【321549】六年级数学下册典型例题系列之第四单元正比例和反比例部分（解析版）人教版

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

第四单元正比例和反比例部分（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第四单元正比例和反比例部分。本部分内容主要以正比例和反比例的认识、判断及图表应用为主，而利用正比例和反比例解决生活实际问题则编辑在《比例的应用部分》中。本部分内容偏理解，建议根据学生情况选择性进行讲解，一共划分为九个考点，欢迎使用。

【考点一】认识正比例。

【方法点拨】

一、正比例的意义

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为 (一定）

二、判断两种量是否成正比例关系的方法

先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定），最后作出判断。

三、正比例关系图象的特点

正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。

【典型例题】

科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。

（1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。

解析：竹竿的高增加1m，竿影的长随之增加0.4m。

（2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现?

解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高的比值是不变的。

（（3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。

解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。

【对应练习1】

乘船的人数与所付船费如下表。

（1）表格中的（ ）和（ ）是两种相关联的量，船费随着（ ）的变化而变化；

（2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是（ ），这个比值实际上表示（ ）；

（3）因为每人的（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系。

解析：

（1）人数；船费；人数；(2)5；每人付的船费；（3）船费；船费；人数；正

【对应练习2】

乘船的人数与所付的船费为：

（1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化?

（2）乘船船费与人数有什么关系?

解析：

（1）每张船票的价钱没有变化；

（2）正比例关系

【对应练习3】

观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表：

运货时间（时）	1	2	3	4	5	6	…
运货吨数（吨）	5	10	15	20	25	30	…

（1）表中变化的量有( )和( )。

（2）( )扩大，( )也随着扩大。

（3）3小时运货( )吨，运30吨需要( )小时。

（4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于( )，所以表中的两种量成( )比例。

解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；（4）5；正

【考点二】认识反比例。

【方法点拨】

一、反比例的意义

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系 ，用字母表示为xy=k（一定）。

二、判断两种量是否成反比例关系的方法

先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定），最后作出判断。

【典型例题】

小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。

（1）表中（ ）和（ ）是两种相关联的量。

（2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是（ ），这个积表示的是（ ）。

（3）由此可知∶（ ）一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例关系。

解析：

（1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3） 总页数；每天看的页数；所用的天数；反

【对应练习1】

某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。

（1） 表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?

（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这个积表示什么?

（3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么?

解析：

（1） 有每天生产的个数和需要的天数两种量；是相关联的量；

（2）200×30=300×20=400×15=500×12=6000；积6000表示零件总个数；

（3）成反比例关系；因为每天生产的个数和需要的天数的乘积一定。

【对应练习2】

运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表：

每天运的吨数	300	150	100	75	60	50
需要的天数	1	2	3	4	5	6

（1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。

（2）说明这个积表示什么？

（3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？

解析：

（1）因为积都是300，所以积相等；

（2）这批货物的总吨数；

（3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。

【对应练习3】

生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。

工作效率（个/时）	120	80	60	48	40	…
工作时间/时	2	3	4			…

（1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？

（2）相对应的两个数的乘积各是多少？

（3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间之间的关系吗？

（4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？

解析：

生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。

工作效率（个/时）	120	80	60	48	40	…
工作时间/时	2	3	4	5	6	…

（1）工作时间是随着工作效率的变化而变化的；

（2）相对应的两个数的乘积是240；

（3）这个乘积的实际意义是生产240个零件，工作效率×工作时间＝工作总量；

（4）工作效率和工作时间成反比例。因为工作效率和工作时间是两个相关联的两个量，并且工作时间随着工作效率的变化而变化，工作效率×工作时间＝工作总量（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。

【考点三】利用“商正积反”直接判断比例关系。

【方法点拨】

判断正比例和反比例关系主要有三点：

1.是否为相关联的量；

2.是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反；

3.比值或乘加是否一定（“商正积反”）：

①若两个变量的比值一定，则成正比例；

②若两个变量的乘积一定，则成反比例。

补充：

正比例关系和反比例关系的异同点：

【典型例题1】

下面各题中的两个量，哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例也不成反比例?

（1）等边三角形的周长与边长。

（2）妙想从家步行到学校的平均速度与所花的时间。

（3）每年体检，你们班视力正常的人数与近视的人数。

解析：（1）正比例；（2）反比例；（3）既不成正比例，也不成反比例。

【典型例题2】

关于圆，下列说法（ ）是错误的。

A.圆的周长与直径成正比例

B.圆的周长与半径成正比例

C.圆的面积与半径成正比例

D.圆的周长与面积不成正比例

解析：C

【对应练习1】

判断下列各题中的两种量是否成比例，成什么比例。       

（1）全班的学生人数一定，每组的人数和组数。( )       

（2）圆柱的体积一定，底面积和高。( )       

（3）在平地上，同一时间的竿长和竿影长。( )

解析：反比例     反比例     正比例

【对应练习2】

下面各题中两种量是否成比例，如果成比例成什么比例，填一填。       

（1）苹果的单价一定，购买苹果的总量和总价（ ）比例。       

（2）长方形的周长是20厘米，它的长和宽（ ）比例。       

（3）圆锥体的体积一定，它的底面积和高（ ）比例。

解析：正     不成     反

【对应练习3】

判断下面各题中的两种量是否成比例关系？如果成比例，成什么比例关系？

（1）圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。( )

