【321547】六年级数学下册典型例题系列之第四单元比例的应用部分提高篇（解析版）人教版

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

第四单元比例的应用部分提高篇（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第四单元比例的应用部分提高篇。本部分内容主要考察比例的应用，包括比例稍复杂的应用题、与正比例和反比例有关的应用题等内容，题型以应用题为主，考点较多，共划分为十个考点，考虑到题型难度，建议作为本章核心内容，根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。

【考点一】正比例与相遇问题一。

【方法点拨】

相遇问题通常同时出发，则相遇时所用时间相同，所以，当时间相同，路程与速度成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。

【典型例题】

小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h。

（1）求相同时间内两车的路程比。

（2）如果小黄车和小蓝车一共行驶了220km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢?

解析：（1）路程比：6:5；（2）小黄车120千米，小蓝车100千米。

【对应练习1】

汽车与公交车的速度比为5∶3，两车分别从相距160千米的A、B两地同时出发相向而行，相遇时汽车行驶了多远?公交车呢?

解析：汽车100km，公交车60km

【对应练习2】

A、B两地距离600千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，那么，

（1）若甲车的速度是60干米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地（ ）千米。

（2）若甲车与乙车的速度比为8∶7，相遇时甲车走了全程的（ ），距A地（ ）千米。

解析：（1）360；（2） ；320

【对应练习3】

A、B两地距离450干米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若甲、乙的速度比为3∶7，则相遇时距B地多少千米？

解析：320

【考点二】正比例与相遇问题二。

【方法点拨】

此类题型的关键是理解同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共走完了两倍的全程。

【典型例题】

小黄车和小蓝车的速度比为6∶5，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。A、B两地相距220千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离A地多远?

解析：

相同时间内，两车的速度比等于路程比，所以路程比为6:5。

同时同地出发再返回的第一次相遇，两车共行驶了两倍的全程。

路程和是440千米，一份量∶440÷（6＋5）=40（km）。

小蓝车∶40×5=200（km）

答：相遇地点距离A地200千米。

【对应练习1】

汽车和公交车的速度比为5:3，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地两人如此往返。A、B两地相距160千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离B地多远？

解析：

路程比为5:3，一份量：160×2÷（5+3)=40(km)

公交车：40×3=120（千米）

距离B地：160-120=40（千米）

答：略。

【对应练习2】

甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？

解析：

同时同地出发再返回的相遇，仍然满足时间相同，路程之比等于速度之比，故两人的路程之比为3∶5，两人共走完了两倍的全程，所以甲走了1000×2÷（3＋5）×3=750米，这时相遇点距B地1000-750=250米。

【对应练习3】

诗诗和健健同时从甲地出发去乙地，诗诗和健健的速度比为7∶4，诗诗到达乙地后直接掉头直到与健健相遇.如果甲乙两地相距44干米，则相遇地点距甲地多远?

解析：32千米。

【考点三】正比例与中点相遇问题。

【方法点拨】

中点相遇问题的关键是理解快车比慢车多行两个离中点的距离。

【典型例题】

甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，3小时后在离A、B中点15干米处相遇，已知甲、乙两车的速度比是7∶6，求：

（1）甲车比乙车多行多少千米？

（2）A、B两地相距多少干米?

（3）甲、乙两车的速度各是多少?

解析：

（1）中点问题，甲车比乙车多行15×2=30（干米）。

（2）甲、乙两车行驶时间相同，路程比等于速度比，A、B两地相距

30÷（7-6）×（7＋6）=390（千干米）。

（3）甲车行了390× =210（千米），甲车速度为210÷3=70（干米/时）

乙车行了390× =180（千米），乙车速度为180÷3=60（干米/时）。

【对应练习1】

甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车与乙车每小时所行路程比是7∶5，两车在离中点36千米处相遇。则东、西两地间的距离是多少千米？

解析：甲速与乙速的比为7:5.所以甲走了7份，乙走了5份，甲比乙多走2份。两车在离中点36干米处相遇，则甲比乙多走72干米，所以1份为36干米，甲乙两地共12份，则距离为36×12=432（干米）。

【对应练习2】

甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出，它们的速度比是5:7，在距中点18千米处相遇两地相距多少千米?

解析：

因为两车同时出发，相遇时间一定，所以，路程与速度成正比，即相遇时甲、乙两车行驶的路程比为5:7，然后由“距中点18千米处相遇”可以知道，相遇时乙车比甲车多行18×2=36(千米)。所以18×2×=216(千米)

答：两地相距216千米。

【对应练习3】

客车和货车同时从甲，乙两地相向开出，客车每小时行全程的，货车每小时行60千米，相遇时客车和货车所行路程的比是3:2。甲、乙两地相距多少？

解析：360千米

【考点四】正比例与追及问题。

【方法点拨】

追及问题通常有时间相同，当时间相同时，路程和时间成正比例，即t甲=t乙时，有S甲∶S乙=V甲∶V乙。

【典型例题】

小黄车速度为60km/h，小蓝车速度为50km/h，如果相同时间内小黄车比小蓝车多行驶20km，那么小黄车行驶了多远? 小蓝车呢?

