【321523】六年级数学下册典型例题系列之第三单元圆柱的体积问题提高部分（解析版）

2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之

第三单元圆柱的体积问题提高部分（解析版）

编者的话：

《2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第三单元圆柱的体积问题提高部分。本部分内容主要选取圆柱体积问题中较复杂的问题，包括比在圆柱中的三种应用方式，圆柱与长方体、正方体的拼切转化和等积转化问题，排水法在圆柱中的三种应用，求不规则圆柱体和组合立体图形的体积等等，内容难度较大，考点较多，共划分为十四个考点，建议作为本章核心内容，根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。

【考点一】比在圆柱中的三种应用方式。

【方法点拨】

1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：

高之比就是体积之比。

2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：

底面积之比就是体积之比。

3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：

分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。

【典型例题1】

已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是（ ）。

解析：1∶2

【典型例题2】

已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。

解析：2∶3。

【典型例题3】

两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少?

解析：1:6。

【对应练习1】

两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少?

解析：1∶4。

【对应练习2】

两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少

解析：16:9。

【考点二】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。

【方法点拨】

1.圆柱高的变化引起表面积的变化：

由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，进而求出表面积，即底面周长C=变化的表面积÷变化的高度。

2.横切引起的表面积变化。

平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。

3.竖切引起的表面积变化。

垂直于底面切（竖切），多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。

【典型例题1】

一个圆柱，如果把它的高截短3m，它的表面积就会减少 ，那么这个圆柱的体积减少多少立方米？

解析：

；

答：这个圆柱的体积减少235.5立方米。

【典型例题2】

把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米？

解析：

4米＝400厘米

15.7÷2×400＝3140（立方厘米）

答：这根钢材的体积是3140立方厘米。

【对应练习1】

将一根底面直径是 的圆柱形木料，沿高切成形状、大小完全相同的两块后，表面积增加了 。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？

解析：

＝180÷6

＝30（分米）

＝28.26×30

＝847.8（立方分米）

答：这根圆柱形木料的体积是 。

【对应练习2】

把一根长为1.2米的圆柱形钢材截成3段,表面积增加了6.28平方分米，原来这根钢材的体积是多少?

解析：

1.2米=12分米

6.28÷4=1.57（平方分米）

1.57×12=18.84（立方分米）

答：这根钢材原来的体积是18.84立方分米。

【对应练习3】

一个圆柱高为15厘米，把它的高增加2厘米后表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。

解析：

圆柱的底面周长：25.12÷2=12.56（厘米）

底面半径：12.56÷3.14÷2=2（厘米）

体积：3.14×2²×15

=3.14×4×15

=188.4（立方厘米）

答：原来圆柱的体积是188.4立方厘米。

【对应练习4】

底面直径是20厘米的圆钢，将其截成两段同样的圆钢，两段表面积的和为7536平方厘米，原来圆钢的体积是多少立方厘米？

解析：

4个底面积是：3.14×（20÷2）²×4

＝3.14×100×4

＝1256（平方厘米）

侧面积是：7536﹣1256＝6280（平方厘米）

高是：6280÷3.14÷20＝100（厘米）

所以原来圆钢的体积是：

3.14×（20÷2）²×100

＝3.14×100×100

＝31400（立方厘米）

答：原来圆钢的体积是31400立方厘米。

【考点三】圆柱与长方体的拼切转化问题。

【方法点拨】

将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。

【典型例题】

把一个底面半径是 的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增加了 ，原来圆柱的体积是多少立方厘米？

解析：

圆柱的高：

圆柱体积：

答：原来圆柱的体积是 。

【对应练习1】

把一个高为1米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体的体积是多少立方分米？

解析：

1米＝10分米

圆柱的底面半径为：

40÷2÷10＝2（分米）

体积：3.14×2²×10

＝3.14×4×10

＝125.6（立方分米）

答：这个圆柱的体积是125.6立方分米。

【对应练习2】

把高5厘米的圆柱底面分成若干等份，把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱增加20平方厘米。求原来圆柱的体积。