（2）《作文辅导报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。( )

（3）全班人数一定，男生人数与女生人数。( )

（4）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量。( )

解析：反比例     正比例     不成比例     反比例

【考点四】正比例和反比例的简单应用。

【方法点拨】

此类题型已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例的数量关系进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积一定。

【典型例题1】

已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。

解析：

；9.6； ；24；5

【典型例题2】

下表中x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整。

解析：2；10； ；3；54

【对应练习1】

下表中，如果x与y成正比例，那么？处表示的数是( )；如果x与y成反比例，那么？处表示的数是( )。

x	4	8
y	6	？

解析：12     3

【对应练习2】

如下图，当表格中的两个量A、B成反比例时，则C的值是( )。

A	3	C
B	6	9

解析：2

【对应练习3】

在下表的空格中填上合适的数。

（1）x与y成正比例关系。

x	2	( )	8
y	2.4	6	( )

（2）x与y成反比例关系。

x	0.1		( )
y	100	( )

解析：5     9.6     15     50

【考点五】正比例和反比例的综合应用。

【方法点拨】

正比例和反比例的综合应用，一是判断比例关系，二是利用比例关系求值。

【典型例题】

一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。

（1）将上面的表格填写完整。

（2）工程队修路的时间和修路的米数成正比例关系吗?为什么?

（3）如果修8天，可以修路多少米?

解析：

（1）180；240；300

（2）成正比例关系，因为修路的米数与时间的比值一定，为60；

（3） 480m。

【对应练习1】

给一间房子铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如下：

（1）每块地砖的面积和所需地砖数量有什么关系?

（2）若每块地砖的面积是0.5平方米，需要多少块地砖?

解析：（1）成反比例；（2）120块。

【对应练习2】

用同等规格的方砖铺地。

地面面积（m2）	1	3	( )	15
方砖（块）	4	12	24	( )

①把表格填完整。

②表中相对应的两个数可以求出( )。

③因为( )一定，所以表中( )和( )成( )比例。

解析：

①

地面面积（m2）	1	3	（     6     ）	15
方砖（块）	4	12	24	（     60     ）

②表中相对应的两个数可以求出（     每平方米需要方砖的块数     ）。

③因为（     每平方米需要方砖的块数     ）一定，所以表中（     方砖块数     ）和（     地面面积     ）成（     正     ）比例。

【对应练习3】

新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务，紧急生产一批口罩，下面是每小时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。

每小时生产口罩的数量/万只	3	4	6	8
时间/时	48	36	24	18

（1）这项任务一共需要生产（       ）万只口罩。

（2）如果用a表示每小时生产口罩的数量（单位：万只），t表示完成任务需要的时间，那么a和t成（       ）比例关系，这两种量的关系式是（       ）。

（3）如果每小时生产9万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少小时？

解析：

（1）144       

（2）反；

（3）16小时

【考点六】根据乘积式或分数式，判断比例关系。

【方法点拨】

已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关系。

【典型例题1】

若 A=5B（A、B均为大于0的自然数），则A和B成（ ）比例。

解析：由题意，A:B=15，所以A和B成正比例。

【典型例题2】

已知 ＝c（a、b、c都不为零）。

当a一定时，b与c成_____比例。

当b一定时，a与c成_____比例。

当c一定时，a与b成_____比例。

解析：反     正     正

【对应练习1】

如果4a＝3b，那么a∶b＝（ ）∶（ ），a和b成（ ）比例。

解析：3；4；正

【对应练习2】

已知5x＝4y（x、y均不为0），x：y＝( )∶( )，x和y成( )比例。

解析：4；5；正

【对应练习3】

如果 （x、y均不为0），那么x与y成( )比例关系；如果 （x、y均不为0），那么x与y成( )比例关系。

解析：正     反

【对应练习4】

在A×B＝C中，当B一定时，A和C成( )比例，当C一定时，A和B成( )比例。

解析：正；反

【对应练习5】

如果y＝ ，那么x和y成( )比例关系；如果y＝ ，那么x和y成( )比例关系。

解析：正；反

【考点七】图表中的正比例。

【方法点拨】

正比例关系图象的特点：

正比例关系的图象是一条从（0.0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。

【典型例题】

下图表示某工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成（ ）比例，照这样计算，修筑650米公路需要（ ）小时。

解析：（1）正；（2）6.5

【对应练习1】

如图表示的是某种汽车所行路程和耗油量关系的图象，根据图象回答下面问题。

（1）汽车耗油量与所行路程成（ ）比例关系；

（2）汽车行驶60km的耗油量是（ ）L。

解析：（1）正；（2）8

【对应练习2】

一根弹簧挂上物体（质量不超过20千克）后长度会伸长，下图表示一个物体的质量和弹簧伸长的长度之间的关系。

（1）物体的质量与弹簧伸长的长度成（ ）比例。

（2）如果挂上7干克的物体，那么弹簧应伸长多少厘米?

