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第一单元 负数
【例1】某食品包装袋上注明：净含量400±5克，说明该食品的净重在（ ）克---（ ）克之间都是合格的。
解析：分别计算最大值和最小值，再确定合格范围。400+5=405克，400-5=395克；所以这种食品的净重在395克～405克之间都是合格的。
解答：395 405
【例2】某仓库有货物50箱，其中四天记录的数字如下（运进为正，运出为负），（1）请说明各天记录的意义。
（2）哪一天运出的箱数最多？
（3）求出这四天共运进仓库多少箱，最后仓库内共有多少箱货物？
天数 |
第1天 |
第2天 |
第3天 |
第4天 |
箱数 |
+48 |
-40 |
+50 |
-30 |
解
要点提示： 相反意义的量用正负数区分，体现相对数学思想。
规定：运进的箱数为正，运出的箱数为负。
读表时，读到每天的箱数，先看这个数的前面的符号
是正号还是负号。如果是“+”表示运进，如果是“-”
表示运出，最后再结合符号后面的数，说出每天运进
或运出的箱数。
（2）题中明确指出：哪天运进的箱数最多，也就是比较正数+48和+50的大小。根据正数大小比较方法得出+50＞+48。
（3）求这四天共运进仓库的箱数，就是求上面+48、-40、+50和-30这几个数的和。计算时，可以按顺序计算48-40+50-30=28（箱）；也可以把运进箱数相加然后再减去运出的箱数，48+50-40-30=28（箱）。计算最后仓库内货物的箱数，就用原有的箱数50加上四天运进的箱数28，结果是50+28=78（箱）。
解答：
（1）+48表示第1天运进48箱；-40表示第2天运出40箱；+50表示第3天运进50箱；-30表示第4天运出30箱。
（2）-40表示第2天运出40箱，-30表示第4天运出30箱，40＞30，所以第2天运出的箱数多。
（3）48-40+50-30=28（箱） 50+28=78（箱）
答：4天共运进28箱货物，最后仓库共有78箱货物。
【例3】如果把7次作为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示。请用正负数表示以下各位学生的“引体向上”的成绩。
李亮 |
刘红 |
张海明 |
崔可 |
黄兰 |
淘气 |
9次 |
7次 |
8次 |
4次 |
5次 |
6次 |
|
|
|
|
|
|
解析：解答上述问题时，先看每人的次数与7的大小关系。以7次为标准，就是说如果正好7次记为0；比7次多的次数用正数表示，如8次记为+1；比7次少的次数记为负数，如6次记为-1。李亮的次数是9，比7次多2，所以记为+2；刘红的次数正好是7次，所以记为0；张海明的次数是8次，比7次多1，所以记为+1；崔可的次数是4次，比7次少3，所以记为-3、黄兰的次数是5，比7次少2，所以记为-2,；淘气的次数是6，比7少1，所以记为-1。
解答：
李亮 |
刘红 |
张海明 |
崔可 |
黄兰 |
淘气 |
9次 |
7次 |
8次 |
4次 |
5次 |
6次 |
+2 |
0 |
+1 |
-3 |
-2 |
-1 |
【例4】下面是某学校图书馆上周借书情况统计表。（超过100册的部分记为正，少于100册的部分记为负。）
周一 |
周二 |
周三 |
周四 |
周五 |
+49 |
0 |
-4 |
-28 |
5 |
（1）分别算出上周周一至周五每天各借出书多少册？
（2）上周平均每天借出多少册书？
解析：超过100册的部分记为正，就是比100册多的部分记为正数，比100册少的部分记为负数，如果正好是100册则记为0。
（1）周一借书记录是+49，就是说周一借书的册数为100+49，周二借书记录为0，就是说周二正好借书100册，周三借书记录为-4，就是说比100册少4册，即100-4，周五借书记录是+5，就是比100册多5册。
（2）计算出上周每天的借书册数后，根据平均数=总数量÷总份数来列式解答。
解答：
（1）周一：100+49=149（册）周二：100+0=100（册）周三：100-4=96（册）
周四：100-28=72（册）周五：100+5=105（册）
答：周一借出书149册，周二借出书100册，周三借出书96册，周四借出书72册，周五借出书105册。
（2）（149+100+96+72+105）÷5=104.4（册）
答：上周平均每天借出104.4册。
【例5】红红爸爸是一名登山爱好者，周日几个好友相约一起登山，山脚下海拔高度为250米。早上8点时已经登到海拔480米处，于是稍作休息，又向上行进了180米．此时天突然刮起大风，为了安全，只好再向上行进了-150米，到达一个安全地点，此安全地点海拔多少米？
解
要点提示： 向上行进了-150米就是向下行进了150米。
息，又向上行进了180米”，可知是在海拔480+180
=560米处，再根据“只好再向上行进了-150米，
到达一个安全地点”，可知此此安全地点海拔是
560-150=410米。
解答：480+180-150=560-150=410（米）
答：此安全地点海拔410米。
【例6】现在蜗牛的位置在O处，每走1格表示1米。蜗牛向东行3米，又向西行6米，这时蜗牛的位置表示为多少米？
解
要点提示： 数形结合思想是一种常用的数学思想。
解答时，先确定向东的方向是正方向，向东行驶3米记作
+3米，接着向西行驶6米记作-6米，但是向西行走的过
程中还要经过0点，所以向西行驶6米后的位置是-3米。
解答：-3
第二单元 百分数
【例1】对错我来判。（对的在括号里画“∨”，错的画“×”）
一台电脑4500元，先降价10％，后来又提价10％，这台电脑的价格还是4500元。（ ）
解析：本题考查的知识点有求比一个数多百分之（少百分之几）的数是多少。解答时，要明白和理解两次的10%所代表的单位“1”是不同的，降价的10%是以原价4500元为单位“1”，后一个10%是以降价后的4500×（1-10%）=4050（元）为单位“1”，所以目前这台电脑的价格为4050×（1+10%）=4455（元）。
解答：×
【例2】甲数比乙数多25%，则乙数比甲数少（ ）。
解
要点提示： 把百分数先转化成分数，再转化成份数。
）说明乙是单位“1”，如果
把乙看成4份，则甲有4+1=5（份），
