【333050】4.4用尺规作三角形

4.4用尺规作三角形

一、单选题

1.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（　　）

A. 3                                           B. 3.5                                           C. 5                                           D. 7

2.在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，进行如下操作：
①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于 EF长为半径作弧，两弧交于点M；
③作射线BM交AC于点D，
则∠BDC的度数为（　　）
 

A. 100°                                      B. 65°                                       C. 75°                                      D. 105°

3.作一个角等于已知角用到下面选项的哪个基本事实（　　）

A. SSS                                      B. SAS                                      C. ASA                                      D. AAS

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D．
则∠ADC的度数为（　　）
 

A. 40°                                         B. 55°                                       C. 65°                                       D. 75°

5.如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A. SAS                                      B. SSS                                      C. AAS                                      D. ASA

6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：
①AD是∠BAC的平分线；
②CD是△ADC的高；
③点D在AB的垂直平分线上；
④∠ADC=61°．
其中正确的有（　　）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

7.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= AB中，一定正确的是（　　）
 

A. ①②③                                 B. ①②④                                 C. ①③④                                 D. ②③④

8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①作出AD的依据是SAS；                ②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上；                ④S_△DAC：S_△ABD=1：2．

A. 1                                            B. 2                                            C. 3                                            D. 4

9.已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（　　）

A. ②③①                                 B. ③①②                                 C. ③②①                                 D. ②①③

10.下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（   ）

A.             B.             C.             D. 

二、填空题

11.用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是________ ．

12.画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD=________AB．

13.如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是________ （填SAS，ASA，AAS，SSS）．

14.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为________ ．

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________ ．
 

三、解答题

16.在△ABC中，F是BC上一点，FG⊥AB，垂足为G.

（1）过C点画CD⊥AB，垂足为D；

（2）过D点画DE//BC，交AC于E；

（3）说明∠EDC=∠GFB的理由.

17.如图，已知∠AOB=20°．
（1）若射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，请你在图中画出所有符合要求的图形；
（2）请根据 （1）所画出的图形，求∠COD的度数．

18.如图，已知△ABC中，AB=2，BC=4
（1）画出△ABC的高AD和CE；
（2）若AD= ， 求CE的长．

四、作图题

19.如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图．

（1）画直线AB；

（2）作射线BC；

（3）画线段CD；

（4）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；

（5）找到一点F，使点F到A，B，C，D四点距离和最短．

20.如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：

①   画线段AB；
②   画∠CDB；
③找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上．

21.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置。（保留作图痕迹）。

五、综合题

22.按要求画图：

（1）作BE∥AD交DC于E；

（2）连接AC，作BF∥AC交DC的延长线于F；

（3）作AG⊥DC于G．

23.如图，平面内有A、B、C、D四点，按照下列要求画图：

（1）顺次连接A、B、C、D四点，画出四边形ABCD；

（2）连接AC、BD相交于点O；

（3）分别延长线段AD、BC相交于点P；

（4）以点C为一个端点的线段有________条；

（5）在线段BC上截取线段BM=AD+CD，保留作图痕迹．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【解析】【解答】解：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD=9，
∵△ABC的周长等于16，
∴AC+CD+BD+AB=16，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE= AB，
∴AC+CD+AD+AB=16，
∴AB=16﹣9=7，
∴AE=3.5．
故选：B．
【分析】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD=BD，AE= AB，再由△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，可得AC+AD+CD=9，AC+CD+BD+AB=16，两式相减可得答案．

2.【答案】D

【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=50°，
由题意可得：BD平分∠ABC，
则∠ABD=∠CBD=25°，
∴∠BDC的度数为：∠A+∠ABD=105°．
故选：D．
【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠ABC=∠C=50°，再利用角平分线的性质与作法得出即可．

3.【答案】A

【解析】【解答】解：作一个角等于已知角”用到了全等三角形的判定方法是：边边边，
故选：A．
【分析】根据作一个角等于已知角可直接得到答案．

4.【答案】C

【解析】【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，
∵∠CAB=50°，
∴∠CAD= ∠CAB=25°，
∵∠C=90°，
∴∠CDA=90°﹣25°=65°，
故选：C．
【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD= ∠CAB=25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA=90°﹣25°=65°．

5.【答案】B

【解析】【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选：B．
【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．

6.【答案】C

【解析】【解答】解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，
∴CD是△ADC的高，故②正确；
∵∠C=90°，∠B=32°，
∴∠CAB=58°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAB=29°，
∴AD≠BD，
∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；
∵∠CAD=29°，∠C=90°，
∴∠CDA=61°，故④正确；
共有3个正确，
故选：C．
【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据直角三角形的高的定义可得②正确，然后计算出∠CAD=∠DAB=29°，可得AD≠BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此③错误，根据三角形内角和可得④正确．

7.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可得直线ED为线段BC的中垂线，
∴ED⊥BC；故①正确；
∵∠ABC=90°，ED⊥BC；
∴DE∥AB，
∵点D是BC边的中点，
∴点E为线段AC的中点，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA；故②正确；
如果EB平分∠AED；
∵∠A=∠EBA，DE∥AB，
∴∠A=∠EBA=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形．
∵△ABE为等腰三角形．故③错误；
∵点D是BC边的中点，点E为线段AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED= AB，故④正确．
故选：B．
【分析】（1）由作图可得出直线ED为线段BC的中垂线，即可得出①ED⊥BC正确；
（2）由直角三角形斜边中线相等可得AE=BE，∠A=∠EBA；故②正确；
（3）利用假设法证明得出△ABE为等边三角形与△ABE为等腰三角形矛盾．故③错误；
（4）利用ED是△ABC的中位线可得ED= AB，故④正确．

