【333055】4.5 利用三角形全等测距离1

北师大版数学七年级下册第四章4.4利用三角形全等测距离课时练习

一、选择题（共15小题）

1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（ ）

A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角

C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定

答案：C

解析：解答：根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C。

分析：作一个三角形等于已知的三角形，其根本就是作边与角，属于基本作图。

2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（ ）

A．作一条线段等于已知线段

B．作一个角等于已知角

C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角

D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角

答案：D

解析：解答：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，可以先A法，也可以先B法，但是都不全面，因为这两种方法都可以，故选D。

分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的两边及夹角作图，用的是ASA判定定理。

3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知的条件是（ ）

A．三角形的两条边和它们的夹角； B．三角形的三条边

C．三角形的两个角和它们的夹边； D．三角形的三个角

答案：A

解析：解答：已知作一个直角三角形，就包含着一个条件是直角了。又要使其直角边等于已知线段，恰好是SAS法作三角形，故A。

分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的两边夹直角作图，用的是SAS判定定理。

4．已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ）

A．作一个角等于已知角 B．作一个角使它等于已知角的一半

C．在射线上取一线段等于已知线段 D．作一条直线的平行线或垂线

答案：C

解析：解答：已知三边作三角形时，用到的三角形的判定方法是SSS定理，而第一条边的作法，需要在射线上截取一条线段等于已知的线段。故C。

分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的三边作图，用的是SSS判定定理。

5．如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是( )

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

答案：B

解析：解答：根据题意可得：

∠ABC=∠EDC=90°

BC=DC（已知）

又∠ACB=∠ECD（对顶角相等）

∴△ACB ≌△ECD（ASA）

∴DE = AB

故B

分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，此题用的是ASA判定方法。对于三角形全等的判定，必须在三个条件，其中可以包含原题中隐含的条件．

6．如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中， 要使DC=AB，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）

A．AO=CO B．BO=DO

C．AC=BD D．AO=CO且BO=DO

答案：D

解析：解答：三角形全等，需要三个条件，

各选项中，只给出了一个条件，再加上隐含的对顶角相等，才两个条件，故不正确。

对于选项D，可得：

AO=CO且BO=DO（已知）

∠AOB=∠COD（对顶角相等）

∴△ACB ≌△DCE（SAS）

∴DC = AB

故D

分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行。对于三角形全等的判定，必须在三个条件，其中可以包含原题中隐含的条件．

7．山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离。在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE。可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长。判定△ABC≌△DEC的理由是( )

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

答案：D

解析：解答：由原题可得：

CD=CA

∠ACB=∠DCE

CE=CB

∴△ACB ≌△DCE（SAS）

∴DE = AB

故D。

分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行。

8．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（ ）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

答案：D

解析：解答：由原题可得：

AC = DC

∠ACB=∠DCB

BC =BC

∴△ACB ≌△DCB（SAS）

∴AB = DB

故D

分析：对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行．

9．下列说法正确的是（ ）

A．两点之间，直线最短；

B．过一点有一条直线平行于已知直线；

C．有两组边与一组角对应相等的两个三角形全等；

D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

答案：D

解析：解答：A应为“两点之间，线段最短”；B应为“过直线外一点有且只有一点平行于已知直线”；C应为“有两组边与夹角对应相等的两个三角形全等”，故D．

分析：此题考察了多个知识点，每个知识点本身都不难，但是一组合在一起，就容易造成混淆，因此需要认真研究．

10．如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个

A．3 B．4 C．6 D．9

答案：C

解析：解答：根据题意可以作出的三角形如下图所示：

△BAEF ≌△ABC △DCB ≌△ABC △CFA ≌△ABC

△ABG ≌△ABC △IBC ≌△ABC △AHC ≌△ABC

故选C。

分析：此题结合了三角形全等的判定和三角形的作图，是一道较难的数学综合性操作题，需要认真研究才能得出正确答案．

11．如图，在△AFD和△BEC中，AD∥BC，AE = FC，AD=BC，点A、E、F、C在同一直线上，其中错误的是（ ）

A．FD∥BE B．∠B = ∠D C．AD = CE D．∠BEA = ∠DFC

答案：C

解析：解答：∵AE = FC

∴AE+EF =EF+ FC

∴AF =E C

∵AD∥BC

∴∠A=∠C

又∵AD=BC

∴△ADF ≌△CBE

∴∠B = ∠D

∠BEC = ∠DFA

∴FD∥BE

∠BEA = ∠DFC

故选C．

分析：此题对于全等三角形的判定与性质进行了综合性考察，较难，既要细心认真才能辨别正确。

12．如果两个三角形全等，那么下列结论正确的是（ ）

A．这两个三角形是直角三角形 B．这两个三角形都是锐角三角形

C．这两个三角形的面积相等 D．这两个三角形是钝角三角形

答案：C

解析：解答：A、B、D是可能的，但不是确定的；只有C是确定的；故选C。

分析：此题对于全等三角形的性质进行了考察，内容简单易懂．

13．在下列四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）

A.AB=DE，BC= EF，∠A=∠D B.∠A=∠D，∠C=∠F，AC= DE

C.∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠D D.AB=DE，BC= EF，△ABC的周长等于△DEF的周长