（3）要使弹簧伸长4.5厘米，应挂上多少干克的物体?

解析：

（1）正；

（2）7÷2×0.5=1.75（厘米）；

（3）4.5÷（0.5÷2）=18（干克）。

【对应练习3】

电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图并回答后面的问题。

（1）校园卡每分钟话费是多少?

（2）通话1小时需要话费多少?

（3）淘气和国外表哥通话花费16.5元，他俩通话了多长时间?

解析：

（1）0.3元；（2）18元；（3）55分钟

【考点八】图表中的反比例。

【方法点拨】

反比例关系图像的特点：

从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。

【典型例题】

把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高度关系的图象如图所示：

（1）底面积和水面高度成（ ）比例关系。

（2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是（ ）cm，底面积是30cm²的杯子中，水面的高度是（ ）cm。

（3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是（ ）cm。

解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5

【对应练习1】

小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关系。

（1）图中的一条曲线，反映了（ ）和（ ）成（ ）比例；

（2）由图象判断，整本书有（ ）页，如果20天读完，每天要读（ ）页；如果每天读5页，需要读（ ）天。

解析：（1）读书的天数；每天读书的页数；反；（2）80；40；6

【对应练习2】

下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。

（1）在这个过程中，哪种量没有变？

（2）速度和所对应的时间成什么比例关系？

（3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？

解析：

（1）路程；

（2）反比例；

（3）2.5小时

【对应练习3】

小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。

把图像所表示的数据填在下面的表内。

时间/时
速度（千米/时）

回答下面问题：

（1）在这一过程中，哪个量没有变？

（2）速度和时间有什么关系？

（3）不计算，从图中观察，如果每小时行40千米，大约用多少小时？

解析：

填表如下：

时间/时	1	2	5	10	20
速度（千米/时）	100	50	20	10	5

（1）路程没有变；

（2）成反比例关系；

（3）2.5小时

【考点九】正比例和反比例在图表中的综合应用（绘图）。

【方法点拨】

正比例、反比例实际应用的解题步骤：

1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。

2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一定的关系求解。

【典型例题】

小宇和小奇参加自行车比赛。

（1）如果他们都是匀速行驶，请将下表补充完整。

（2）根据表中的数据，在右图中找出小宇和小奇行驶的时间和路程的对应点，再把这些点按顺序连起来。

（3）他们所用的时间和对应的路程成什么比例关系?为什么?

解析：

（1）若是匀速行驶，小宇1小时行驶15km，2小时行驶30km，则3小时行驶45km，4小时行驶60km，5小时行驶75km。

若是匀速行驶，小奇1小时行驶20km，2小时行驶40km，则3小时行驶60km，4小时行驶80km，5小时行驶100km。

（2）

（3）正比例，因为他们的速度一定，所用的时间越多，行驶的路程越长。

【对应练习1】

下图表示一辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量的关系。

（1）这辆汽车在高速公路上行驶的路程和耗油量成（ ）比例关系。

（2）根据图像判断，行驶75干米耗油（ ）升。

（3）如果汽车在市区行驶，每行驶50干米耗油6升，照这样计算，在图中描出行驶50干米、100 千米......路程和耗油量对应的点，再按顺序连接起来，画出其图像。

解析：

（1）正；

（2）6；

（3）

【对应练习2】

磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间/分	0	1	2	3	4	5	…
路程/千米	0	7	14	21	28	35	…

（1）上表中路程与时间成（       ）关系。

（2）图中的A点表示1分钟时列车行驶了7千米。请描出其他各点。顺次连接各点，你发现了什么？

解析：

（1）路程与时间有正比例关系。

（2）根据下表在图中描点，连接各点，发现了正比例关系图象是一条过原点的直线。

【对应练习3】

购买一种坚果的质量与应付金额如下表。

质量/千克	0	1	2	3	4	5	…
应付金额/元	0	40	80	120	160	200	…

（1）应付金额和质量是不是成正比例？说明理由。

（2）在下图中描出应付金额与质量对应的点，然后将它们连起来。

（3）30元最多可以买多少千克这种坚果？

解析：

（1）成正比例关系。因为40∶1＝80∶2＝120∶3＝160∶4＝200∶5＝40，应付金额与坚果的质量比值一定，所以它们成正比例关系；

（2）根据表中数据描点，然后顺次连接起来：

（3）解：设30元最多可以买x千克这种坚果，

40x＝30

x＝0.75

答：30元最多可以买0.75千克这种坚果。

【对应练习4】

甲、乙两台机器的工作时间和耗电量如表．

时间/时	1	2	3	4	5	6
甲机器耗电量/千瓦时	30	60	90	120	150	180
乙机器耗电量/千瓦时	30	65	100	130	160	200

根据表中的数据，在下图中描出每一组工作时间与耗电量所对应的点，再把它们按顺序连接起来．

（1）根据画出的图象，（ ）机器的工作时间和耗电量成正比例。

（2）根据画出的图象，工作2.5小时，甲机器的耗电量大约是（ ）千瓦时，乙机器的耗电量大约是（ ）千瓦时。

解析：

画图如下：

（1）甲；（2）75；82.5。