【321527】六年级数学下册典型例题系列之第三单元圆锥的体积问题提高部分（解析版）

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

第三单元圆锥的体积问题提高部分（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元圆锥的体积问题提高部分。本部分内容主要选取圆锥体积常考的较难题型，内容相对困难，考点众多，共划分为十三个考点，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，欢迎使用。

【考点一】圆锥的旋转构成法。

【方法点拨】

直角三角形与圆锥之间的联系

沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。

【典型例题1】

以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形?所得的图形的底面直径和高各是多少厘米?

解析：

（1）以6cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为16cm，高为6cm的圆锥。

（2）以8cm长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为12cm，高为8cm的圆锥。

【典型例题2】

下图是一个直角三角形，如果以 边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？

解析：

3.14×2×2×3÷3

＝12.56×3÷3

＝12.56（立方厘米）

【对应练习1】

一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、( )cm、( )立方厘米。

解析：

据分析知，高是6厘米

底面直径：6×2＝12（厘米）

体积：（3.14×6×6）×6÷3

＝113.04×6

＝678.24÷3

＝226.08（立方厘米）

【对应练习2】

一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边AB与BC的长度比是3∶2，AB长9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是( )立方厘米。

解析：

2×9÷3＝6（厘米）

3.14×9²×6÷3

＝3.14×81×6÷3

＝508.68（立方厘米）

所以，形成的圆锥体积最大是508.68立方厘米。

【对应练习3】

下图是一个直角三角形，如果以BC边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米。

解析：

×3.14×3²×2

＝9.42×2

＝18.84（立方厘米）

【考点二】圆锥的切面积问题一。

【方法点拨】

将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。

【典型例题】

一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米?

解析：沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是4厘米，高是7厘米，所以每个切面的面积是14平方厘米。

【对应练习1】

将一个底面直径18厘米，高是8厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米?

解析：将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是18厘米，高是8厘米，所以每个切面的面积是72平方厘米，而现在的表面积比原来增加了2个切面，所以增加了144平方厘米。

【对应练习2】

一个圆锥的底面直径是24厘米，高12厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同的两半，表面积增加( )平方厘米。

解析：

24×12÷2×2

＝144×2

＝288（平方厘米）

【对应练习3】

一个底面直径是12厘米的圆锥，从顶点沿高将它切成两半后，表面积增加了96平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。

解析：96÷2×2÷12＝8（厘米）

【考点三】圆锥的切面积问题二。

【方法点拨】

将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。

【典型例题】

把一个底面直径是10cm的圆锥沿着高切开后，表面积增加了60cm²，这个圆锥的体积是多少cm³？

解析：

60÷2×2÷10＝6（厘米）

3.14×（10÷2）²×6÷3

＝3.14×25×2

＝157（立方厘米）

【对应练习1】

把一个高15厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原来比表面积增加了300平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？

解析：

一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米）

圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米）

×3.14×（20÷2）²×15

＝314×5

＝1570（立方厘米）

答：这个圆锥的体积是1570立方厘米。

【对应练习2】

将一个圆锥沿着高垂直于底面切成两半，表面积比原来增加了108cm²。若圆锥的高为18cm，这个圆锥的体积是多少立方厘米？

解析：

圆锥的底面直径：

108÷2×2÷18＝6（cm）

圆锥的底面半径：

6÷2＝3（cm）

圆锥的体积：

3.14×3²×18×

＝3.14×54

＝169.56（cm³）                       

答：这个圆锥的体积是169.56立方厘米。

【考点四】比在圆锥体积中的应用。

【方法点拨】

1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。

2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。

3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。

【典型例题】

（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（ ）。

（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。

（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少?

解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12

【对应练习1】

有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少?

解析：40

【对应练习2】

一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。

解析：6

【对应练习3】

已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？

解析：8:27

【对应练习4】

如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？

解析：1:2

【对应练习5】

一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。

解析：18

【对应练习6】

一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的 ，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？

解析：5:2

【考点五】等积转化问题一：圆柱与圆锥的等积转化。

【方法点拨】

底面积和高均相等的圆柱和圆锥的体积关系是：圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的 。

【典型例题】

一块圆柱形橡皮泥，体积是200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥的底面半径是10，求圆锥的高。（π取3）

解析：2

【对应练习1】

把一个体积是800的圆柱体铁块，熔铸成一个底面积是600的圆锥体，这个圆锥体的高是多少?（π取3）

解析：4

【对应练习2】

一个圆柱的底面半径是6厘米，体积是1130.4立方厘米，一个圆锥与它的体积相等， 底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？

解析：30厘米。

【对应练习3】

一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是25.12米，高3米。如果把这些稻谷装进一个底面直径为40米的圆柱形容器中，稻谷高多少米？