解析：

底面半径：20÷2÷5＝2（厘米）

圆柱体积：3.14×2²×5＝62.8（立方厘米）

答：圆柱的体积是62.8立方厘米。

【对应练习3】

如图所示，把底面直径为8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米。

（1）同学们回忆圆柱体积计算公式的推导过程，用自己喜欢的方式将它记录下来。

（2）那么圆柱的高是多少厘米？长方体的体积是多少立方厘米？

解析：

（1）把圆柱底面平均分成若干等份的小扇形，沿圆柱的高切开，拼成一近似的长方体。发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。若体积用字母∨表示，底面积用字母S表示，高用h表示，即体积为：V＝Sh。

（2）80÷2÷（8÷2）

＝40÷4

＝10

3.14×（8÷2）²×10

＝3.14×160

＝502.4（立方厘米）

答：圆柱的高是10厘米，长方体的体积是502.4立方厘米。

【考点四】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题其一。

【方法点拨】

等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题】

把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。这个圆柱的底面直径是20厘米，高是多少厘米？

解析：

（9×7×3＋5×5×5）÷[3.14×（20÷2）²]

＝（189＋125）÷[3.14×100]

＝314÷314

＝1（厘米）

答：圆柱是高是1厘米。

【对应练习1】

把一个底面积为 ，高为6cm的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm、宽为4cm的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm？

解析： =10（cm）

【对应练习2】

下图中的圆柱与长方体的体积相等。这个圆柱的高是多少分米？（单位： ）

解析：

答：这个圆柱的高是 。

【对应练习3】

如下图所示，要在实验室铸造出一个无盖的青铜盒子，盒子的外形是一个长方体，内部挖空，外部尺寸长为 ，宽为 ，高为 ，壁和底部的厚度都为 。现有一份形状为圆柱的实心青铜材料，其底面直径为 ，高为 。若熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子吗？通过计算说明。

解析：

圆柱形材料的体积：

3.14×（10÷2）²×20

＝3.14×25×20

＝3.14×500

＝1570（立方厘米）

铸造青铜盒子需要的体积：

30×15×10－（30－1×2）×（15－1×2）×（10－1）

＝450×10－28×13×9

＝4500－3276

＝1224（立方厘米）

1570＞1224，即熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子。

答：熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子。

【考点五】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题其二。

【方法点拨】

等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题】

甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。乙长方体瓶子里水深6.28厘米。将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）

解析：

10×10×6.28÷（3.14×5²）＋2

＝628÷（3.14×25）＋2

＝628÷78.5＋2

＝8＋2

＝10（厘米）

答：这时甲瓶的水深10厘米。

【对应练习1】

甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？

解析：

10×10×6.28

＝100×6.28

＝628（立方厘米）

628÷（3.14×5²）

＝628÷78.5

＝8（厘米）

答：这时水深8厘米。

【对应练习2】

下图中，圆柱形（甲）瓶子里有2厘米深的水。长方体（乙）瓶子有水深6.28厘米。如果将乙瓶中的水倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？