这样乙比甲少5-4=1（份），少甲的1÷5=
。
解答：20%
【例3】某商品按20％的利润定价，若按八折出售，每件亏损64元。每件成本是多少元？
解析：解答百分数问题的关键是找准百分数的单位“1”。商品先按20%的利润定价，就是说定价是进价的1+20%即120%，如果设进价是x元，则定价是（1+20%）x=1.2x 元，这时，如果再打八折出售，就是按定价的80%出售，即1.2x的80%，也就是80%×（1.2x）=0.96x元，这时的售价比进价少了64元。解答是，抓住这一等量关系列出方程，然后解答即可。
解答：
解
要点提示： 方程思想是解答复杂百分数问题常用的方法。
x-0.96x=64
0.04x=64
x=1600
答：这种商品的成本是1600元。
【例4】某商场在十一促销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，那么可盈利 215元；如果减去定价的20%出售，那么亏损125元。此商品的购入价是（ ）元。
解析：减去定价的10%出售，盈利 215元；减去定价的20%出售，亏损125元，就是说该商品的（20%-10%）所对应的数量是215+125=340（元），这时我们可以根据数量差÷分率差=单位“1”列式（215+125）÷（20%-10%）求出定价是3400元；如果求商品的购入价，可以根据按照定价的（1-10%）还可以获利215元，列式34003400×（1-10%）-215求出该商品的购入价是2845元。
解答：
定价为：（215+125）÷（20%-10%）=3400（元）
进价为：3400×（1-10%）-215=2845（元）
答：此商品的购入价是2845元。
【例5】一件商品原价是480元，商场开展“满300元减120元”的促销活动，实际上这件商品降价（ ）成。
解析：本题考查的知识点是成数问题，解答时理解“满300元减120元”是解答此题的关键。“满300元减120元”的意思是满300元需要付款300-120=180元，因为480元里只含有1个300元，所以原价480元的商品需要付款480-120=360（元），也就是打了（480-120）÷480=360÷480=75%=七五折，这样相当于降价1-75%=25%=二成五。
解答：
（480-120）÷480=360÷480=75% 1-75%=25%=二成五
答：实际上这件商品降价二成五。
【例6】张老师购买面积为100平方米的商品房需人民币62万元，首付20万元，余下所需的钱从银行按揭贷款，贷款10年，年利率是2.5%（不考虑复利），他买房实际每平方米价值多少元？
解析：求张老师买房实际每平方米的价格需要先求出张老师这套100平方米的住房实际付款多少元，也就是需要先求出张老师贷款需要支付的本息和。首付20万元，贷款支付的本息和是62-20+（62-20）×2.5%×10=52.5（万元）；接着计算出买这套房子实际支付的钱数，20+52.5=72.5（万元），最后计算出单价列式为72.5÷100=72.5÷100=0.725（万元）=7250（元）。解答利息利用的数量关系式是：本息和=本金+本金×年利率×时间。
解答：
62-20=42（万元）
42+42×2.5%×10=42+10.5=52.5（万元）
（52.5+20）÷100=72.5÷100=0.725（万元）=7250（元）
答：他买房实际每平方米价值7250元。
【例7】奶奶有20000元钱，有两种理财方式：一种是买银行1年期理财产品，年收益率是5.2%（3年内利率不变）；另一种是买3年期国债，年利率5.00%.3年后，哪种理财方式收益更大？
解析：本题考查的知识点是用分类讨论的方法解决简单的利率问题。解答时要分别求出两种理财方式的收益，然后进行比较，最后确定哪种理财方式收益更多。
如果采用买一年期理财方式，可以先求出第一年的收益，根据利息=本金×年利率×时间列式为20000×5.2%×1=1040（元），然后再求出第二年的收益（这里注意本金是20000元加上第一年的手语1040元。）列式为（20000+1040）×5.2%×1=10403×5.2%×1=1094.08（元）；接着采用类似的方法计算出第3年的收益，列式为（20000+1094.08+1040）×5.2%×1=21094.08×5.2%×1≈1150.97（元）；然后计算出三年收益和为1040+1094.08+1150.97≈3285.05（元）。
如果采用购买三年期国债，根据利息=本金×年利率×时间列式计算出收益为20000×5.0%×3=1000×3=3000（元）。
最后再比较两种理财方式的多少。
解
（1）先买一年期，把本金和利息取出来合在一起，再存入一年，
20000×5.2%×1=1040（元）
（20000+1040）×5.2%×1=10403×5.2%×1=1094.08（元）
（20000+1094.08+1040）×5.2%×1=21094.08×5.2%×1≈1150.97（元）
1040+1094.08+1150.97≈3285.05（元）
（2）三年期：20000×5.0%×3=1000×3=3000（元）
3285.05元＞3000元
答：第一种理财方式收益更大。
【例8】一种饮料，原定价为5元/瓶，甲、乙、丙、丁四个商店以不同的销售方式促销。
甲：打八五折出售 乙：买四送一
丙：满80元减20 丁：买够百元打七五折
如果买10瓶，去哪家买最划算？
解析：四家商店的促销方式不同，甲店的八五折出售，就是按照购买商品总价的85%来结算；乙店是买四送一，也就是说是花4瓶的价钱买到5瓶饮料，也就是按照4÷5=0.8=80%=八折的方式来结算。丙店是满80元减去20元，因为单价是5元，买10瓶的价钱是5×10=50（元），50元不足80元，所以不能优惠；丁店的优惠方式和丙一样，也是不足100元不能优惠，即丙和丁都需要按照总价结算。
解答：
甲：5×10×85%=42.5（元）
乙：10÷（4+1）=2（组） 5×4×2=40（元）
或者是：5×10×80%=40（元）
40＜42.5
答：去乙店购买划算。
【例9】十一”期间，儿童游乐园实行售票优惠活动，优惠的方式有两种：一种是成人全价，儿童半价；另一种是不管成人还是儿童一律打八折，两种优惠方式可以任意选一种。如果是一个老师带着4名学生去，应该选择哪一种优惠方式？
