【332730】1.6完全平方公式

1.6完全平方公式

一、单选题

1.如果25x²﹣kxy+49y²是一个完全平方式，那么k的值是（   ）

A. 1225                                     B. 35                                     C. ﹣70                                     D. ±70

2.多项式y²+4加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，则满足条件的单项式有（    ）

A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个

3.若x²+kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为（    ）

A. 4                                        B. －4                                        C. ±4                                        D. ±2

4.若x²﹣2（k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为（   ）

A. ±1                                    B. ±3                                    C. ﹣1或3                                    D. 4或﹣2

5.下列式子中是完全平方式的是（　　）

A. a²+2a+1                        B. a²+2a+4                         C. a²﹣2b+b²                        D. a²+ab+b²

6.下列各式中，是完全平方式的是（　　）

A. m²﹣mn+n²                     B. x²﹣2x﹣1                     C. x²+2x+                       D.  ﹣ab+a²

7.若a，b都是有理数，且a²-2ab+2b²+4b+4=0，则ab等于（　　）

A. 4                                          B. 8                                          C. -8                                       D. -4

8.已知（a+b）²=7，（a﹣b）²=4，则a²+b²的值为（  ）

A. 11                                         B. 3                                         C.                                           D. 

9.如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（　　）

A. （a+b）²=a²+2ab+b²                                      B. （a﹣b）²=a²﹣2ab+b²
C. a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）                                D. （a+b）²=（a﹣b）²+4ab

10.如果多项式 是完全平方式，那么M不可能是（   ）

A.                                           B.                                            C. 1                                          D. 4

二、填空题

11.已知（x+y）²=16，xy=2，则（x﹣y）²=________ 

12.若（2a﹣3b）²=（2a+3b）²+N，则表示N的代数式是________．

13.若4x²﹣kx+9（k为常数）是完全平方式，则k=________．

14.若m=2n+3，则m²﹣4mn+4n²的值是________ ．

三、计算题

15.已知：x+ =3，求x⁴+ 的值．

16.已知a+b=5，ab=7，求下列代数式的值：

（1）

（2）a²﹣ab+b² ．

四、解答题

17.根据如图图形．
（1）利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式；
（2）根据（1）中的结果，思考对于两个实数a、b，若a+b=9，ab=18，请计算a﹣b的值．

18.已知关于x的方程x²﹣6x+1=0．
求：x+ 的值；

五、综合题

19.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b²展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，则（a+b）⁵的展开式=________．

（2）利用上面的规律计算：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1=________．

20.如图，有一个边长为 米的正方形苗圃，它的边长增加2米．

（1）根据图形写出一个等式________；

（2）已知：边长增加2米后，苗圃的面积增加16平方米．请根据题意列出关于 的一个方程为________；求原正方形的边长为________米．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】D

【解析】【解答】∵25x²﹣kxy+49y²是一个完全平方式，
∴k=±70，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式的特征进行判别即可得出k的值.

2.【答案】B

【解析】多项式y²+4加上一个单项式后，使它能成为一个二项整式的完全平方，

则满足条件的单项式有 ；4y；-4y共3个．
故选B

【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

3.【答案】C

【解析】【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】∵x²+kx+4=x²+kx+2² ，
∴kx=±2×2x，
解得k=±4．
故答案为：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

4.【答案】D

【解析】【解答】解：∵x²﹣2（k﹣1）x+9是完全平方公式， ∴k﹣1=±3，
解得：k=4或﹣2，
故选D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．

5.【答案】A

【解析】【解答】解：A、原式=（a+1）² ， 是完全平方式，故本选项正确；
B、原式=（a+1）²+3，不是完全平方式，故本选项错误；
C、原式=a²﹣（b﹣1）²+1，不是完全平方式，故本选项错误；
D、原式=（a+b）²﹣ab，不是完全平方式，故本选项错误；
故选：A．
【分析】完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b² ． 看哪个式子整理后符合即可．

6.【答案】D

【解析】【解答】A、不是完全平方式，故本选项错误；B、不是完全平方式，故本选项错误；C、不是完全平方式，故本选项错误；D、是完全平方式，故本选项正确；故选D．
【分析】完全平方公式有两个a²+2ab+b² ， a²﹣2ab+b² ， 根据判断即可．