解析：

10×10×6.28÷（3.14×4²）＋2

＝628÷（3.14×16）＋2

＝628÷50.24＋2

＝12.5＋2

＝14.5（厘米）

答：这时甲瓶的水深14.5厘米。

【对应练习3】

将一个底面周长是18.84厘米、高是10厘米的圆柱形量杯里装满水，再倒入一个长12厘米、宽5厘米的长方体容器中，水面高是多少厘米？

解析：

＝3²×3.14×10÷60

＝282.6÷60

＝4.71（厘米）

答：水面高度是4.71厘米。

【考点六】不规则圆柱体的等积转化问题。

【方法点拨】

等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题1】

小军有一个密封的瓶子（图A）。里面装了250毫升的果汁，如果把它倒过来（图B），空白部分的容量是50毫升假如把瓶里装满果汁，那么一共能装多少毫升？

解析：

250＋50＝300（毫升）

答：一共能装300毫升。

【典型例题2】

一个高 的酒瓶中盛有酒，如果把它倒置在桌面上（如图所示），求酒瓶的容积是多少？（单位： ）

解析：

3.14×（6÷2）²×20＋3.14×（6÷2）²×（30－25）

＝3.14×9×20＋3.14×9×5

＝565.2＋141.3

＝706.5（cm³）

答：油瓶的容积是706.5cm³。

【对应练习1】

如图，一个饮料瓶内直径是9cm，瓶里饮料的高度是15cm，把瓶盖拧紧后，使其瓶口向下倒立，无饮料部分的高度是5cm，这个饮料瓶的容积是多少？

解析：

3.14×（9÷2）²×（15＋5）

＝63.585×20

＝1271.7（立方厘米）

答：这个饮料瓶的容积是1271.7立方厘米。

【对应练习2】

如图所示，一个内直径为6 的饮料瓶，它的容积是多少？

解析：

3.14×（6÷2）²×15＋3.14×（6÷2）²×5

＝3.14×9×15＋3.14×9×5

＝28.26×15＋28.26×5

＝423.9＋141.3

＝565.2（cm³）

565.2立方厘米＝565.2毫升

答：它的容积是565.2毫升。

【对应练习3】

一个内半径是4cm的胶水瓶里，胶水的高度是8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，没有胶水的部分高2cm。这个瓶子的容积是多少？

解析：

3.14×4²×8＋3.14×4²×2

＝3.14×16×8＋3.14×16×2

＝50.24×8＋50.24×2

＝401.92＋100.48

＝502.4（cm³）

502.4立方厘米＝502.4毫升

答：这个瓶子的容积是502.4毫升。

【对应练习4】

一个内直径是10cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是多少毫升？

解析：

3.14×（10÷2）²×（7＋18）

＝3.14×25×25

＝78.5×25

＝1962.5（立方厘米）

＝1962.5（毫升）

答：这个瓶子的容积是1962.5毫升。

【考点七】求长方体削成最大圆柱体的体积。

【方法点拨】

在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。

【典型例题】

在一个长、宽、高分别是2dm、2dm、5dm的长方体盒子中，正好能放下一个圆柱形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余的空间是多少立方分米？

解析：

3.14×（2÷2）²×5

＝3.14×1×5

＝15.7（立方分米）

2×2×5－15.7

＝20－15.7

＝4.3（立方分米）

答：这个圆柱形物体的体积最大是15.7立方分米，盒子空余的空间是4.3立方分米。

【对应练习1】

在长12厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？

解析：以10厘米为底面直径，高是8厘米

＝3.14×25×8

＝78.5×8

＝628(立方厘米）

答：这个圆柱体的体积是628立方厘米。

【对应练习2】

把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块削成一个最大的圆柱体积木，这个圆柱体积木的体积是多少立方厘米？

解析：

以6厘米为底面直径，4厘米为高

3.14×（ ）²×4

＝3.14×9×4

＝113.04（立方厘米）

答：这个最大的圆柱体的体积是113.04立方厘米。

【对应练习3】

把一个长4dm、宽2.5dm、高3dm的长方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？

解析：

2.5÷2＝1.25（分米）

3.14×1.25 ×4＝19.625（立方分米）

答：这个圆柱的体积是19.625立方分米。

【对应练习4】

把下面的长方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？

解析：

3.14× ×4

＝3.14× ×4

＝3.14×2.25×4

＝7.065×4

＝28.26（立方厘米）

答：圆柱的体积为28.26立方厘米。

【考点八】求正方体削成最大圆柱体的体积。

【方法点拨】

把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr²h求圆柱的体积。

【典型例题】

为丰富校园文化生活，培养学生的创新精神和实践能力，学校要举办2021年度的大型科技文化节。科技组在制作过程中需要将一块正方体木料加工成一个最大的圆柱（如下图），已知它的棱长是8dm，求这个圆柱的体积是多少？