解析：

25.12÷3.14÷2＝4（米）

×3.14×4²×3＝50.24（立方米）

3.14×（40÷2）²

＝3.14×400

＝1256（平方米）

50.24÷1256＝0.04（米）

答：稻谷高0.04米。

【对应练习4】

一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？

解析：

圆锥体积：50.24÷（3﹣1）

＝50.24÷2

＝25.12（立方厘米）

高：25.12×3÷（3.14×22）

＝75.36÷12.56

＝6（厘米）

答：圆锥的高是6厘米。

【对应练习5】

一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积之和是24平方分米。圆柱和圆锥的体积分别是多少？

解析：

圆锥的体积：

24÷（1＋3）

＝24÷4

＝6（立方分米）

圆柱的体积：6×3＝18（立方分米）

答：圆柱的体积是18立方分米，圆锥的体积是6立方分米。

【考点六】等积转化问题二：正方体与圆锥的等积转化。

【方法点拨】

等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。

【典型例题】

一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm²的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？

解析：

4×4×4×3÷12=16（dm）

【对应练习1】

将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？

解析：

5×5×5×3÷60=6.25（分米）

【对应练习2】

一个正方体的体积是216立方厘米，和它底面积相等，高也相等的圆锥的体积是多少立方厘米？

解析：

216× ＝72（立方厘米）

答：圆锥的体积是72立方厘米。

【对应练习3】

一个正方体铁块的棱长为4厘米。如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？（结果保留整数，π取3.14）

解析：

6÷2＝3（厘米）

4×4×4÷ ÷（3.14×3²）

＝64×3÷（3.14×9）

＝192÷28.26

≈7（厘米）

答：这个圆锥的高约是7厘米。

【考点七】等积转化问题三：长方体与圆锥的等积转化。

【方法点拨】

等积转化问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。

【典型例题】

一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？

解析：

20厘米＝0.2米

12.56×3×

＝12.56÷2

＝6.28（米）

答：能铺6.28米。

【对应练习1】

一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？

解析：

4×1.5×4×3÷2

＝6×4×3÷2

＝24×3÷2

＝72÷2

＝36（平方米）

答：圆锥底面积是36平方米。

【对应练习2】

一个圆锥形沙堆，底面积是 平方米，高是 米。把这堆沙均匀地铺在一个面积 平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？

解析：

×10×1.2÷20

＝ ×12÷20

＝4÷20

＝0.2（米）

＝20（厘米）

答：沙坑里的沙厚20厘米。

【对应练习3】

一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米，把这些沙子铺在一条长31.4米、宽8米的道路上，能铺多厚？

解析：

（m）

答：能铺0.8米厚。

【考点八】求组合立体图形的体积。

【方法点拨】

组合图形的体积等于各规则立体图形的体积之和。

【典型例题】

测量一个粮仓，从里面量得的数据如图所示，如果每立方米的粮食约重800干克，这个粮仓能装粮食多少干克？（π取3.14）

解析：6280千克。

【对应练习1】

计算下面立体图形的体积。

解析：169.56立方厘米。

【对应练习2】

下图的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？

解析:

3.14×（12÷2）²×2＋3.14×（12÷2）²×1×

＝226.08＋37.68

＝263.76（立方米）

答：这个蒙古包所占的空间是263.76立方米。

【对应练习3】

一个陀螺，上部是圆柱形，下部是圆锥形，如下图。这个陀螺的体积是多少立方厘米？

解析：

10÷2＝5（厘米）

3.14×5²×8＋3.14×5²×（11－8）÷3

＝628＋78.5×3÷3

＝628＋78.5

＝706.5（立方厘米）

答：这个陀螺的体积是706.5立方厘米。

【对应练习4】

一种儿童玩具——陀螺（如下图）。上面是圆柱体，下面是圆锥体，经过测试，当圆柱直径4厘米，高6厘米，圆锥的高是圆柱高的 时，陀螺旋转得又快又稳，求这时陀螺的体积是多少立方厘米？

解析：

6× ＝ （厘米）

3.14×（4÷2）²×6＋3.14×（4÷2）²× ÷3

＝3.14×4×6＋3.14×4×

＝75.36＋18.84

＝94.2（立方厘米）

答：这时陀螺的体积是94.2立方厘米。

【考点九】排水法在圆锥体积中的应用一：求圆锥的高。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：

①V物体=V现在－V原来

②V物体=S×(h现在- h原来)