解析：

两车速度比为6∶5，路程=速度×时间，相同时间内，两车的路程比为6∶5。

一份量∶20÷（6-5）=20（km）。

小蓝车∶20×5=100（km）

小黄车∶20×6=120（km）

答：略。

【对应练习1】

汽车与公交车的速度比为5∶3，它们在相距40千米的位置同时出发，同向而行，那么当汽车追上公交车的时候，公交车行驶了多少千米?

解析：60km

【对应练习2】

甲、乙两人从A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为3∶2，当甲追上乙时，甲比乙多走了500米，此时甲共走了多少米?

解析：

一份量∶500÷（3-2）=500（米），甲的路程∶500×3=1500（米）。

【对应练习3】

甲、乙的速度之比为5∶2，它们在相距6干米的位置同时出发，同向而行，甲追上乙的时候，乙走了多少干米？

解析：4千米。

【考点五】反比例与行程问题一。

【方法点拨】

反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。

【典型例题】

小东上学的速度与放学回家的速度比为2∶5，从学校回家花的时间比从家到学校花的时间要少15分钟，那么小东上学路上用了多长时间?

解析：

上学放学速度比为2∶5，路程=速度×时间，路程一定，上学放学的时间比为

5∶2。

一份量∶15÷（5-2）=5（分钟）。

上学∶5×5=25（分钟）。

【对应练习1】

小东和小明赛跑，他们的速度之比为11∶8，结果小东比小明晚了6秒到达终点.请问：小东花了多长时间跑到终点?

解析：

路程一定，速度比为11∶8，则时间之比为8∶11，1份时间就是6÷（11-8）=2秒，小东花了11份时间，也就是2×11=22秒。

【对应练习2】

琪琪和佳佳从家到学校路程相同，已知琪琪和佳佳的速度比为5∶6，琪琪从家到学校用了30分钟，那么佳佳从家到学校需要多少分钟？

解析：

路程相同，速度与时间成反比，琪琪和佳佳的时间比为6∶5，佳佳从家到学校的时间为30× =25（分钟）

【对应练习3】

乐乐老师从家到公园，若速度提高，原来速度与提高后速度的比是2∶3，则比原计划早20分钟到达，那么原计划用多少分钟?

解析：

根据路程一定，时间比等于速度的反比；乐乐老师的速度提高，则原速和提速后的速度比为1∶1.5=2∶3，路程一定的情况下，则原速和提速后所用的时间比为3∶2，那么原计划用20÷（3-2）×3=60（分钟）

答∶原计划用60分钟。

【考点六】反比例与行程问题二。

【方法点拨】

反比例在行程问题中的应用，即路程一定，时间和速度成反比例，时间比等于速度的反比。

【典型例题】

甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是8:9，已知甲每小时行16千米，行完全程比乙多用 小时，两地相距多少千米？

解析：

解：设甲行完全程用x小时，则乙行完全程用（x- ）小时。

9:8=x:（x- ）

x=

路程：16× =60（千米）

答：两地相距60千米。

【对应练习1】

甲、乙两人同时从A地到B地，骑车的速度比是5:6，已知甲每小时行20千米，行完全程比乙多用20分钟，甲、乙两地相距多少千米？

解析：114千米。

【对应练习2】

从A地到B地，甲、乙两人所需时间的比是8:7，已知甲每分钟比乙少行6米，行完全程要45分钟，A地到B地有多少米？

解析：

解：设甲每分钟行x米，则乙每分行（x+6）米。

7:8=x:（x+6）

x=42

路程：42×45=1890（米）

答：略。

【对应练习3】

铺一段长64千米的铁轨，前12天铺了38.4千米，中途因雨停工4天，要在预定时间内完成，每天应多铺多少米？

解析：3.2千米。

【考点七】比例与单量不变问题。

【方法点拨】

单量不变问题，即其它量发生变化时，单一量的值不发生改变，该类题型要以一份量为未知数，根据题目关系建立方程。

【典型例题】

小胖和大胖一起吃冰淇淋，本来小胖和大胖吃的个数比为2∶3，后来大胖又吃了24个，现在小胖和大胖吃的个数之比为10∶27，求小胖吃了多少个冰淇淋?