代入数据计算即可。

解析：

3.14× ²×8

＝3.14×16×8

＝401.92（dm³）

答：这个圆柱的体积是401.92dm³。

【对应练习1】

有块正方体的木料，它的棱长是4dm，把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体积比原来正方体体积少了百分之几？

解析：

V_正方体＝4×4×4

＝16×4

＝64（立方分米）

V_圆柱＝3.14×（4÷2）²×4

＝3.14×4×4

＝50.24（立方分米）

（64－50.24）÷64

＝13.76÷64

＝0.215

＝21.5%

答：这个圆柱体积比原来正方体体积少了21.5%。

【对应练习2】

有块正方体的木料，它的棱长是4dm．把这块木料加工成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？

解析：

3.14×（4÷2）²×4

=3.14×4×4

=50.24（立方分米）

答：这个圆柱的体积是50.24立方分米。

【对应练习3】

丽丽和妈妈学做蛋糕，做出一个棱长为10cm的正方体蛋糕，现在要把它削成一个最大的圆柱形蛋糕。你能算出这个圆柱形蛋糕的体积是多少立方厘米吗？

解析：

圆柱体积：

3.14×（10÷2）²×10

＝3.14×25×10

＝785（立方厘米）

答：这个圆柱的体积是785立方厘米。

【考点九】排水法在圆柱中的三种应用方式：求不规则物体的体积。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：

①V物体=V现在－V原来

②V物体=S×(h现在- h原来)

③V物体=S×h升高

【典型例题】

在一个底面直径是6dm的圆柱形容器内装了一部分水，水中完全浸没着一个高4dm的圆锥形铁块，当铁块从水中取出时，水面下降了5cm，这个圆锥形铁块的体积是多少 ？

解析：

5cm＝0.5dm

半径：6÷2＝3dm

水面下降了5cm， 圆锥形铁块的体积就是下降的水的体积，

所以体积：3.14×3²×0.5

＝3.14×9×0.5

＝3.14×4.5

＝14.13（dm³）

答：这个圆锥形铁块的体积是14.13 dm³。

【对应练习1】

爸爸拿出一个钢球，对小洁说：“你能求出这个钢球的体积吗？”小洁说：“当然能。”于是，小洁将家中一个底面直径是20cm的圆柱形玻璃杯装一部分水，量得水深10cm，然后把钢球完全浸没在水中，这时又量得水面高度是12cm。你知道这个钢球的体积是多少吗？

解析：

3.14×（20÷2）²×（12－10）

＝3.14×100×2

＝628（立方厘米）

答：这个钢球的体积是立方厘米。

【对应练习2】

有一个底面内直径为20cm，装有一些水的圆柱形玻璃容器，已知容器内的水面高度为5cm。现将一个圆锥形铅锤完全浸入容器中，此时容器内的水面高度上升到7cm。求这个铅锤的体积。

解析：

3.14×（20÷2）²×（7－5）

＝3.14×100×2

＝628（cm³）

答：这个铅锤的体积是628cm³。

【对应练习3】

在一个底面直径是10cm的圆柱形容器里加入若干水，水深8cm。把一个苹果完全浸没在水中，水没有溢出，这时水深增加到10cm。这个苹果的体积是多少立方厘米？

解析：

3.14×（10÷2）²×（10－8）

＝3.14×25×2

＝157（立方厘米）

答：这个苹果的体积是157立方厘米。

【对应练习4】

从一个底面半径为10分米的圆柱形水桶里取出一块底面积是6.28平方分米完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降5厘米，求圆锥形钢材的体积。

解析：

5厘米＝0.5分米     

10²×3.14×0.5

＝100×1.57

＝157（立方分米）

答：圆锥形钢材的体积为157立方分米。

【考点十】排水法在圆柱中的三种应用方式：求不规则物体的高。

【方法点拨】

形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：

①V物体=V现在－V原来

②V物体=S×(h现在- h原来)

