　，众数是　 　．

（2）求这20条鱼质量的平均数；

（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

20．（7分）系统找不到该试题

21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AB＝12，求线段EC的长．

24．（10分）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

25．（12分）问题提出

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　 　．

问题探究

（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是 上一点，且 2 ，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m²）．

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

陕西省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）﹣18的相反数是（　　）

A．18 B．﹣18 C． D．

【解答】解：﹣18的相反数是：18．

故选：A．

2．（3分）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）

A．57° B．67° C．77° D．157°

【解答】解：∵∠A＝23°，

∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．

故选：B．

3．（3分），我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（　　）

A．9.9087×10⁵ B．9.9087×10⁴ C．99.087×10⁴ D．99.087×10³

【解答】解：990870＝9.9087×10⁵，

故选：A．

4．（3分）如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　）

A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃

【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，

故选：C．

5．（3分）计算：（ x²y）³＝（　　）

A．﹣2x⁶y³ B． x⁶y³ C． x⁶y³ D． x⁵y⁴

【解答】解：（ x²y）³ ．

故选：C．

6．（3分）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由勾股定理得：AC ，

∵S_△ABC＝3×3 3.5，

∴ ，

∴ ，

∴BD ，

故选：D．

7．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，

解 得， ，

∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），

∴△AOB的面积 3×2＝3，

故选：B．

8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2

【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，

∴Rt△BCF中，EF BC＝4，

∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，

∴F是AG的中点，

∴EF是梯形ABCG的中位线，

∴CG＝2EF﹣AB＝3，

又∵CD＝AB＝5，

∴DG＝5﹣3＝2，

故选：D．

9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°

【解答】解：连接CD，

∵∠A＝50°，

∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，

∵E是边BC的中点，

∴OD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴∠ODB＝∠ODC BDC＝65°，

故选：B．

10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x²﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵y＝x²﹣（m﹣1）x+m＝（x ）²+m ，

∴该抛物线顶点坐标是（ ，m ），

∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（ ，m 3），

∵m＞1，

∴m﹣1＞0，

∴ 0，

∵m 3 1＜0，

∴点（ ，m 3）在第四象限；

故选：D．

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11．（3分）计算：（2 ）（2 ）＝　1　．

【解答】解：原式＝2²﹣（ ）²

＝4﹣3

＝1．

12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是　144°　．

【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，

所以∠C 108°，BC＝DC，

所以∠BDC 36°，

所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，

故答案为：144°．

13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y （k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为　﹣1　．

【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，

∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，

∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y （k≠0）的图象经过其中两点，

∴反比例函数y （k≠0）的图象经过B（3，2），C（﹣6，m），

∴3×2＝﹣6m，

∴m＝﹣1，

故答案为：﹣1．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2 　．

【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

得矩形AGHE，

∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

∴BG＝3，AG＝3 EH，

∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

∵EF平分菱形面积，

∴FC＝AE＝2，

∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

EF 2 ．

故答案为：2 ．

三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）

15．（5分）解不等式组：

【解答】解： ，

由①得：x＞2，

由②得：x＜3，

则不等式组的解集为2＜x＜3．

16．（5分）解分式方程： 1．

【解答】解：方程 1，

去分母得：x²﹣4x+4﹣3x＝x²﹣2x，

解得：x ，

经检验x 是分式方程的解．

17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

【解答】解：如图，点P即为所求．

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

【解答】证明：∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠C．

∵∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形．

∴AD＝BE．

19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：

（1）这20条鱼质量的中位数是　1.45kg　，众数是　1.5kg　．

（2）求这20条鱼质量的平均数；

（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？

【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，

∴这20条鱼质量的中位数是 1.45（kg），众数是1.5kg，

故答案为：1.45kg，1.5kg．

（2） 1.45（kg），

∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；

（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），

答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．

20．（7分）系统找不到该试题

21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？

【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），

则：20＝15k，

解得k ，

∴y ；

当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），

则： ，

解得 ，

∴y ，

∴ ；

（2）当y＝80时，80 ，解得x＝33，

33﹣15＝18（天），

∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．

22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率 ；

（2）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率 ．

23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AB＝12，求线段EC的长．

【解答】证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，

∴∠OCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝90°，

∵∠AOC+∠OCE＝180°，

∴∴AD∥EC

（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝60°，

∴∠D＝∠ACB＝60°，

∴sin∠ADB ，

∴AD 8 ，

∴OA＝OC＝4 ，

∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

∴四边形OAFC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴CF＝AF＝4 ，

∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，

∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∵tan∠EAF ，

∴EF AF＝12，

∴CE＝CF+EF＝12+4 ．

24．（10分）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得 ，解得 ，

故抛物线的表达式为：y＝x²+2x﹣3；

（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，

故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），

故OA＝OC＝3，

∵∠PDE＝∠AOC＝90°，

∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，

设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，

故n＝2²+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），

故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；

当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，

综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．

25．（12分）问题提出

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　．

问题探究

（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是 上一点，且 2 ，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m²）．

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形CEDF是矩形，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE＝DF，

∴四边形CEDF是正方形，

∴CE＝CF＝DE＝DF，

故答案为：CF、DE、DF；

（2）连接OP，如图2所示：

∵AB是半圆O的直径， 2 ，

∴∠APB＝90°，∠AOP 180°＝60°，

∴∠ABP＝30°，

同（1）得：四边形PECF是正方形，

∴PF＝CF，

在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8 4 ，

在Rt△CFB中，BF CF，

∵PB＝PF+BF，

∴PB＝CF+BF，

即：4 CF CF，

解得：CF＝6﹣2 ；

（3）①∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵CA＝CB，

∴∠ADC＝∠BDC，

同（1）得：四边形DEPF是正方形，

∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，

∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：

则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，

∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，

∴S_△PAE+S_△PBF＝S_△PA′B PA′•PB x（70﹣x），

在Rt△ACB中，AC＝BC AB 70＝35 ，

∴S_△ACB AC² （35 ）²＝1225，

∴y＝S_△PA′B+S_△ACB x（70﹣x）+1225 x²+35x+1225；

②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，

在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B 50，

∵S_△A′PB A′B•PF PB•A′P，

∴ 50×PF 40×30，

解得：PF＝24，

∴S_{四边形PEDF}＝PF²＝24²＝576（m²），

∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m²．