解析：本题考查的知识点有全价、半价以及八折等知识点，解答时应为没有给出具体的门票价格，可以设门票的价格是a元。根据总价=单价×数量，这样第一种方式需要付费a×0.5×4+a=3a（元）；第二种方式需要付费（1+4）×a×0.8=4a（元），最后再比较出第一种方式优惠。
解答：设门票为a元。
第
要点提示： 设数的方法也是解决问题的一种常用方法。
第二种方式需付费：（1+4）×a×0.8=4a（元）
3a＜4a
答：应选选择第一种优惠方案。
第三单元 圆柱和圆锥
【例1】请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可搭配选择。你选择的材料是几号和几号？说说为什么这样选择？
解
要点提示： 组合的方法也是解决问题的一种常用方法。
圆柱的侧面展开图的长是圆柱的底面周长，所以，
可以先根据给出的圆柱的底面圆计算出这个圆的
周长，然后再看和哪个长方形的长或宽数据一致，
就选择哪组。
解答：材料B的周长：3.14×2=6.28（分米），材料D的周长是2×3.14×4=25.12（分米），根据上面每个材料给出的数据，B和C的材料搭配合适。
【例2】一种圆柱形状的饮料盒，底面直径5.6厘米，高13厘米．要把它的侧面全部围上包装纸，这张包装纸的面积至少是多少？（得数保留整百平方厘米）
解
要点提示： 结果采取进一法是一种常用数学方法。
出圆柱体底面周长，然后用底面周长乘高进行计算即
可得到这个圆柱体的体积的侧面积。
解答：3.14×5.6×13=17.584×13=228.592
≈300（平方厘米）
答：每张包装纸的面积至少是300平方厘米。
【例3】把一根圆柱形木料对半锯开（如图，单位：厘米），求这半块木料的体积。
解析：本题考查的知识点是圆柱的体积和数学的转化思想。计算半圆柱的体积时，先计算出整个圆柱的体积，然后再除以2，即可求出半圆柱的体积。
解
要点提示： 将不规则圆柱转化为规则圆柱，体现了数学的转化思想。
÷2
=3.14×49×32÷2
=4923.52÷2
=2461.76（立方厘米）；
【例4】下面的图（2）是图（1）的侧面展开图．一只蚂蚁沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中的位置是（ ）
A① B② C③ D④
解析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。如下图，最佳方案是蚂蚁沿展开图中线段A②爬行。
解答：B
【例5】将一个圆柱分成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的高为10厘米，表面积比圆柱多40平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
解析：拼成的近似的长方体的上下面的面积等于原来圆柱体的上下底面积，这个长方体的前后面的面积等于圆柱体的侧面积，增加的是这个长方体的左右两个面的面积，左右面的长等于圆柱体的高，宽等于圆柱体的底面半径，用增加的一个面的面积除以圆柱体的高即可求圆柱体的底面半径，再根据圆柱体的体积公式计算即可。
解
要点提示： 抓住“不变量”是一种常用的数学解题方法。
×10
=12.56×10
=125.6（立方厘米）
答：圆柱的体积是125.6立方厘米。
【例6】下面的圆柱与圆锥体积相等的是（ ）。
A B C D
解
要点提示： 等积变形是一种重要的数学思想。
体积和圆锥的体积的3倍，所以底面积相等，
圆锥的高是圆柱的高的3倍的圆柱和圆锥的
体积相等。
解答：C
【例7】小明做了一个圆柱体和几个圆锥体，规格如下图，将圆柱内的水倒入第（ ）个圆锥体，正好倒满。
解
要点提示： 抓不变量的方法是解答此类问题的关键。
圆柱与圆锥的体积之间的关系。解答时，
先观察，因为选项A中圆锥与圆柱等底
等高，所以选项A中圆锥的容积=
圆柱的容积；倒入与圆柱等底等高的选项A
中圆锥形容器中，正好倒满。
解答：A
【例8】有甲乙两个容器，甲容器注满水后，倒入乙容器里，乙容器里水深多少？（单位：厘米）
解析：本题考查的知识点有圆锥和圆柱的体积计算以及数学的“等积变形”思想。解答时，先根据甲容器圆锥的体积=
×底面积×高计算出水的体积，再结合这些水的体积不变，即圆锥内水的体积等于倒入圆柱后水的体积。最后根据圆柱的高=圆柱的体积÷圆柱的底面积即可求出倒入圆柱中的水的高度。
解答：
要点提示： “等积变形”思想是一种常用的数学解题思想方法。
×10÷（3.14×4
）
=
×3.14×36×10÷（3.14×16）
=376.8÷50.24，
=7.5（厘米）；
答：乙容器里水深7.5厘米。
【例9】一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方厘米，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是20厘米，倒放时，空余部分的高度是5厘米，瓶中现有多少毫升饮料？
解析：本题考查的知识点有圆柱的体积计算和数学的“转化”思想。分析时把瓶颈空的那部分换成瓶身圆柱形部分，瓶的总体积相当于5+20厘米高的圆柱形而饮料占20厘米，也就是总体积的
，所以饮料的体积为：30
×
=24（立方厘米）。
解
要点提示： “转化”思想是一种常用的数学解题思想方法。
30
×
=24（立方厘米）
答：瓶内有饮料24立方厘米。
【例10】如图 ABCD是直角梯形。（单位：厘米）以 AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是多少？
解析：本题考查的知识点有圆柱和圆锥的体积计算以及数学的运动变化思想。解答是先明白绕下底AB旋转一周形成的立体图形是一个高为2厘米，底面半径为2厘米的圆柱与一个高为（5-2）厘米，与圆柱等底的圆锥的组合体，根据圆柱、圆锥的体积公式即可求出它的体积。
解答：
3
要点提示： 从运动变化的角度分析也是一种常用的数学解题方法。
×2+×
×3.14×2
×（5-2）
=3.14×4×（2+
×3）
=3.14×12
=37.68（立方厘米）
答：它的体积是37.68立方厘米。