③V物体=S×h升高

【典型例题】

有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）

解析：

5厘米＝0.5分米；

3.14×3²×0.5÷（2×2）

＝14.13÷4

≈3.5（分米）

答：这块长方体铁块的高是3.5分米。

【对应练习1】

将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升2.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）   

解析：

12×8×2.5÷60

＝240÷60

＝4（厘米）

答：水位会上升4厘米。

【对应练习2】

在一个长方体容器内盛满水，从里面量测得它的长是10cm、宽10cm、高20cm，容器内完全浸没了一个底面半径是4cm，高5cm的圆柱体铁块，如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降多少cm？

解析：

圆柱容积：3.14×4²×5＝251.2（cm³）

水面下降：251.2÷10÷10＝2.512（cm）

答：如果把铁块完全取出，容器内的水面会下降2.512cm。

【对应练习3】

在一个底面半径为 的圆柱形水桶里，有一段底面半径为 的圆柱形钢材浸没在水中。把钢材从水桶中取出后，桶里水的高度下降了 ，这段钢材有多长？

解析：

＝5024×6

＝30144（立方厘米）

答：这段钢材有 长。

【考点十一】排水法在圆柱中的三种应用方式：溢水问题。

【方法点拨】

溢水问题，由于物体放入容器中有水溢出，所以物体的体积应由水上升部分的体积加上水溢出部分的体积，即：V物体=V上升部分+V溢出部分。

【典型例题】

在一个装有部分水的圆柱形容器中（如图）放入一块石头，结果溢出了 的水。这块石头的体积是多少立方厘米？

解析：上升的水的体积＋溢出水的体积就是这块石头的体积。

答：这块石头的体积是2530立方厘米。

【对应练习1】

把一个铁圆锥放入底面半径是10cm的盛满水的圆柱形容器里，溢出了150.72cm³的水，如果取出这个圆锥，容器里的水面将下降多少？

解析：

150.72÷（3.14×10 ）

＝150.72÷314

＝0.48（厘米）

答：容器里的水面将下降0.48厘米。

【对应练习2】

一个盛有水的圆柱形容器的底面直径是10厘米，水深12厘米，放入一块石头，从容器中溢出50毫升水，这个容器的高是22厘米，石头的体积是多少？

解析：

50毫升＝50立方厘米

石头体积：

3.14×（10÷2）²×（22－12）＋50

＝3.14×25×10＋50

＝78.5×10＋50

＝785＋50

＝835（立方厘米）

答：石头的体积是835立方厘米。

【对应练习3】

一个底面直径是6dm、高7dm的圆柱形玻璃器皿里装有5dm深的水，现将一块棱长为4dm的正方体铁块放入水中，铁块沉入水底。容器里会溢出多少升的水？

解析：

6÷2＝3（分米）

4×4×4－3.14×3 ×（7－5）

＝64－56.52

＝7.48（立方分米）

＝7.48（升）

答：容器里会溢出7.48升的水。

【考点十二】求较简单的不规则圆柱体的体积。

【方法点拨】

求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。

【典型例题】

如图，一根长1m，横截面直径为10cm的圆柱形木头浮在水面上，东东发现它正好是一半露出水面，露出水面的木头的体积是多少立方厘米？

解析：

1m＝100cm

3.14×（10÷2）²×100÷2

＝3.14×25×100÷2

＝3925（立方厘米）

答：露出水面的木头的体积是3925立方厘米。

【对应练习1】

求下面 个圆柱的体积和表面积。（单位： ）

解析：

体积：

＝226.08÷4

＝56.52（立方厘米）

表面积：

＝14.13＋48＋37.68

＝99.81（平方厘米）

【对应练习2】

计算下面图形的和体积。

半圆柱的底面直径是10cm

解析：

V＝15×20×30－ ×3.14× ×30

＝9000-1177.5

＝7822.5( )

