六年级数学上册典型例题系列之

第五单元圆的面积问题提高部分（解析版）

编者的话：

《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。

本专题是第五单元圆的面积问题提高部分，后续内容为《圆的面积问题提高部分》。本部分内容是在《圆的面积问题基础部分》内容基础上进行总结和编辑的，其内容主要以求不规则图形的面积为主，共介绍了六种常用的求阴影部分面积的方法，题型上多考察图形题和应用题，题目综合性较强，难度较大，建议作为重点部分讲解，共划分为七个考点，欢迎使用。

【考点一】圆的面积与羊吃草问题。

【方法点拨】

该题型关键是画出羊吃草的范围图，较复杂的问题是由多个不同部分的图形组成，需要分开计算面积。

【典型例题1】

把一只羊拴在一块长8m，宽6m 的长方形草地上，拴羊的绳长2m，那么这只羊吃到草的最大面积是多少平方米？如果要使羊吃草的面积最小，应该将羊拴在这个长方形草地的什么位置？

解析：（1）最大面积：3.14×2²=12.56（平方米）

（2）最小面积：3.14×2²× =3.14（平方米）

答：将羊拴在长方形的四个角上。

【典型例题2】

草场上有一个长20m，宽10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30m的绳子拴着一只羊（见右图），这只羊能够活动的范围有多大？

解析：羊活动的范围受到绳长的影响，从图中可以分析得到，羊活动的范围由四分之三个半径为30米的圆的面积、四分之一个半径为20米的圆、四分之一个半径为10米的圆的面积组成。

【对应练习1】

一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m，求狗所能到的地方的总面积。

解析：狗不能走到三角形里面去，如示意图，狗所到达的面积由300°圆心角，半径为4m的扇形和两个半径为4-3=1米，圆心角为120°的扇形组合而成的。

3.14×4²× +3.14×（4-3）²× =43.96（平方米）

【对应练习2】

草场上有一个木屋，木屋的地基是边长3米的正方形，A是木屋的一角，在A点有一木桩，在木桩上用6米长的绳子拴一匹马，这匹马的活动范围有多大?

解析：画出示意图，

【考点二】求阴影部分的面积一：四大基础衍生图形。

【方法点拨】

【典型例题1】

如图，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：2×2-3.14×2²× =0.86（平方厘米）

【对应练习1】

如图，互相垂直的两条线段均为10，求阴影部分的面积。

解析：3.14×10²× -10×10÷2=78.5-50=28.5

【对应练习2】

如图，互相垂直的两条线段均为10，求阴影部分的面积。

解析：10×10-3.14×10²× =100-78.5=21.5

【对应练习3】

如图，互相垂直的两条线段均为4，求中间谷子部分的面积。

解析：S=2S弓形=2×4.56=9.12

【对应练习4】

如图，求阴影部分的面积。

解析：8×8÷2=32

【考点三】求阴影部分的面积二：S阴影=S1+S2。

【方法点拨】

加法分割思路是把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。

【典型例题1】

如图，求阴影部分的面积。（单位：cm）

解析：S阴影=S半圆+S三角形

3.14×（6÷2）²÷2+6×6÷2=28.26+18=46.26（平方厘米）

【对应练习1】

求下面图形的面积。（单位：米）

解析：3.14×1²+2×2.5=8.14（平方米）

【对应练习2】

计算如图的面积。

解析：3.14×（10÷2）²+10×20=78.5+200=278.5（平方米）

【考点四】求阴影部分的面积三：S阴影=S整体-S空白。

【方法点拨】

减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。

【典型例题1】

求阴影部分的面积。

解析：

4×2=8

8×8-3.14×4²=13.76

【对应练习1】

边长为10米的正方形内的花园里，要在阴影部分种植玫瑰，种植玫瑰的面积有多大？

解析：10÷2=5（米）

10×10－3.14×5×5=21.5（平方米）

答：种植玫瑰的面积是 21.5 平方米。

【对应练习2】

求阴影部分的面积。

解析：3.4×2²÷2=6.28（平方厘米）

【对应练习3】

计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：3.14×4²÷2-3.14×（4÷2）²÷2-4×4÷2=10.84（平方厘米）

【考点五】求阴影部分的面积四：拼接法。

【方法点拨】

在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接成一个整体。

【典型例题】

如图，是一个边长为5厘米的等边三角形，其面积为15平方厘米，在三角形中挖去三个同样的扇形，求剩下阴影部分的面积。

解析：15-3.14×（6÷2）²÷2=0.87（平方厘米）

【对应练习1】
如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)

解析：四边形的内角和为360°，四个扇形正好可以拼成一个圆。

S阴影=S梯形-S圆

（4+7）×4÷2-3.14×（4÷2）²=22-12.56=9.44（平方厘米）

【对应练习2】
如图，三个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位：厘米)

解析：3.14×3²÷2=14.13（平方厘米）

【对应练习3】

如图，图中四个等圆的周长都是50.24厘米，求阴影部分的面积。

解析：50.24÷3.14÷2=8（厘米）

3.14×8²=200.96（平方厘米）

【考点六】求阴影部分的面积五：割补法。

【方法点拨】

移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。

【典型例题】

求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

解析：如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成 圆的面积

解：62×3.14× ＝28.26（平方厘米）

答：阴影部分的面积为 28.26 平方厘米

【对应练习1】

求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

解析：6×6÷2=18（平方厘米）

【对应练习2】

求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）

解析：10×10÷2=50（平方厘米）

【对应练习3】

求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

解析：

4÷2=2（厘米）

3.14×4²÷4-4×2÷2=8.56（平方厘米）

【对应练习3】

计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。

解析：4×4÷2=8

【对应练习4】

已知右图中大正方形边长是6厘米，中间小正方形边长是4厘米，求阴影部分的面积。

解析：3×6-2×4=10（平方厘米）

【对应练习5】

有八个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图)。图中黑点是这些圆的圆心。如果圆周率是3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米？

解析：通过分割，补全，可得花瓣面积由一个正方形的面积+一个圆的面积。

4×4+3.1416×1²=19.1416（平方米）

【考点七】求阴影部分的面积六：圆与长方形、正方形的结合。

【方法点拨】

注意分析长方形、正方形面积公式与圆的面积的相同之处。

【典型例题】

图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积。

解析：12.56÷3.14÷2=2（cm）

3.14×2²× =9.42（平方厘米）

【对应练习1】

图中正方形的面积是6平方厘米，求圆的面积。

解析：3.14×6=18.84（平方厘米）

【对应练习2】

已知长方形面积20平方厘米，求半圆的面积。

解析：2r×r=20，即r²=10

半圆的面积：3.14×10÷2=15.7（平方厘米）

【对应练习3】

如图，已知阴影部分的小正方形面积是8平方分米，求图中圆的面积是多少平方分米？

解析：根据题意，r²=8，所以圆的面积是3.14×8=25.12（平方分米）

【对应练习4】

如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆 S2的面积是19.625平方厘米。那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?

解析：

S1的半径：14.13×2÷3.14=9（厘米）；3×3=9

S1的直径（正方形的边长）：3×2=6（厘米）

S2的半径：19.625÷3.14=6.25；2.5×2.5=6.25

S2的直径（长方形的长）：2.5×2=5（厘米）

宽：6-5=1（厘米）

面积：5×1=5（平方厘米）