8.【答案】C

【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故①错误；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S_△DAC= AC•CD= AC•AD．
∴S_△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD，
∴S_△DAC：S_△ABC= AC•AD： AC•AD=1：3，
∴S_△DAC：S_△ABD=1：2．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：②③④，共有3个．
故选：C．

【分析】①根据作图的过程可以判定作出AD的依据；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

9.【答案】A

【解析】【解答】解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA于点M，交OB于点N；
③分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，
①画射线OC即为所求，
故选：A．
【分析】根据角平分线的作法可直接得到答案．

10.【答案】B

【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故答案为：B．
【分析】①A项，以点B、点C为圆心，以大于 BC长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即可得到线段 的垂直平分线，垂直平分线与线段BC的交点即为点D，则点 为线段BC的中点，AD为△ABC边上的中线。故A项不符合题意。
②B项，以点 为圆心，以大于AC长为半径画弧，交BC及BC延长线于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接 点和该点，与线段BC的延长线交于点D，即可得到这两点的垂直平分线，则AD为△ABC边上的高。故B项符合题意。
③C项，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接 点和该点，并延长与线段BC交于点D，则AD为∠A的角平分线。故C项不符合题意。
④D项，以点A为圆心，以小于 长为半径画弧，与AB所在的直线有两个交点，再分别以这两点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接A点和该点，与线段BC所在的延长线交于点D，即可得到这两点的垂直平分线，则AD⊥AB。但因为从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，三角形顶点和垂足之间的线段才是三角形这条边上的高，所以AD不是△ABC边上的高。故D项不符合题意。

二、填空题

11.【答案】SSS

【解析】【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故答案为SSS．

【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS．

12.【答案】6

【解析】【解答】（1）画线段AB；
（2）延长线段AB到点C，使BC=2AB；
（3）反向延长AB到点D，使AD=AC；

由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB．
【分析】先根据题意分别画出各线段．再比较大小．

13.【答案】SSS

【解析】【解答】解：根据作图过程可知，
OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
∴利用的是三边对应相等，两三角形全等，
即作图原理是SSS．
故答案为：SSS．
【分析】根据作图过程以及全等三角形的判定方法进行判断解答．

14.【答案】30°

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=120°，
∴∠CAB=60°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB= ∠CAB=30°．
故答案为：30°．
【分析】根据AB∥CD，∠ACD=120°，得出∠CAB=60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．

15.【答案】125°

【解析】【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C=90°，∠B=20°，
∴∠CAB=70°，
∴∠CAD=∠BAD=35°，
∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．
故答案为：125°．
【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB，再根据三角形内角和定理可得∠ADB的度数．

三、解答题

16.【答案】（1）
（2）
（3）解：因为DE//BC，
所以∠EDC=∠BCD，
因为FG⊥AB，CD⊥AB，
所以CD//FG，
所以∠BCD=∠GFB，
所以∠EDC=∠GFB。

【解析】【分析】（1）过C作CD⊥AB；（2）过D作DE//BC;（3）由两条直线垂直于同一条直线，可得CD//FG，从而可得∠BCD=∠GFB，而∠EDC=∠BCD，即可证得。

17.【答案】解：（1）如图1、如图2，OC（或OC′）、OD（或OD′）为所作；
（2）如图1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠BOD=∠AOC=90°，
∴∠COD=360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°，
∠COD′=∠BOC﹣∠AOC=90°+20°﹣90°=20°，
如图2，同理可得∠COD=160°，∠COD′=20°，
∴∠COD=20°或160°．

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB；
（2）如图1，由于OC⊥OA，OD⊥OB，则∠BOD=∠AOC=90°，于是利用周角的定义可计算出∠COD=160°，利用∠COD′=∠BOC﹣∠AOC可得到∠COD′=20°，如图2，同理可得∠COD=160°，∠COD′=20°．

18.【答案】解：（1）如图：
（2）∵S_△ABC= ×AD×BC= AB×CE，
∴ × ×4= ×2×CE，
∴CE=3．

【解析】【分析】（1）利用钝角三角形边上的高线作法，延长各边作出即可；
（2）利用三角形的面积公式可得 ×AD×BC= AB×CE，代入数据可得答案．

四、作图题

19.【答案】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：

（3）解：如图所示：

（4）解：如图所示：

（5）解：如图所示：

【解析】【分析】本题考查了直线、射线、线段的画法及两点之间线段最短的性质，熟练掌握线段的性质，进而准确确定点F是解题的关键.

20.【答案】解：如图所示：

【解析】【分析】①连接AB ;② 画射线DC,DB,两射线的夹角就是∠CDB；③过AD两点画直线，过BC两点画直线，两直线的交点就是点P.

21.【答案】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求。

【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等；作出线段AB的垂直平分线和∠COD的平分线，两直线交于P点.

五、综合题

22.【答案】（1）解：如图所示：BE即为所求

（2）解：如图所示：BF即为所求

（3）解：如图所示：AG即为所求．

【解析】【分析】（1）过点B作∠BEC=∠D即可得出答案；（2）延长DC，作∠BFC=∠ACD即可得出答案；（3）过点A作AG⊥CD，直接作出垂线即可．

23.【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
（4）5
（5）解：如图所示：

【解析】【解答】解：（4）点C为一个端点的线段有AC，CD，CP，CB，CM，共5条， 故答案为：5．

【分析】（1）根据题意画图即可；（2）连接AC、BD，交点记作O；（3）延长AD、BC，两延长线的交点记作P；（4）根据图形可得答案；（5）利用圆规在线段BC上截取即可．