六年级数学上册典型例题系列之

第八单元数学广角——数与形（原卷版）

编者的话：

《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。

本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。

【考点一】整数列规律。

【方法点拨】

数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。

【典型例题】

根据规律在下面的括号里填上合适的数。

（1）1，3，5，7，（ ），（ ），13，15。

（2）2，5，8，11，（ ），（ ），20。

（3）50，44，38，（ ），（ ），20。

【对应练习1】

找规律：

（1）1、4、7、10、13、16、19、（ ）；

（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ ）；

（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ ）；

（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ ）、（ ）；

（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ ）。

【对应练习2】

找规律

（1）2、6、10、14、18、22、26、（ ）；

（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（ ）；

（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（ ）；

（4）1、2、4、8、16、32、64、（ ）；

（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（ ）、（ ）；

（6）1、8、27、64、125、（ ）；

（7）1、6、16、31、51、76、（ ）；

（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（ ）；

（9）67、66777、66677777、66667777777、（ ）；

（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（ ）。

【考点二】分数列规律。

【方法点拨】

数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。

【典型例题1】

一列分数的前5个是 、 、 、 。根据这5个分数的规律可知，第6个分数是________。

【典型例题2】

，···，请问 是这组数的第（   ）个数。

A. 12        B. 13         C. 14       D. 17

【对应练习1】

在 ， ， ， ， 这列分数中，第10个分数是（ ）。

【对应练习2】

找规律： 、 、 、 、　 　、　 　、

【考点三】等差数列基本题型。

【方法点拨】

1.等差数列：在数列中，人们把如1、2、3、4、5、6、7、8、9这样的一串数叫做“等差数列”。

2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。

3.首项：这数列的第一项叫首 项。

4.末项：最后一项叫末项。

5.等差数列通用公式：

（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2

（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）

【典型例题1】判断等差数列。

在下面的括号填写适当的数。

（1）1、4、7、10、( )、 ( )、19

（2）2、3、5、( )、12、( ) 、23

（3）0、2、4、( )、8、10、( )

判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首 项、末项、项数及公差；如果不是，说明为什么。

【典型例题2】求末项。

有一个数列1、5、9、13…，问这个数列的第30项是多少？

【对应练习】

一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第81项。

【典型例题3】求项数。

有一个数列2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？

【对应练习】

请你求出数列2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？

【典型例题4】求和。

1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33

【对应练习】

1＋2＋3＋4＋…＋120

【考点四】等差数列在生活实际中的应用。

【方法点拨】

等差数列通用公式：

（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2

（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）

【典型例题】

一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有1根，下面每一层都比上一层多1根，最下层有53根。这堆圆木一共有多少根？

【对应练习1】

屋子里有50个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？

【对应练习2】

A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不同的票价？有多少种不同的车票？

【考点五】等差数列在图形中的应用。

【方法点拨】

等差数列通用公式：

（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2

（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）

【典型例题】

如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……

照这样摆下去，摆4个正方形需（ ）根火柴棒；摆10个正方形需（ ）根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。

【对应练习1】

如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？

【对应练习2】

按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第n堆☆有多少个？

【对应练习3】

明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。

【考点六】等差数列在较复杂图形中的应用。

【方法点拨】

等差数列通用公式：

（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2

（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）

【典型例题】

用边长为1cm的小正方形搭如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是（ ）cm（用含 n 的代数式表示）。

【对应练习1】

下面每个三角形图都是由一些相同的小三角形组成的。如果小三角形的边长是1，每个三角形的周长分别是多少？如果摆成一个n层的大三角形，它的周长又是多少？

【对应练习2】

下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的。

(1)观察图形，填写下表：

(2)推测第n个图形中，正方形的个数为______，周长为_____(用含 n 的代数式表示)。

【对应练习3】

观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。

（2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式。

【考点七】图形规律一：数形结合。

【方法点拨】

图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。

【典型例题1】

根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？

【典型例题2】

准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起来，然后填下表。

三角形个数	1	2	3	4	5	6	…	n
拼成图形的周长（厘米）

回答：

（1）当三角形的个数是10时，所拼成 图形的周长是（ ）厘米。

（2）当三角形的个数是100时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。

【典型例题3】

我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。

根据“杨辉三角”每行的和与所在行的关系列表如下，请将表格填写完整。

行数	第1行	第2行	第3行	第4行	第5行	第6行	……
和	1	2	（ ）	（ ）	（ ）	（ ）	……
规律	后一行的和是前一行和的（ ）倍。

【典型例题4】

王鹏用小棒摆了四幅树状图，以下是树状图变化的规律：

王鹏按照这个规律继续往下摆，第五幅树状图要摆（    ）根小棒。

A. 23                B. 31                   C. 35                  D. 45

【典型例题5】

下图中的数是“三角形数”。先观察图形，再完成练习。

（1）照样子画一画，并在括号里写出这个“三角形数”。

（2）第1个“三角形数”：1；第2个“三角形数”：1+2；第3个“三角形数”：1+2+3；……第n个“三角形数”：________。

【典型例题6】

填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（    ）。

A. 86             B. 52                    C. 38                    D. 74

【对应练习】

若 =1， =2， =3，则 =________.