7.【答案】A

【解析】

【分析】将已知等式左边第三项分为b²+b² ， 前三项结合，后三项结合，利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，两非负数分别为0，求出a与b的值，即可求出ab的值．

【解答】∵a²-2ab+2b²+4b+4=（a²-2ab+b²)+（b²+4b+4)=（a-b)²+（b+2)²=0，
∴a-b=0且b+2=0，
解得：a=b=-2，
则ab=4．
故选：A．

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8.【答案】D

【解析】【解答】解：∵（a+b）²=7，（a﹣b）²=4，
∴a²+2ab+b²=7，a²﹣2ab+b²=4，
∴2（a²+b²）=11，
∴a²+b²= ．
故选：D．
【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案．

9.【答案】D

【解析】【解答】（a+b）²=（a﹣b）²+4ab．故选D．
【分析】我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论．

10.【答案】D

【解析】【解答】A.当M= 时，原式= =(x³+2x)²,A不符合题意；
B. 当M= 时，原式= =(2x²+2x)²,B不符合题意；
C. 当M= 1时，原式= =(2x²+1)²,C不符合题意；
D. 当M= 4时，原式= ,不能变形为完全平方的形式，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】完全平方公式是a² 2ab+b²=(a b)².

二、填空题

11.【答案】8

【解析】【解答】解：∵（x+y）²=16，xy=2，
∴（x﹣y）²=（x+y）²﹣4xy=16﹣8=8，
故答案为：8．
【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．

12.【答案】﹣24ab

【解析】【解答】解：∵（2a﹣3b）²=（2a+3b）²+（﹣24ab）， ∴N=﹣24ab，
故答案为﹣24ab．
【分析】根据（a﹣b）²=（a+b）²﹣4ab即可得出答案．

13.【答案】±12

【解析】【解答】解：∵4x²﹣kx+9是完全平方式，
∴k=±12，
故答案是：±12．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．

14.【答案】9　

【解析】解：∵m=2n+3，即m﹣2n=3，
∴原式=（m﹣2n）²=9．
故答案为：9
【分析】原式利用完全平方公式分解后，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

三、计算题

15.【答案】解：原式=（x²+ ）²﹣2 =[（x+ ）²﹣2]²﹣2
=（3²﹣2）²﹣2
=47

【解析】【分析】利用完全平方公式得原式=（x²+ ）²﹣2=[（x+ ）²﹣2]²﹣2，然后利用整体代入的思想计算．

16.【答案】（1）解： = [（a+b）²﹣2ab]= （a+b）²﹣ab． 原式= ；
（2）解：a²﹣ab+b²=（a+b）²﹣3ab； 原式=4．

【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形进行计算即可；（2）把a²﹣ab+b²化为（a+b）²﹣3ab再计算即可．

四、解答题

17.【答案】解：（1）根据题意得：
（a+b）²=（a﹣b）²+4ab．
（2）由（1）得（a+b）²=（a﹣b）²+4ab
∴（a﹣b）²=（a+b）²﹣4ab．
当a+b=9，ab=18时，（a﹣b）²=9²﹣4×18=9，
∴a﹣b=± ，
∴a﹣b=3．

【解析】【分析】（1）先根据题意，再结合图形列出式子，即可求出答案．
（2）由（1）得（a+b）²=（a﹣b）²+4ab变形为（a﹣b）²=（a+b）²﹣4ab，把a+b=9，ab=18代入计算即可求得．

18.【答案】解：（1）x²﹣6x+1=0
x﹣6+ =0
x+ =6．

【解析】【分析】根据完全平方公式，即可解答．

五、综合题

19.【答案】（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
（2）1

【解析】【解答】解：（1.）∵（a+b）¹=a+b， （a+b）²=a²+2ab+b² ，
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³ ，
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴ ，
∴（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵ ，
故答案为：（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
（2.）2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1=（2﹣1）⁵=1⁵=1（根据（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵的逆运用得出的），故答案为：1．
【分析】（1.）根据规律能得出（a+b）¹ ， （a+b）² ， （a+b）³ ， （a+b）⁴的值，即可推出（a+b）⁵的值；
（2.）根据规律得出原式=（2﹣1）⁵ ， 求出即可．

20.【答案】（1） 或
（2） 或   ；3.

【解析】【分析】(1).  或 ) 等.
⑵关于x的一个方程为: (x+2) ²-x²=16 或  等；解方程得原正方形的边长为: 3.