③V物体=S×h升高

【典型例题】

有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？

解析：

圆锥底面半径：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）

圆锥底面积：3.14×3²＝28.26（平方厘米）

圆锥高：

3.14×（20÷2）²×0.6×3÷28.26

＝3.14×100×0.6×3÷28.26

＝565.2÷28.26

＝20（厘米）

答：这个圆锥的高是20厘米。

【对应练习2】

有一个长方体水箱，底面是边长为4分米的正方形，水箱内原有3.5分米深的水。现在把一个底面积为8平方分米的圆锥形铜块完全浸没在水中，这时水面升高了0.5分米，求这个圆锥形铜块的高。

解析：

4×4×0.5×3÷8

＝16×0.5×3÷8

＝8×3÷8

＝24÷8

＝3（分米）

答：这个圆锥形铜块的高是3分米。

【对应练习3】

一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？

解析：

37.68÷3.14÷2＝6（厘米）

3.14×9²×2÷ ÷（3.14×6²）

＝

＝13.5（厘米）

答：圆锥形铅锤的高是13.5厘米。

【考点十】排水法在圆锥体积中的应用二：求水面下降高度。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：

①V物体=V现在－V原来

②V物体=S×(h现在- h原来)

③V物体=S×h升高

【典型例题】

一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？

解析：

3.14×（6÷2）²×20÷3

＝3.14×9×20÷3

＝188.4（立方厘米）

188.4÷[3.14×（20÷2）²]

＝188.4÷[3.14×100]

＝188.4÷314

＝0.6（厘米）

答：杯里的水面会下降0.6厘米。

【对应练习1】

一个底面半径是12厘米的圆柱形玻璃缸中装有水，里面放有一个底面半径是6厘米、高是18厘米的圆锥形铁块，全部被水淹没，当把铁块从水中取出后，水面会下降多少厘米？

解析：

3.14×6²×18× ÷（3.14×12²）

＝678.24÷452.16

＝1.5（厘米）

答：水面会下降1.5厘米。

【对应练习2】

在一个底面周长是125.6厘米，水面高度为30厘米的圆柱形水桶里，完全浸没着一个圆锥形零件，零件底面半径是10cm，高是6cm，当把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？

解析：

答：把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了0.5厘米。

【对应练习3】

一个底面直径是20厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是10厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面会下降多少厘米？

解析：

×3.14× ×18÷[3.14× ]

＝ ×3.14×25×18÷[3.14×100]

＝3.14×25×6÷314

＝1.5（厘米）

答：杯里的水面会下降1.5厘米。

【考点十一】排水法在圆锥体积中的应用三：溢水问题。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：

①V物体=V现在－V原来

②V物体=S×(h现在- h原来)

③V物体=S×h升高

【典型例题】

一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径 ，高是 的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？

解析：

（立方厘米）

157立方厘米＝157毫升

答：会溢出157毫升的水。

【对应练习1】

把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？

解析：

×3.14×4²×6

＝ ×3.14×16×6

＝100.48（立方厘米）

答：将有100.48立方厘米的水溢出。

【对应练习2】

有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）

解析：

圆锥形铁块的体积： ×3.14×6²×10＝376.8（cm³）

水的体积：3.14×8²×6＝1205.76（cm³）

45 mL＝45 cm

376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm³）

玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8²）≈8（cm）

答：这个玻璃容器的高约8cm。

【考点十二】求正方体削成最大圆锥的体积。

【方法点拨】

将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。

【典型例题】

把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，它的底面半径是5厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？

解析：

5×2＝10（厘米）

10×10×10

＝100×10

＝1000（立方厘米）

【对应练习1】

如下图一块立方体木料，体积是64立方厘米，以它的一面为底面加工成一个最大的圆锥体，体积是多少立方厘米？

解析：

＝

＝ （立方厘米）

所以圆锥体的体积为＝ 立方厘米。

【对应练习2】

一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？

解析：

3.14×（6÷2）²×6×

＝3.14×9×2

＝56.52（立方厘米）

答：这个圆锥体的体积是56.52立方厘米。

【对应练习3】

把棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆锥，削下部分的体积是多少立方厘米？

解析：

×3.14×（6÷2）²×6

＝ ×3.14×9×6

＝56.52（立方厘米）

6×6×6﹣56.52

＝216﹣56.52

＝159.48（立方厘米）

答：削下部分的体积是159.48立方厘米。

【考点十三】圆锥中的倒水问题。

【方法点拨】

圆锥中的倒水问题

圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m²;n²，此时体积之比就是m³：n³。

【典型例题】

如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?

解析：

水与圆锥高之比为1:2，所以，体积之比为1:8。

40×8=320（升）

【对应练习1】

如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?

解析：400升。

【对应练习2】

圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能装水多少升?

解析：42升。

【对应练习3】

如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水?

解析：35升。