【例11】求出石块的体积。（单位：厘米）
解析：本题直接考查的知识点是不规则物体体积的计算。解答时可以利用数学的转化思想，将不规则的石块放入圆柱后，体积就转化为一个底面直径是20厘米，高是12-10=2（厘米）的圆柱的体积，然后再根据圆柱的体积=底面积×高，列式计算解答。
解答：
3
要点提示： 计算不规则物体的体积时，有时可以利用数学的转化思想，转化为规则物体。
×（12-10）
=3.14×100×2
=3.14×200
=628（立方厘米）
答:石块的体积是628立方厘米。
第四单元 比例
【例1】用 3、5、24和40你可以写出几个比例来？
解
要点提示： 有序思考和分类讨论都是解决数学问题的方法。
解答时，先根据比例中，两个内项的积等于
两个外项的积，把上面的四个数写出一个等
积式，3×40=5×24，然后根据这一基本性质再有序写出第一比例项分别是3、5、24和40的比例，这样可以写出8个不同的比例。
解答：
3：5=24：40 3:24=5:40 5:3=40:35 5:40=3:24
24:3=40:5 24:40=3:4 40:5=24:3 40:24=5:3
【例2】一只青蛙四条腿，两只眼睛一张嘴；两只青蛙八条腿，四只眼睛两张嘴；三只青蛙……”，儿歌中青蛙的只数与对应的腿数成（ ）比例关系。
解析：本题考查的知识点是正比例关系的判断。解答时，先找出已知的信息中的两个变量，青蛙的只数和对应的腿数，然后看这两个变量之间的关系，判断它们的比值一定还是积一定，因为腿数÷只数=4（一定）所以，青蛙的只数和对应的腿数成正比例关系。
解答：正比例
【例3】看图象回答问题。
（1）速度和时间是否成比例，如果成比例，成什么比例？
（2）利用图象估计一下，如果想要4小时行完全程，每小时行多少千米？
解析：本题考查的知识点是利用对应法解答反比例关系问题。
（1）解答时，先观察给出的两个变量，一个是速度一个是时间，观察图形发现：时间随着速度的变化而变化，并且速度×时间=路程（一定），所以速度和时间成反比例关系。
（2）观察图像发现：当速度是每小时120千米时，时间是1小时，速度每小时80千米时，时间是1.5小时，当每小时相识60千米时，时间是2小时，……，这是发现，如果想4小时行驶万全程时，速度对应的点是3小时。
解答：
（
要点提示： 观察图像时，可以采用对应法一一观察。
所以速度和时间成反比例。
根据图形观察，如果想4小时
行完全程，每小时行30千米。
【例4】学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级的三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是2：3，二班和三班分得树苗的棵数比是5：7。求每个班各分得树苗多少棵
解析：本题考查的知识点有把两个比转化为一个比和按比例分配解答问题。解答时，先把两个比转化为一个比，然后再按比例分配解答即可。
解答：2:3=10:15 5:7=15:21,所以一班、二班和三班分得树苗棵数比是10:15:21，10+15+21=46
4
要点提示： 解答此类问题时，可以把两个比转化为一个连比。
=90（棵）
414×
=135（棵）
414×
=189（棵）
答：三个班分得的树苗棵数分别是90棵、135棵和189棵。
【例5】一块长方形菜地，两条互相垂直的线把它分成了四块（如图）。其中三块的面积分别是12、15和24平方分米，则第四块的面积是( )平方分米。
解析：本题考查的知识点有比例和数学的对应思想。解答时先根据长方形的性质，得12和15所在的长方形的长的比是4：5；再设要求的第四块的面积是x平方米，则24：x=4：5，x=30，所以，第四块部分的面积是30平方米。
解答：30
【例6】甲乙两种商品的价格比是5：3，如果它们的价格分别下降15元，其价格比则变为7：3。这两种商品的原价各是多少元？
解析：本题考查的知识点有解比例和份数法设未知数。解答时，因为降价前后的份数比发生了变化，所以可以抓住降价前的份数比是5:3，设其中的一份为x，这样甲商品的价格是5x，乙商品的价格是3x，两种商品都降价15元后，价格比是7:3，这样可以得出比例(5x-15):(3x-15)=7:3，然后再根据比例的基本性质求出x的值，然后再求出两种商品的原价。
解答：
解：设原来甲种商品的价格是5x元，乙种商品的价格是3x元。
(5x-15):(3x-15)=7:3
7(3x-15)=3(5x-15)
2
要点提示： 解答有关比的问题时，可以用设一份量为x的方法来解答。
6x=60
X=10
5x=50 3x=30
答：原来两种商品的价格分别是50元和30元。
【例7】如图，甲、乙两人绕一长80米、宽60米的矩形操场跑步锻炼。甲从A，乙从B相向而跑，结果第一次在E处相见，E离A处有30米，然后继续跑。问甲、乙能否再在E处相遇？如果能，那是甲、乙的第几次相遇？
解析：从图可知，BE＝50米，这意味着乙的速度比甲快，甲、乙速度之比为3：5。 如果再次在E处相遇，此时甲、乙都跑了整数圈。由于时间相同，路程的比等于速度的比，所以甲跑了3圈，乙跑了5圈。因为甲、乙相遇一次，就是合起来跑了一圈，所以甲、乙共跑了3＋5=8（圈）。从E出发后甲、乙两人共遇见了8次，第八次又在E处相遇，这也是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E处相遇）。
解答：甲、乙的第九次相遇。
【例8】一个长方形按4:1放大后，它的周长和面积各发生了怎样的变化？
解析：解答此类放大或缩小类问题时，可以采用“设数法”来解答。设数时，一般设比较小的整数，这样计算起来比较简单，比如此题可以设原来长方形的长是5厘米，宽是4厘米，然后先求出原来的周长和面积，接着求出扩大后的周长和面积，最后进行比较，从而得出结论。
解答：设长方形的长是5厘米，宽是4厘米。
原
要点提示： 设数的方法是解答比和比例问题常用的方法。
原来的面积：5×4=20（平方厘米）
新长方形的长：5×4=20（厘米）宽：4×4=16（厘米）
新长方形的周长：（20+16）×2=72（厘米）
新长方形的面积:20×16=320(平方厘米)
周长的变化：72:18=4:1，面积的变化：320:20=16:1