解析：

解：设小胖原来吃了2x个，大胖原来吃了3x个。

2x:（3x+24）=10:27

x=10

小胖：2×10=20（个）

答：略。

【对应练习1】

小胖和大胖一起吃草莓，本来小胖和大胖吃的个数比为3:4，后来大胖又吃了10个，现在小胖和大胖吃的个数之比为4:7，求小胖吃了多少个草莓？

解析：24个。

【对应练习2】

希望小学六年级学生中，男生与女生的人数比为7∶5，又转来15名男生，这时男生与女生的人数比为3∶2.希望小学六年级现在有多少名学生?

解析：375名。

【对应练习3】

未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？

解析：84；126

【考点八】比例与和不变问题。

【方法点拨】

和不变问题，即在两个单量都发生变化的时候，这两个量的和不发生变化（即和是定值）。

【典型例题】

大宝和小宝一起吃饺子，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2:3，后来大宝想要减肥，又夹了10个饺子到小宝碗里，此时大小宝碗里饺子之比为3:7，求两人一共有多少个饺子？

解析：

解：设原来大宝和小宝碗里各有2x个，3x个。

（2x-10）:（3x+10）=3:7

x=20

一共：20×5=100（个）

答：略。

【对应练习1】

大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆?

解析：60个。

【对应练习2】

甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5干克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？

解析：75千克。

【对应练习3】

甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人?

解析：

甲车间原有160人，乙车间原有120人。

【考点九】比例与差不变问题。

【方法点拨】

1.差不变问题，即在两个单量变化的时候，这两个量的差不发生变化，常见的差不变问题是同增同减差不变，例如年龄问题。

2.方程法解决比例问题：

方程法能解决大部分的比例问题.通常设一份量为x，从而表示出变比的过程，通过列比例方程，最终解决比例问题。

【典型例题】

小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两人各自吃了多少块肥肉?

解析：

解：设一份量为x。

（2x+5）∶（5x+2）=5∶9

x=5

小牛原来吃的肉块数∶2x=10块

大牛∶5x=25块。

答：略。

【对应练习1】

小牛和大牛吃鸡蛋，原来小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为2∶3，后来小牛又吃了4个，大牛也又吃了3个，此时小牛和大牛吃的鸡蛋个数之比为3∶4，求原来两人各自吃了多少个鸡蛋?

解：设原来小牛吃的鸡蛋个数是2x，大牛是3x。

（2x+4）∶（3×+3）=3∶4

x=7。

小牛原来吃的鸡蛋个数∶2x=14

大牛原来吃的鸡蛋个数∶3x=21。

答：略。

【对应练习2】

甲乙两个仓库，堆放物品的质量比是3∶7，甲仓库运进6吨，乙仓库运出4吨后，甲乙仓库堆放的物品的质量比是3∶5，求甲乙仓库原来各堆放多少吨物品?

解析：

解：设原来甲仓库有物品3x吨，乙仓库就有7x吨。

（3x＋6）∶（7x-4）=3∶5

x=7，

甲：3×7=21（吨）

乙：7×7=49（吨）

答：略。

【对应练习3】

某校五年级只有两个班，全年级的男生人数与女生人数之比为8∶7，已知一班男生有51人，女生有48人，二班的男生人数与女生人数之比为5∶4，那么二班男生有多少人？女生有多少人？

解析：45人；36人。

【对应练习4】

今年三毛和二毛的年龄比是7∶5，五年后，三毛与二毛的年龄比是13∶10，问两人今年各几岁?

解析：三毛今年21岁，二毛今年15岁。

【对应练习5】

A、B两种商品的价格之比为7∶2，如果它们的价格分别上涨60元后，价格之比为5∶2，这两种商品原来的价格各是多少?

解析：A：315元；B：90元。

【考点十】稍复杂的比例问题。

【方法点拨】

稍复杂的比例问题，先判断等量关系，再建立方程求解。

【典型例题】

小明和小芳两人压岁钱的比是4∶3，开学时交学费用去钱的比是18∶13，这时小明和小芳各剩下36元、48元，求原来两人各有多少元压岁钱?

解析：792元；594元。

【对应练习】

兄弟两人月收入的比为4∶3，月支出比为11∶6，月结余均为3600元，问每人每月收入多少元？

解析：

解：设兄弟两人月收入分别为4x元，3x元

（4x－3600）∶（3x－3600）＝11∶6

6×（4x－3600）＝11×（3x－3600）

24x－21600＝33x－39600

33x－24x＝39600－21600

9x＝18000

x＝18000÷9

x＝2000

2000×4＝8000（元）

2000×3＝6000（元）

答：兄弟两人每个月的收入分别是8000元、6000元。