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2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之
第四单元比例的应用部分基础篇（解析版）
编者的话：
《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第四单元比例的应用部分基础篇。本部分内容主要考察比例的应用，包括比例的一般应用题、与正比例和反比例有关的应用题、图形的放大与缩小等内容，题型以应用题为主，考点较多，共划分为九个考点，考虑到题型难度，建议作为本章核心内容，根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】物体高度与影长问题。
【方法点拨】
物体高度与影长问题：
利用在太阳下，同一时间、同一地点，不同物体的高度和影长的比值相等这一等量关系，建立比例方程。
【典型例题】
一根旗杆高8米，影子长4米. 同一时间测得附近一棵大树影子长10米，求这棵大树的高度。（用比例解答）
解析：
解：设这棵大树高x米。
8∶4=x∶10
x=20
答：这棵大树高20米。
【对应练习1】
小兰的身高1.5m，她的影长是3m。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影长4m 这棵树有多高?
解析：
解：设这棵大树高x米。
1.5∶3=x∶4
x=2
答：这棵大树高2米。
【对应练习2】
一根旗杆高10米，影子长8米，同一时间测得附近一座古塔影子长20米，求这座古塔的高度。（用比例解答）
解析：
解：设古塔高度为x米。
10:8=x:20
x=25
答：古塔高25米。
【对应练习3】
在同一时间、同一地点，一根长3米的竹竿影子长12米，一棵树的影子长42米，这棵树高多少米?
解析：
解：设这棵树高x米。
3∶12=x∶42
x=10.5
答：这棵树高10.5米。
【考点二】根据已知比例，列方程解决问题。
【方法点拨】
该类题型已知比例，以题目中的比例作为等量关系建立方程。
【典型例题】
防疫时期，教室地面和桌子表面需要消毒。桶里放有6.4升水，根据说明，需加入多少消毒剂？（用比例解答）
解析：
解：设需要加入x升消毒剂。
x∶6.4＝1∶10
10x＝6.4×1
10x÷10＝6.4÷10
x＝0.64
答：需要加入0.64升消毒剂。
【对应练习1】
无障碍设施建设体现了城市“以人为本”的建设理念。无障碍出入口应设计轮椅坡道，坡道的坡度要符合无障碍设施的设计要求。坡度是指每段坡道的垂直高度与水平长度的比（如图）。一条轮椅坡道的坡度是1∶16，水平长度是12.8m。这条轮椅坡道的垂直高度是多少米？
解析：
解：设这条轮椅坡道的垂直高度是x米。
x∶12.8＝1∶16
16x＝12.8×1
16x÷16＝12.8×1÷16
x＝0.8
答：这条轮椅坡道的垂直高度是0.8米。
【对应练习2】
将一座高32米的铁塔设计成模型，如果实际高度与模型高度的比是200∶1，那么铁塔模型的高度将是多少厘米？（用比例解）
解析：
32米＝3200厘米
解：设铁塔模型的高度将是x厘米。
3200∶x＝200∶1
200x÷200＝3200÷200
x＝16
答：铁塔模型的高度将是16厘米。
【对应练习3】
淘气收集了60张邮票。淘气和笑笑收集的邮票张数比是2∶3，笑笑收集了多少张邮票？（用比例知识解）
解：设笑笑收集了x张邮票。
60∶x＝2∶3
2x＝60×3
2x＝180
x＝90
答：笑笑收集了90张邮票。
【对应练习4】
一种稀释消毒液，用药液和水按1∶200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答）
解析：
解：设需要药液x千克。
200x＝603－x
201x＝603
x＝3；
答：需要药液3千克。
【考点三】带有分数的比例问题。
【方法点拨】
带有分数的比例问题，关键在于找到分率间的等量关系，再根据等量关系列方程求解。
【典型例题】
小明读一本300页的故事书，前2天读了全书的，照这样计算，读完全书还要多少天?
解析：
这是一道带有分数的比例应用题，我们既可以根据具体的页数列比例式，也可根据相对应的分数列比例式。
解：设读完全书还需要x天
：2=（1-）：x
x=4
答：读完全书还需要4天。
【对应练习1】
一辆汽车从A地开往300千米外的B地，前2小时已经行了全程的，照这样计算，行完全程还需要几小时?