答案：D

解析：解答：A中不是夹角相等；B中不是夹边相等；C中没有至少一条边；故选D。

分析：此题综合考察了三角形全等的判定方法，把常常出错的地方都进行了强化训练，是一道不错的综合性质题目．

14．如图1，将长方形 纸片沿对角线 折叠，使点 落在 处， 交AD于E，若 ，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中 的角（虚线也视为角的边）的个数是（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2

答案：A

解析：解答：由折叠知△BDC ≌△BDC

∴∠C′BD=∠CBD=22.5°

∠C′=∠C=90°

∴∠C′BC=45°

又∵∠ABC=90°

∴∠ABE=45°

易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°。

综上所述共有5个角为45°，判故选A。

分析：此题根据翻折得到全等，进而角相等，利用角的和差求出各个角的度数，所用到的知识点比较多，包括矩形的性质，三角形全等的判定，角的计算，三角形的内角和等，是一道不错的综合性质题目。

15．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴 对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 (　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

解析：解答：判断可知：（1）正确；（2）错误，对称轴是顶角的平分线所在的直线；（3）错误，应该是“一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的垂线的对称点”；（4）错误，其逆命题正确，但其本身不正确。综上，正确的个数是1个，故选B．

二、填空题（共5小题）

16．在证明两个三角形全等时，最容易忽视的是（ ）和（ ）

答案：公共边|对顶角

解析：解答：在进行三角形全等时，常常忽视公共边和对顶角这两个隐含的条件．

分析：本题考察了学生常常忽视的而又很常用的两个条件，对于提醒学生扎实掌握全等的判定有着促进作用．

17．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是 （ ） 度．

答案： 120

解析：解答：由题意可得：

△ABC≌△EBD

∴∠E=∠A=30°

∠EDB=∠C=60°

∵∠EDB+∠ADE=180°

∴∠ADE=120°

分析：本题充分利用全等的两个三角板解决问题，并考察了以前所学习的邻补角，内容简单．

18．如图，△AOD关于直线 进行轴对称变换后得到△BOC，那么对于（1）∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO （2）直线 垂直平分AB、CD（3）△AOD和△BOC均是等腰三角形（4）AD=BC，OD=OC中不正确的是（ ）．

答案： （3）

解析：解答：由对称变换可得：

△AOD≌△BOC

∴∠DAO=∠CBO

∠ADO=∠BCO

AO=BO DO=CO

∴直线 垂直平分AB、CD

（3）不正确

分析：本题充分利用对称变换后得到的全等三角形的性质解决问题，步骤虽多，但内容较简单．

19．如图有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为（ ）

答案： 15cm

解析：解答：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合

∴DA=DB

∵AC=5cm，BC=10cm

∴△ACD的周长为

AC+CD+ DA

= AC+CD+ DB

=AC+CB

=5cm+10 cm=15 cm

答：△ACD的周长为15 cm

分析：本题充分利用线段垂直平分线的性质和线段的和差进行解决问题，步骤虽多，但内容较简单。

20．如图已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm. 则AE的长是（ ）.

答案： 2cm

解析：解答：∵AB⊥CD　　△BCE是等腰三角形

∴BC= BE=3 cm.

∵CD=8cm

∴BD= BC－CB=8cm－3 cm=5 cm

∵△ABD是等腰三角形

∴AB=BD=5 cm

∴AE=AB－BE=5 cm－3 cm=2 cm

分析：本题充分利用等腰三角形的性质和线段的和差进行解决问题，步骤虽多，但内容较简单．

三、解答题（共5小题）

21．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．

答案：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，

再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，

这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示：

∵AB⊥BF ED⊥BF

∴∠ABC=∠EDC=90°

又∵CD=BC

∠ACB=∠ECD

∴△ACB≌△ECD，

∴AB=DE．

解析：解答： 答案处有解答过程

分析：根据题中垂直可得到一组角相等，再根据对顶角相等，已知一组边相等，得到三角形全等的三个条件，于是根据ASA可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．

22．为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；

（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．

答案：∵PA=PD PC=PB

又∠APB=∠CPD

∴△APB≌△DPC，

∴AB=CD=35 m．

解析：解答：答案处有解答过程

分析：根据题中条件可以直接得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．

23．如图所示，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．

答案：∵AA′，BB′的中点为O

∴OA＝OA′，OB＝OB′

又∠AOB＝∠A′OB′

∴△A′OB′≌△AOB，

∴AB=A′B′．

解析：解答： 答案处有解答过程

分析：根据线段中点的性质，得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等。

24．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．

（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）

答案：AE=CF（OE=OF；DE∥BF等等）

（2）说明你的结论的正确性．

答案：因为四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠DCF=∠BAF，

又∵AE=CF，

∴AC-AE=AC-CF，

∴AF=CE，

∴△DEC≌△BFA

解析：解答： 答案处有解答过程

分析：首先根据矩形的性质得到边相等与角相等，再根据等量减等量差相等，得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等．

25．在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何测得距离？

一位战士的测量方法是：面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。这是为什么呢？

答案：理由是：在△AHB与 中，

∴

解析：解答：在本题中，根据题意可以知道，满足了三个条件：

（1）身体高度一定，（2）帽檐处的角度一定，（3）脚下的直角一定，

故根据ASA判定方法，可以得到两个三角形全全等，

∴距离相等。

分析：根据三角形全等的判定方法，得到一些相应线段或角相等，在现实生活中有许多应用的实例．