答：长方形的周长扩大为原来的4倍，面积扩大为原来的16倍。
【例9】一幅地图的比例尺为1:50000，现在如果改为1:20000的比例尺，则原来图上10厘米的距离，现在应画多少厘米？
解析：本题考查的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系。解答时，不管比例尺怎样变化，实际距离是不变的。根据图上距离和原来的比例尺先求出实际距离，列式为10÷
=500000（厘米），然后再根据新地图的比例出和实际距离求出图上距离，列式为500000÷
=25（厘米）。
解
要点提示： 解答此类问题的关键是抓住实际距离不变这一不变量。
=500000（厘米）
500000÷
=25（厘米）
答：现在应该画25厘米。
【例10】一艘轮船以每小时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20%后，又行驶了1小时，这时未行路程与已行路程的比是3：1。甲乙两港相距多少千米？
解析：本题考查的知识点有比与分数的互化和路程、时间和速度之间的关系。解答时要先理解“未行路程与已行路程的比是3：1”的意思就是已行了全程的
，这时用
-20%就是1小时40千米这一路程所对应的分率，所以用数量40除以该数量所对应的分率就是单位“1”全程。
解
要点提示： 解答此题的关键是把路程比转化为分数。
-20%）=800（千米）
答：甲乙两港相距800千米。
第五单元 鸽巢问题
【例1】红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？
解
要点提示： 解答此题的关键是把三种颜色看成三个抽屉。
球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个
球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有
一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3+1=4
（个）。
解答：3+1=4（个）
答：一次至少摸出4个，才能保证有两个是同色的。
【例2】在一次春游活动中，三年级1班有31人带了面包，38人带了饮料，36人带了水果，34人带了巧克力，全班有45人。可以肯定的是有（ ）人这4种都带了。
解析：可能没带面包的:45 - 31 = 14 、可能没带饮料的:45 - 38 = 7 、可能没带水果的:45 - 36 = 9 、可能没带巧克力的:45 - 34 = 11 、可能只带四样中其中一样的:14 + 7 + 9 + 11 = 41 ，所以可以肯定四样都带了的至少有:45 - 41 = 4 (人)。
解答：可以肯定至少有4人这四样都带了。
【例3】一个袋里有红珠子6粒，黄珠子8粒，蓝珠子10粒。最少要抽出多少粒珠子才可保证有3粒是同一颜色？
解
要点提示： 考虑最差情况解答此题的关键。
一共摸出6粒：同时摸出红色、蓝色、黄色各2颗；此时再
任意摸出一个，就一定有3粒珠子颜色相同。
解答：3×2+1=7（粒）
答：最少要抽出7粒珠子才可保证有3粒是同一颜色。
【例4】笔筒里有3支红笔和2支黑笔，如果蒙上眼睛摸一次，至少拿出几支笔才能保证有1支红笔？
解析：把红笔和黑笔看做是两个抽屉，5只笔看做是5个元素，根据抽屉原理考虑最差情况：摸出2支全是黑笔，那么再任意摸出一支就是红笔。
2+1=3（支）
答：一次必须摸出3支铅笔才能保证至少有一支红笔。
【例5】一个兴趣小组有16名同学，他们都订阅了甲乙两种杂志中的一种或两种，那么至少有（ ）名同学都订阅的杂志种类相同。
A 5 B 4 C 6
解析：可以订阅杂志的情况有甲、乙或甲和乙一共三种可能，也就是说有3个抽屉，根据抽屉原理，从最不利的情况考虑：16÷3=5（人）…1（人），所以至少有5+1=6（名）同学订阅的杂志种类相同。
解答： C
【例6】有100个苹果分给幼儿园某班的小朋友，已知其中有人至少分到了3个。那么，这个班的小朋友最少有多少人？
解析：本题考查的知识点是抽屉原理。解答时把小朋友的人数为抽屉个数，人数最少，则分得3个苹果的人数最多，所以用100÷3=33…1，33+1=34（人）
解答：100÷3=33…1 33+1=34
答：这个班的小朋友最少有34人。
【例7】某班同学去买语文书、数学书和英语书，买书的情况是：有买一本书的、有买两本书的、也有买三本书的，问至少要去几个同学才能保证一定有两个同学买到相同科目的书？（其中每本书最多买一本）
解析：买书的情况有：买一本的：故事书，数学书，英语书共3种；买两本的：语文书、数学书，语文书、英语书，数学书和英语书共3种；买三本的：语文书、数学书和英语书；3+3+1=7（种），把这7种情况看做7个抽屉，要保证有有两个同学买到相同科目的书，因此买书的人数要大于7，至少有8位同学买书。
解
要点提示： 解答此题的关键是先建立抽屉。
况看成7个抽屉，要保证有两位买书的类型相同，
因此买书的人数要大于7，7+1=8（人）。
答：至少有8位同学买书。
第六单元 整理与复习
【例1】一个三位数的各位数字之和是17，其中十位数字比个位数字大1。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数。
解析：解答此类问题的关键是正确表示出这个三位数每一数位上的数字以及这个三位数，如果设原数个位数字为a，则十位数字为a+1，百位数字为16-2a，三位数表示为100（16-2a）+10（a+1）+a。
解答：
解：设原数个位数字为a，则十位数字为a+1，百位数字为16-2a
根
要点提示： 方程思想是解决数学问题常用的思想。
100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6
a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
【例2】如果
＞
＞
，那么（
）内填的自然数可以是哪些数？
解析：本题考查的知识点有分数的基本性质、比较分数的大小等综合运用数学知识解决问题的能力。解答时，先观察三个分数不等，已知每个分数的分子，可以先根据分数的基本性质把它们转化成分子相同的分数，
分
要点提示： 转化思想是解决数学问题常用的思想。