解析：3小时
【对应练习2】
做一件工作，甲乙两人工作效率的比是4∶5，若甲单独做3天，能完成任务的
，那么两人合作多少天能完成任务？
解：设乙的工作效率是x。
÷3∶x＝4∶5
∶x＝4∶5
4x＝
x＝
1÷（
＋
÷3）
＝1÷（
＋
）
＝1÷
＝
（天）
答：那么两人合作
天能完成任务。
【考点四】正比例与归一问题。
【方法点拨】
正比例与归一问题，以单一量为等量关系建立方程求解。
【典型例题】
一个晒盐场用500千克海水可以晒15千克盐，照这样的计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？
解析：从题意可知，海水越多，所晒的盐就越多，每千克海水所晒盐的质量是一定的，相关联的两个量是成正比例的，它们的关系是成正比例的关系。我们可以用比值相等，列出成正比例的关系式.注意要统一单位。
解：设100吨海水可以晒盐x千克。
100吨=100000千克
500:15=100000:x
500x=1500000
x=3000
3000千克=3吨
答：100吨海水可以晒盐3吨。
【对应练习1】
五一假期，郑磊和爸爸妈妈自驾去外地看外婆。麻城距离外婆家大约有460km，汽车每100km耗油8L，按照这个耗油量，出发时加满40L汽油，能到外婆家吗？（用比例知识解答）
解析：
解：设40L汽油能行驶
千米。
答：加满40L汽油，能到外婆家。
【对应练习2】
妈妈买6kg苹果用30元。买8kg需要多少钱？（用比例解答）
解析：
解：设买8kg苹果需要x元。
30∶6＝x∶8
6x＝30×8
6x＝240
x＝240÷6
x＝40
答：买8kg需要40元。
【对应练习3】
某车间要加工630个零件，前2天加工了180个，照这样计算，剩下的还要几天才能完成任务？（用比例解）
解析：
解：设剩下的还要x天才能完成任务；
180∶2＝（630－180）∶x
180x＝450×2
180x＝900
x＝5
答：剩下的还要5天才能完成任务。
【考点五】正比例与行程问题。
【方法点拨】
正比例与行程问题，以速度或时间为等量关系建立方程求解。
【典型例题1】
一辆货车前往武汉灾区运送救灾物资，3小时行驶了45千米。从出发地到灾区150千米，按照这样的速度，全程需要多少小时？（列比例解答）
解析：
解：设全程需要x小时。
45∶3＝150∶x
45x＝150×3
45x＝450
45x÷45＝450÷45
x＝10
答：全程需要10小时。
【对应练习1】
某工程队修一条路，15天共修900米，还剩下720米没有修。照这样的速度，修完这条公路共需要多少天？
解析：
解：设修完这条公路共需要x天。
900∶15＝（720＋900）∶x
900x＝24300
x＝27
答：这条公路共需要27天。
【对应练习2】
一辆汽车2小时行驶164千米，用这样的速度从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地之间的公路长多少千米？（用比例方法解答）
解析：
解：设甲乙两地之间的公路长x千米。
164∶2＝x∶5
2x＝820
x＝410
答：甲乙两地之间的公路长410千米。
【对应练习3】
甲、乙两地相距440千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了240千米。照这样计算，几小时可以到达乙地？（用比例解）
解析：
解：设x小时可以到达乙地。
440∶x＝240∶3
240x＝440×3
240x＝1320
x＝1320÷240
x＝5.5
答：5.5小时可以到达乙地。
【考点六】反比例与面积问题。
【方法点拨】
反比例与面积问题，以面积为等量关系建立方程求解。
【典型例题】
为庆祝建党一百周年，实验小学新建了一个少先队活动室。现在需要在地面铺地砖，如果用边长5分米的方砖，需要400块；如果改用边长为4分米的方砖，需要多少块？（用比例知识解答）
解析：
解：设需要边长4分米方砖x块，
4×4×x＝5×5×400
16x÷16＝10000÷16
x＝625
答：需要边长4分米方砖625块。
【对应练习1】
一间教室用边长4分米的方砖铺地，需要300块，如果改用边长5分米的方砖铺地，可以少用多少块砖？
解析：
解：设用边长5分米的方砖铺地，可以用x块。
4×4×300=5×5x
x=192
少用：300-192=108（块）
答：略。
【对应练习2】
给一间房子铺地，如果用边长6分米的方砖，需要80块。如果改用边长8分米的方砖，需要多少块？（用比例解）
解析：
解：设需要x块方砖。
8×8×x＝6×6×80
64x＝2880
x＝2880÷64
x＝45
答：需要45块方砖。
【对应练习3】
张叔叔家装修房子，用边长6分米的方砖铺地要用80块，如果改用边长8分米的方砖铺地，要用多少块？（用比例解）
解析：
解：设要用x块。
8×8x＝6×6×80
64x＝36×80
x＝2880÷64
x＝45
答：要用45块。
【考点七】反比例与归总问题一。
【方法点拨】
反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。
