【321273】六年级数学上册典型例题系列之第五单元圆的面积问题拓展部分（解析版）

六年级数学上册典型例题系列之

第五单元圆的面积问题拓展部分（解析版）

编者的话：

《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。

本专题是第五单元圆的面积问题拓展部分。本部分内容是在《圆的面积问题基础部分》和《圆的面积问题提高部分》内容的基础上进行总结和编辑的，其内容主要以求较复杂的不规则图形面积为主，主要介绍了五种方法求阴影部分的面积，题型上多考察思维拓展类图形题，综合性较强，题目难度大，建议根据学生掌握情况选择性讲解，共划分为五个考点，欢迎使用。

【考点一】求阴影部分的面积：S阴影=S整体-S空白。

【方法点拨】

减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。

【典型例题】

求阴影部分的面积。

解析：S阴影=S圆环÷2

3.14×（5.5²-4²）÷2=3.14×14.25÷2=22.3725（平方厘米）

【对应练习1】

在下图中(单位:厘米)，两个阴影部分面积的和是多少平方厘米？

解析：S阴影=S小半圆+S中半圆+S三角形-S大半圆

3.14×（16÷2）²÷2+3.14×（12÷2）²÷2+12×16÷2-3.14×（20÷2）²÷2

=100.48+56.52+96-157

=96（平方厘米）

【对应练习2】

已知ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：

【对应练习3】

求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：S正方形-S圆=4个弯角的面积；S圆-4个弯角=S阴影

10×10-3.14×5²=21.5（平方厘米）

78.5-21.5=57（平方厘米）

【考点二】求阴影部分的面积：长方形、正方形与圆的结合。

【方法点拨】

正方形的面积可以用对角线之积的一半来解决；长方形的面积可以看作两个三角形之和。

【典型例题】

如图，OABC是正方形，扇形的半径是6厘米，求图中阴影部分的面积？

解析：正方形的面积：6×6÷2=18（平方厘米）

扇形面积：3.14×6²× =28.26（平方厘米）

阴影部分面积：28.26-18=10.26（平方厘米）

【对应练习】

在图中，长方形的长是宽的2倍，半圆的面积是6.28平方厘米，求阴影部分的面积。

解析：

r²=6.28×2÷3.14=4

阴影部分可看作是两个三角形的面积之和，即

r²÷2×2=4（平方厘米）

【考点三】求阴影部分的面积：辅助线法。

【方法点拨】

在通常手段无法求出阴影部分面积时，尝试使用添加辅助线的方法解决。

【典型例题】

ABC是等腰直角三角形。 D是半圆周的中点， BC是半圆的直径，已知AB=BC=10，那么阴影部分的面积是多少?

解析：如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的

【对应练习】

右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

解析：

方法一：

方法二：

【考点四】求阴影部分的面积：容斥原理。

【方法点拨】

重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。

【典型例题】

下图中的三角形是等腰直角三角形，阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：3.14×（6÷2）²-6×6÷2=10.26（平方厘米）

【对应练习1】

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：S阴影=S小扇形+S大扇形-S长方形

3.14×3²× +3.14×2²× -3×2=7.065+3.14-6=4.205（平方厘米）

【对应练习2】

求阴影部分的面积。（单位：厘米）

解析：3.14×2^2÷2×4-4×4=9.12（平方厘米）

【考点五】求阴影部分的面积：差不变原理。

【方法点拨】

差不变思想，即利用等式的性质来求面积：

如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。

【典型例题】

如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为4厘米、圆心角为90°的扇形拼成的图形，利用差不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？

解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于 圆-三角形。

3.14×4²× -4×4÷2=4.56（平方厘米）

【对应练习1】

下图中的长方形的长、宽分别是4厘米、2厘米，求阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大多少平方厘米？

解析：

【对应练习2】

如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度。

解析：根据题意：

S甲-S乙=28，则（S甲+S空白）-（S乙+S空白）=28

即S三角形ABC-S半圆=28

设BC长x厘米。

40x÷2-3.14×（40÷2）²÷2=28

x=32.8