【考点十三】求较复杂的不规则圆柱体的体积。

【方法点拨】

求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。

【典型例题】

一个底面积是20平方厘米的圆柱，斜着截去了一段后，剩下的图形如图，截后剩下的图形的体积是多少立方厘米？

解析：根据图形的特点，可以这样理解，用这样两个完全一样的图形拼成一个高是(7＋11)厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝sh，把数据代入公式求出这样两个图形的体积再除以2即可。

20×(7＋11)÷2

＝20×18÷2

＝180(立方厘米）

答：截后剩下的图形的体积是180立方厘米。

【对应练习1】

纪念品店加工一种艺术节比赛奖杯（如图）。加工时，一个有机玻璃圆柱正好可以截成两个这样的奖杯。求一个奖杯的体积。

解析：

＝1507.2÷2

＝753.6（立方厘米）

答：一个奖杯的体积为 。

【对应练习2】

如图是圆木沿某一平面截去一部分后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：厘米）

解析：

3.14×（ ）2×13+3.14×（ ）2×（15﹣13）÷2

=3.14×9×13+3.14×9×2÷2

=367.38+28.26

=395.64（立方厘米）

答：这个立体图形的体积是395.64立方厘米。

【对应练习3】

右图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。

解析：

7﹣5＝2（ 厘米）

3.14×3²×2÷2＝28.26（立方厘米）

3.14×3²×5＝141.3（立方厘米）

28.26＋141.3＝169.56（立方厘米）

答：它的体积是169.56立方厘米。

【考点十四】求组合立体图形的体积。

【方法点拨】

求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。

【典型例题】

工地运来了一根水泥管（如下图），管壁厚 。这根水泥管用了多少立方米的水泥？

解析：

＝7.85－5.024

＝2.826（立方米）

答：这根水泥管用了 的水泥。

【对应练习1】

求下面图形的表面积和体积。（单位：cm）

解析：

表面积＝大正方体的表面积＋圆柱的侧面积，

10×10×6＋3.14×4×6

=600+75.36

＝675.36（cm²）

体积＝大正方体体积－圆柱的体积

10×10×10－3.14×（4÷2）²×6

=1000-75.36

＝924.64（cm³）。

【对应练习2】

如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。

（1）这个零件的体积是多少立方厘米？

（2）如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

解析：

（1）3.14×（6÷2） ×10－3.14×（4÷2） ×5

＝3.14×9×10－3.14×4×5

＝282.6－62.8

＝219.8（立方厘米）

答：这个零件的体积是219.8立方厘米。

（2）3.14×（6÷2） ×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5

＝56.52＋188.4＋62.8

＝307.72（平方厘米）

答：一共要涂307.72平方厘米。

【对应练习3】

计算出下面组合图形的表面积和体积（单位：厘米）

解析：

3.14×4×5+（8×5+8×4+5×4）×2

=62.8+（40+32+20）×2

=62.8+92×2

=62.8+184

=246.8（平方厘米）

3.14×（4÷2）²×5+8×5×4

=3.14×4×5+160

=62.8+160

=222.8（立方厘米）

答：这个组合图形的表面积是246.8平方厘米，体积是222.8立方厘米。

【对应练习4】

图所示的百宝箱，上部是一个圆柱的一半，下部是一个长50cm，宽40cm，高20cm的长方体，这个百宝箱的表面积是多少？它的体积是多少？

解析：

50×40＋50×20×2＋40×20×2＋3.14×（40÷2） ＋3.14×40×50÷2

＝2000＋2000＋1600＋1256＋3140

＝9996（平方厘米）

50×40×20＋3.14×（40÷2） ×50÷2

＝40000＋3.14×400×25

＝40000＋31400

＝71400（立方厘米）

答：这个百宝箱的表面积是多少9996cm²，它的体积是71400cm³。

【对应练习5】

求下面图形的表面积和体积。

解析：

表面积：

10×10×6+3.14×4×10-3.14×（4÷2）²×2

＝600+125.6-25.12

＝700.48

体积：

10×10×10﹣3.14×（4÷2）²×10

＝1000﹣3.14×4×10

＝1000﹣125.6

＝874.4

答：它的表面积是700.48，体积是874.4。