【典型例题】
李师傅加工一批零件，计划每分钟做8个，因任务紧迫，实际每分钟做10个，结果比计划少用45分钟，这批零件一共多少个？
解析：因为每分钟加工零件的个数×加工的时间=零件的总数（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。
解：设计划用x分钟，则实际用（x-45）分钟。
8x=10×（x-45）
x=225
8×225=1800（个）
答：这批零件一共1800个。
【对应练习1】
小林计划在暑期里完成一本数学练习册，计划每天做20题，实际每天只做了16 题，结果比计划多用了5天，这本练习册一共有多少题？
解析：
解：设计划用x天完成。
16（x+5）=20x
x=20
20×20=400（题）
答：略。
【对应练习2】
一个车间装配一批电视机，如果每天装50台，60天完成任务，如果要用40天完成任务，每天应装多少台？
解析：
解：设每天应装x台。
50×60=40x
x=75
答：略。
【对应练习3】
某工程队铺设一段下水道，原计划每天铺设20米，15天完成。实际每天多铺5米，实际多少天完成了任务？（用比例解）
解析：
解：设实际x天完成了任务。
（20＋5）×x＝20×15
25x＝300
x＝300÷25
x＝12
答：实际12天完成了任务。
【考点八】反比例与归总问题二。
【方法点拨】
反比例与归总问题，以总量为等量关系建立方程求解。
【典型例题】
某车间计划加工一批零件，如果每天加工40个，则比计划推迟1天完成，如果每天加工50个，则比计划提前2天完成，这批零件共有多少个？
解析：每天加工的个数×加工的时间=零件的总数（一定），所以，每天加工的个数和加工的时间成反比例。我们可以列成反比例的关系式，间接设未知数更简单。
解：设计划用x天完成。
40×（x+1）=50×（x-2)
x=14
40×（14+1）=600（个）
答：这批零件共有600个。
【对应练习1】
小明计划在暑假里练毛笔字，如果每天写20个，则比计划推迟2天完成，如果每天写30个， 则比计划提前3天完成，小明一共要写多少个毛笔字？
解析：
解：设计划x天完成。
20（x+2）=30（x-3）
x=13
20×（13+2）=300（个）
答：一共要写300个字。
【对应练习2】
小红从家去学校，如果每分钟走50米，则会迟到5分钟，如果每分钟走60米，则会提前5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？
解析：
解：设不迟到不提前刚好需要x分钟。
50（x+5）=60（x-5）
x=55
路程：50×（55+5）=3000（米）
每分钟走50米，需要55+5=60（分钟）；每分钟走60米，需要55-5=50（分钟）
答：略。
【对应练习3】
某修路队修一条公路，如果每天修400米，则比计划提前1天完成，如果每天修500米，则比计划提前2天完成，这条公路长多少米？
解析：
解：设计划修x天完成。
400（x-1）=500（x-2）
x=6
路程：400×（6-1）=2000（米）
答：略。
【考点九】图形的放大与缩小。
【方法点拨】
按比例把图形放大或缩小，一般用于作图和求面积的变化。
【典型例题】
按1:2的比画出三角形缩小后的图形。新图形与原来图形的面积的比是几比几？
解析：
根据题意作图如下：
（4×2÷2）∶（8×4÷2）
＝4∶16
＝（4÷4）∶（16÷4）
＝1∶4
答：新图形与原来图形的面积的比是1∶4。
【对应练习1】
（1）在三角形ABC中，顶点B的位置如果用数对（3，6）表示，那么顶点A的位置用数对表示是（ ）。
（2）画出三角形ABC绕顶点C顺时针旋转90°后的图形。
（3）将原三角形ABC按2∶1扩大后画在合适的位置上。
解析：
如图：
（3）3×2＝6；2×2＝4
【对应练习2】
（1）把图中的长方形绕C点按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后A点的位置用数对表示是（ ）。
（2）画出圆向右平移5格后的图形。
（3）在三角形的右边，按1∶2画出三角形缩小后的图形，缩小后的三角形的面积是原来的（ ）。
解析：
（1）（2）（3）如图：
（1）（6，8）；
（3）
【对应练习3】
（1）把下图中的长方形绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，B点的位置用数对表示是（ ）。
（2）按2∶1的比画出三角形放大后的图形。
解析：
（1）旋转后，B点的位置用数对表示是（3，0 ）；
【对应练习4】
根据要求画图并填空。（每个方格为边长1厘米的小正方形）
（1）梯形的面积是（ ）平方厘米。
（2）画一个与梯形面积相等的长方形。
（3）把长方形按2∶1的比例画出放大后的图形。
（4）放大后的面积与原来的面积的比是（ ）。
解析：
（1）（1＋3）×3÷2
＝4×3÷2
＝6（平方厘米）
（2）（3）
（长方形画法不唯一）
（4）2²∶1²＝4∶1
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