【考点八】图形规律二：位置变换。

【方法点拨】

图形位置变换的规律比较简单，注意观察位置的变化就能快速找出规律。

【典型例题】

找规律，接下来涂色正确的是（ ）。

A． B． C．

【对应练习1】

根据下面图形的排列规律，在下面四个图形中选一个填在横线上。_________

A． B． C． D．

【对应练习2】

找出下面图形变化的规律，在方框中画出第四幅图。

【考点九】图形规律三：图形的数字含义。

【方法点拨】

该类题型注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数字。

【典型例题】

下面每个图形都是由△、○、□中的两个（可以相同）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，猜猜最右面图形下面的“？”表示（   ）。

A. 23                  B. 31                      C. 13                    D. 32

解析：B。
观察对比图形可得：这组图形的规律是外面图形表示个位数字，里面图形是十位数字，由此可以推出：△代表2，○代表3，□代表1，据此得到最右面图形表示的数字。

【对应练习】

下面的每一个图形都是由△、口、O中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。

【考点十】图形规律四：稍复杂的图形探索。

【方法点拨】

图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。

【典型例题】

自主探索。

仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。

序号	1	2	3	4	…
表示点子数的算式	1	1+4	________	________	…
点子的总个数	1	5	________	________	…

观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：A= ________。

【对应练习】

小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。

正方形/个	1	4	9	（    ）	49
周长/厘米	4	4＋6	4＋6×2	4＋6×3	（     ）

【考点十一】图形规律五：图形与算式的结合。

【方法点拨】

该类型题注意算式规律的变化，可先找出算式的规律，再通过图形的变化来验证算式的变化。

【典型例题】

根据下图的规律，第8个图形的正确列式是(　 　)。

A．82－62 B．92－72 C．102－82

【对应练习】

妙算正方形的个数。

(1)完成上面的填空．

(2)照这样画下去，第6个图形有多少个正方形？

【考点十二】周期规律。

【方法点拨】

周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。

【典型例题】

运动场上插了五颜六色的彩旗，按照两面黄旗、三面红旗、一面绿旗的顺序排列，那么第100 面彩旗是什么颜色？前100面彩旗中，一共有多少面红旗？

解析：这是一道典型的余数周期问题，每6面彩旗为一组（也称为一个周期），可以求出100面彩旗中一共有多少组，余数是多少，就可以知道第 100 面彩旗是什么颜色了，余几，那么就是一组中的第几面。再求每组有多少面红旗，余下部分有几面红旗，就能求出红旗总数了。

100÷6=16(组)……4（面）

16×3+2=50(面)

答：第100面彩旗是红颜色的，前100面彩旗中，一共有50面红旗。

【对应练习1】

节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯，再接4盏蓝灯，再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯……这样排下去。问:

（1）第108盏灯是什么颜色?

（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?

【对应练习2】

下面图形是按规律排列的，根据规律可以判断第125个图形是（ ），前125 个图形中这个图形共有（ ）个。

【对应练习3】

循环小数 的小数部分第2012位上的数字是多少？这2012位数字的总和是多少？

【考点十三】算式规律。

【方法点拨】

周期问题关键在于找到一个周期是多少，然后再利用周期作除法求出问题。

【典型例题1】

找规律，写得数。
=1- ， ，

据上面等式，则： ________

【对应练习1】

简便计算。

【对应练习2】

计算： + + + + + + + + 。

【典型例题2】

找规律，写结果。

根据： ， ，

那么：

=________

=________

【典型例题3】

（2019•防城港模拟）① ， ；

② ， ；

③ ， ；

通过观察发现： （ ）（填得数）。

【对应练习1】

（1）通过计算，探索规律：

可写成 ； 可写成 ；

可写成 ； 可写成 ；

可写成　 　； 可写成　 　；

（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得： 　 　。

【对应练习2】

先观察三组算式，再根据规律把算式填完整。

1×3+1=2²；2×4+1=3²；3×5+1=4²……

________×________ +1=2018²……

n ×（n+2)+1=________²（n为自然数）

【对应练习3】

找规律填空。

根据下边各式的规律填空：

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4²

（1）1+3+5+7+9+11+13=________²。

（2）从1开始，________个连续奇数相加的和20²。