、
、
，
由此得出，24＜（）×5＜30，所以括号
里可以填的数是5。
解答：5
【例3】一张正方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成小正方形，而且小正方形的边长取整厘米数，有几种裁法？如果要使得小正方形的面积最大，可以裁多少块？
解析：本题考查的知识点有两个数的公因数和最大公因数。解答时，先统一单位，长和宽用厘米数表示，7分米5厘米=75厘米 、6分米=60厘米；然后求出75和60的公因数3、4、5、15，确定裁法，最后再求出面积最大的块数。
解
要点提示： 分情况讨论思想是解决数学问题常用的思想。
有4种裁法，要使得小正方形的面积最大，
则边长是15，这样长可以裁出5块，宽可以
裁出4块，一共是4×5=20（块）。
【例4】一辆小汽车的牌照是○□△5（一个四位数），已知○+○=□，○+□+□+6=26，△+△=○，那么它的牌照号码是（ ）。
解析：把□=○+○代入○+□+□+6=25可得：○+○+○+○+○+6=26
5○=20
○
要点提示： 分情况讨论思想是解决数学问题常用的思想。
□=○+○=4+4=8 ○=△+△所以：
2△=4
△=2
解答：4285
【例5】有位病人，每天必须吃2个鸡蛋，才能尽快恢复健康。已知家里存有20个鸡蛋，还有一只每天下1个蛋的母鸡，那么这位病人能连续吃鸡蛋多少天？
解析：
方法一：先把那20个鸡蛋吃掉，就可以吃20÷2=10天；在这10天里母鸡已下了10个蛋，这10个蛋可以吃10÷2＝5天；在这5天里母鸡已下了5个蛋，可以吃5÷2＝2天…1个；在这2天里母鸡已下了2个蛋，加上剩下那个蛋，又可以吃（2+1）÷2＝1天…1个；在这1天里，母鸡已下了1个蛋，加上剩下那个蛋，又可以吃1天；在这1天里，母鸡又下了1个蛋，加上当天生的那1个，又能吃1天。所以结果是：10+5+2+1+1+1＝20天。
方
要点提示： 区分“变和不变”是解决数学问题常用的思想。
解答：
方法一：10+5+2+1+1+1＝20（天）
方法二：20÷1＝20（天）
【例6】对任意整数a、b，有a※b=（a+3b）÷2，求4※X=5中X的值。
解析：本题考查的知识点是定义新运算。解答时，根据新的运算方法a※b等于a与b的3倍的和再除以2，由此用新的运算方法把4※X=5写成方程的形式，解方程即可求出x的值。
解答：4※x=5
（4+3x）÷2=5
要点提示： 解答定义新运算问题时，方程思想是常用的数学思想。
4+3x=10
4+3x-4=10-4
3x=6
x=2
【例7】五个完全相同的小长方形刚好可以拼成一个如图的大长方形，大长方形的长与宽的比是（ ）。
解析：本题考查的知识点有比的相关知识和数形结合数学思想。从图形中可以看出，小长方形的2个长的长度等于3个宽的长度，也就是1个长等于1.5个宽。大长方形的长为小长方形的3个宽，所以大长方形的宽为小长方形的1+1.5=2.5个宽，这样大长方形的长与宽的比是3：2.5，最后化简即可。
解答：
小
要点提示： 利用数形结合思想解答问题时，要找准数和形之间的数量关系。
则1个长等于1.5个宽，
大长方形的长为小长方形的3个宽，
大长方形的宽为小长方形的1+1.5=2.5个宽，
大长方形的长与宽的比为3：2.5=6：5。
【例8】小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3 秒，间隔1 秒后再敲第二下。假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6 点，前后共经过了几秒钟？
解
要点提示： 把一次延时和一个间隔看成一组，采用分组法来解答。
个“延时”、 5 个“间隔”，共计（3+1）×
5=20 秒。当第6 下敲响后，小明要判断是否清
晨6点，他一定要等到“延时3 秒”和“间隔
1 秒”都结束后而没有第7下敲响，才能判断
出确是清晨6 点。
解答：（3＋1）×6=24（秒）。
【例9】在图中，BC是直径，AC垂直BC，且甲的面积比乙的面积多57cm2，求：AC=？
解析：阴影部分的面积是半圆面积和三角形面积的公共部分，已知甲的面积比乙的面积多57平方厘米，也就是半圆的面积比三角形的面积多57平方厘米，已知半圆的直径即可求出半圆的面积，半圆的面积减去57平方厘米就是三角形的面积，再根据三角形的面积公式：s=ah÷2、h=2s÷a求出AC的长。
解答：
3
要点提示： 灵活运用数学的等量代换和转化思想来解答。
÷2=3.14×100÷2
=314÷2=157（平方厘米）
（157-57）×2÷20=100×2÷20
=200÷20=10（厘米）
答：AC长10厘米。
【例10】图中正方形的面积是20平方厘米，求图中圆的面积
解
要点提示： 利用“整体代换”思想把正方形的面积看成是半径的平方。
”，根据正方形的面积计算公式“S=a2”已知，也就是说正
方形边长的平方已知，即圆半径的平方已知，用圆
半径的平方乘π就是圆的面积。
解答：3.14×20=62.8（平方厘米）
答：图中圆的面积是62.8平方厘米。
【例11】某瓷器商店去景德镇收购瓷质茶具共1000套，每套收购价为26元，每4套装入1个箱，为一件货物．从产地到商店有500千米，运费按每10件每运1千米收费0.8元．如果瓷茶具在运输途中和销售过程中的损耗为20%，商店想实现30%的利润，那么售价应定为每套多少元？
解析：要想求每套的售价是多少元，就要知道除去受损后的每套成本，要想求每套成本，就要知道购进价格与运费，二者很容易求出，购进价格：26×1000=26000（元），运费1000÷4÷10×0.8×500=10000（元）；然后根据二者之和算出总成本以及除损后每套成本。
解答：
购进价格：26×1000=26000（元）
运
要点提示： 总成本=购进价格+运费
=25×0.8×500=10000（元）
总成本：26000+10000=36000（元）
除损后每套成本：36000÷（1000-1000×20%）
=36000÷800=45（元）
加利润后的定价：45×（1+30%）=45×1.3=58.5（元）
答：售价应定为每套58.5元。
【例12】两个点可连一条线段，三个点可连3条线段，那么12个点可连多少条线段？14个点呢？写出推理过程．
解析：因为两个点即可连成一条线段，所以把点的个数看作n，即n个点，那么最多可连线段的总条数就等于从1开始，前（n-1）个连续自然数的和，代入数据进行计算即可。
解答：
1
要点提示： 从简单情况入手，学会分析、归纳、概括和推理等。
=12×11÷2
=66（条）
14×（14-1）÷2
=14×13÷2
=91（条）
答：12个点可连66条线段，1，4个点可连91条线段。
【例13】计算下面图形的面积。（单位：厘米）
解析：本题考查的知识点有化不规则图形为规则图形的数学转化法和三角形面积的计算。观察图形发现，如果把图形构造成如下的三角形，则通过计算两个三角形的面积差即可计算出不规则图形的面积。
要点提示： 利用“构造法”把不规则图形构造成规则图形是计算面积常用的方法。
解答：
8×8÷2-4×4÷2=32-8=24（平方厘米）
【例14】在一条水渠边，用篱笆围成一块直角梯形菜地（如图）．已知篱笆总长28米。篱笆怎样围这块菜地的面积最大？最大的面积是多少平方米？
解
要点提示： 图形越接近正方形，面积越大。
此时围成的面积最大，即上底+下底=高=28÷2=14
米，注意最后取数时上底+下底=14米，并且上底
＜下底即可。
解答：上底+下底=高时，面积最大。
14×14÷2=98（平方米）
【例15】羊羊运动会上，绵羊家族和山羊家族各派3名乒乓球选手进行比赛，共打三场，3场2胜即为赢．如果你是绵羊家族的领队，你将怎么安排本队的3名选手与对方对阵，才有可能赢得比赛？
解析：可用“田忌赛马”的方法进行安排选手，即是用上对中，中对下，下对上．进行比赛
解答：如果我是绵羊的领队，我将做如下安排：
（1）用我队第一名的选手和对方第二名的选手对阵，赢。
（2）用我队第二名的选手和对方第三名的选手对阵，赢。
（3）用我队第三名的选手和对方第一名的选手对阵，负。
三场比赛可赢得二场，我方可获胜
【例16】买2本故事书和3本科技书共140元，买同样的故事书3本和同样的科技树6本共255元．每本故事书和科技书各多少元？
解析：本题考查的知识点是整体代换数学思想，解答时先用140×2求出4本故事书和6本科技书的价钱，而255是买同样的故事书3本和同样的科技树6本的价钱，相减很容易求出一本故事书的价钱，然后进一步求出一本科技书是多少元。
解
要点提示： 等量代换是一种常用的数学思想。
140×2-255=280-255=25（元）
（140-25×2）÷3=（140-50）÷3=90÷3=30（元）
答：每本故事书25元，每本科技书30元。
【例17】计算下面各题。
（1）
×27+
×41
（2）
×20－
×11
解析：本题考查的知识点是利用数学的转化思想，进行乘法分配律的逆运算。解答时，先整体观察，看能不能通过转化来利用乘法的分配律进行进行。
（1）
×27+
×41=
×3×9+
×41
=
×9+
×41，这时可以用乘法分配律的逆运算解答了。（2）
×20－
×11
=
×20－
×5，同理也可以利用乘法分配律逆运算解答计算了。
解答：
（1）
×27+
×41
（2）
×20－
×11
=
×3×9+
×41
=
×20－
×5
=
×9+
×41
=
×（20－5）
=
×（9+41）
=
×15
=
×50
=
=30
【例18】六年级一班的男、女生比例为3∶2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。
解析：本题考查的知识点比与分数的互化和按比例分配解决问题。原来共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。由此求出男女生原来的人数，最后女生的人数再加上4，求出男女人数的比。
解答：
男
要点提示： 比与分数的转化是一种常用的数学方法。
=24（人）
女生人数：40×
=16（人）
16+4=20（人） 24:20=6:5
答：现在男女人数比是6:5。
【例19】一队强盗一队狗,二队拼作一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗?
解析:假设法,假如这二队都是狗,则 360只狗,腿有360×4＝1440只腿，而实际只有890只腿,总共多出来 1440－890＝550只腿；狗四只腿,强盗两只腿,所以这多出来的550只腿也就是强盗的腿的数量除以 2， 即为强盗人的数量：550 ÷ 2 ＝275 个强盗。360 － 275＝85 即是狗的数量.
解答：
3
要点提示： 假设法是一种常用的数学方法。
4-2=2（只） 550 ÷ 2 ＝275（个）
360 － 275＝85（只）
答：强盗275个，够85只。
【例20】如图，三角形ABC的底边长是3厘米，BC边上的高是1厘米，将三角形以每秒3厘米的速度沿着高的方向向上移动2秒，这时三角形扫过的面积是多少平方厘米？
解析：通过图示法发现，三角形扫过的面
积
角形的面积、
解答：
3×2=6（厘米）
3×6+
×3×2=21平方厘米
答：三角形扫过的面积是21平方厘米。
【例21】甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、外语的其中一门课。则甲、乙、丙三位老师教的课依次是．（ ）
（1）甲是男的，比外语老师年轻．
（2）数学老师是一位学生的姑姑．
（3）丙上课用汉语．
A．外语、数学、语文B．语文、外语、数学 C．语文、数学、外语
解析：本题考查的知识点是逻辑推理。由“甲是男的，比外语老师年轻．”得出甲教语文或数学，“数学老师是一位学生的姑姑”说明数学老师是女的，由此推出甲是语文老师；又丙上课用汉语，可以推测丙教语文或数学，而甲是语文老师，所以丙是数学老师，据此推出乙是外语老师；综合以上得知甲老师教语文，丙老师教数学，乙老师教外语。上面的分析过程还可以用列表法来解答：
|
语文 |
数学 |
英语 |
甲 |
∨ |
× |
× |
乙 |
× |
× |
∨ |
丙 |
× |
∨ |
× |
解答：B
【例22】一家商店规定，每3只空啤酒瓶可换一瓶啤酒。爷爷开始师用20只空啤酒瓶去换啤酒，一共可以喝到多少瓶啤酒？
解析：先拿这20个空瓶去换，可以换6瓶啤酒余2个空瓶，6瓶喝完再换2瓶，2瓶喝完加上前面2个空瓶再换1瓶，喝后加上余的1空瓶，利用“先借再还”先要一瓶喝掉，退回三个空瓶，一共6+2+1+1=10瓶。
解答：
20÷3=6（瓶）…2（个）
6÷3=2（个）
2
要点提示： “先借再还”是一种常用的数学方法。
4÷3=1（瓶）…1（个）
先要1瓶喝掉，退回三个空瓶
一共：6+2+1+1=10（瓶）
答：一共可以喝到10瓶啤酒。
【例23】小刚和小强赛跑情况如下图
（1）（ ）先到达终点。
（2）请用“快”、“慢”来描述他们的比赛情况：小刚是（ ）后（ ）。
（3）开赛初（ ）领先，开赛（ ）分后（ ）领先，比赛中两人相距最远约是（ ）米。
（4）两人的平均速度分别是每分多少米？（保留整数）
解析：本题考查的知识点有读折线统计图和利用折线统计图解决问题。解答时，先要读懂图示，实线表示小强，虚线表示小刚；然后再读懂横轴和纵轴代表的数据的含义：横轴表示时间，纵轴表示行驶的路程米数。需要注意的是：赛跑时，用的时间越少，速度就越快。
（1）先跑完800米，用时少的先到终点，图中显示小强先到终点。
（2）根据观察折线统计图发现，比赛时小刚是先快后慢。
（3）赛初小刚领先，开赛3分钟后小强领先，当小强到达终点时，两人相距最远约为800-700=100（米）。
（4）利用数形结合思想，根据速度=路程÷时间来解答。
解答：
（1）小强 （2）快 慢 （3）小刚 3.5 小强 100
（4）小刚：800÷5.5≈145（米）小强：800÷4.5≈178(米)
【例23】小明、小红、小丽和小强是同班同学，他们约好“五一”放假到公园去玩，具体时间电话联系．如果他们每两人通一次电话，一共通了（ ）次电话。
A．4 B．6 C．8
解析：一共是4人，由于每个都要和另外的3个人通一次电话，一共要通：3×4=12（次）；又因为两个人通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：12÷2=6（次）
解答：B
【例24】小明看一本书，第一天看了全书的一半多10页，第二天正好看了剩下页数的一半，这时还剩45页，这本书有（ ）页。
解
要点提示： “逆推法”是一种常用的数学方法。
结果逆推，一步步找到原始的状态。45页就是剩下的
一半，所以乘2之后就是第一天看的剩下的页数，
第一天看的剩下的页数加上10页就是全书的一半，
再乘2就是全书的页数。
解答：45×2=90（页）
（90+10）×2=100×2=200（页）
答：这本书共有200页。
【例25】买2本故事书和3本科技书共140元，买同样的故事书3本和同样的科技树6本共255元．每本故事书和科技书各多少元？
解析：本题考查的知识点是用代换法解决实际问题。解答时，先用140×2求出4本故事书和6本科技书的价钱，而255是买同样的故事书3本和同样的科技树6本的价钱，相减很容易求出一本故事书的价钱，然后进一步求出一本科技书的单价。
解答：
1
要点提示： “代换法”是一种常用的数学方法。
（140-25×2）÷3
=（140-50）÷3
=90÷3
=30（元）
答：每本故事书25元，每本科技书30元。
【例26】李叔叔要复印5张文字资料，正反面都需要复印，如果复印件只能单面复印，且一次最多可放2张，那么最少要复印（ ）次才能印完．
A．5 B．6 C．10
解
要点提示： “统筹法”是一种常用的数学方法。
可以先设共有A，B，C，D，E，5张资料，正反面分别
用1和2表示。第一次 A1和B1，第二次 A2和C1，
第三次 B2和C2，第四次 D1和E1，第五次 D2和E2。
答：最少要复印5次才能印完
解答：A
【例27】如图，三角形A的面积比三角形B的面积多3平方厘米，a的值是多少？
解析：本题考查的数学思想是数学的数形结合和转化思想。解答时先观察，由于空白梯形是大三角形和长方形的重叠部分，又由于三角形A的面积比三角形B的面积多3平方厘米，所以大三角形的面积比长方形的面积多3平方厘米，根据三角形的面积公式求出大三角形的面积，然后再减去3平方厘米就是长方形的面积，然后再除以长方形长6厘米，最后求出长方形的宽a的值。
解
要点提示： “转化和数形结合”是常用的数学思想。
（27-3）÷6=24÷6=4（厘米）
答：a的值是6厘米。
【例28】从家到学校共有多少种不同的行走路线？（只能向上或向右走）
解析：只能向上或向右走，就是最短的路线，可以根据标数法进行求解。利用“标数法”标数，要注意纵向和横向边沿的走法。
解答：标数如下
要点提示： “标数”法时解答路线问题的一种方法。
一共有6条不同的路线。
答：小香从家到学校共有6种不同的行走路线。
【例29】今年父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁，12年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁。
A．44 B．46 C．48 D．50
解析：12年后两个儿子和父亲的年龄各增加12岁，可看做是原来父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁再加12×3岁后，这时父亲的年龄正好是两个儿子年龄和，即84+12×3=120岁是父亲年龄的2倍，由此用除法可求得12年后父亲的年龄，再减去12就是父亲今年的年龄。
解答：（84+12×3）÷2=120÷2=60（岁）60-12=48（岁）
选：C。
【例30】王老师打电话通知队员，毎个队员接到通知后，马上通知其他队员．如果每分钟通知1人，至少要（ ）分钟才能通知完24人。
解析：第一分钟老师和队员一共有2人；第二分钟老师和队员每人都通知一人，又增加了1×2=2人，第二分钟老师和队员一共有：2+2=4=2×2人；第三分钟老师和队员每人都通知一人，又增加了1×4=4人，第三分钟老师和队员一共有：4+4=8=2×2×2人；第四分钟老师和队员每人都通知一人，又增加了1×8=8人，第四分钟老师和队员一共有：8+8=16=2×2×2×2人；同理，每次通知的队员和老师的总人数，总是前一次的2倍，所以，2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人。
解答：5
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