www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载
第二十一讲 数字谜综合二
我们先来观察几个有趣的等式：
，
，
，……
这些等式，等号左右两边出现的数字相同，左边是乘法，右边是加法，而所得的乘积与和数相同．也就是两个数的乘积等于这两个数的和．你能再写出几个类似的等式吗？
如果盲目瞎写，随便找两个数，看看乘积是不是与和数一样，这是不可行的，有如海底捞针．而事实上，要写出几个类似的等式是很容易的．前提是你要找到其中的规律．我们设这两个数分别为
和
，我们希望和与积相同，也就是
．
我们对这个等式进行变形：
（1）
；
（2）
；【把含有字母
的项都移到左边】
（3）
；【提公因数
】
（4）
；【把
当成一个整体】
（5）
；【把含有
的项移到左边】
（6）
．【提公因数
】
我们发现
化简后变成
，也就是只要满足
的两个数，它们的乘积就与和数相等．也就是：
变成 
变成 
变成 
如果要求
和
都是整数，则
和
都是1的约数，于是
，所以
，也就是两自然数的和与积相等的情形只有唯一一种：
．如果不要求
、
是自然数，则两数和与积相等的算式还可以写出无限多组．例如：把1看成是
，则
，解得
，就写出一个算式
．
（1）把
表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．
7,42）、（8,24）、（9,18）（10,15）、（12,12）「分析」设
（
），字母都出现在分母中，不好办．如果在等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，所得的等式中就不会出现“分数”了，此时得到的是怎样的一个等式？
练习1、把
表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．
把
拆成三个单位分数的和，请给出2种拆法．
「分析」在已经学会把一个分数拆成两个分数的基础上，我们只要进行两次分拆就可以了，既把第一次拆出的两个分数中的任何一个再进行一次分拆．
练习2、两个正整数的乘积是它们和的6倍，求这两个数．
两个数的和、差、积、商
大多数情况下，两个数的和、差、积、商这四个数互不相同，因而四个数中有某两个数相同的情形就显得颇为有趣了．
（1）和与差相同，例如：
．
（2）积与商相同，例如：
．
（3）差与商相同，例如：
．
（4）和与商相同，例如：
．
（5）和与积相同，例如：
．
（6）差与积相同，例如：
．
请同学们针对每一类情况，自己再举出一些例子．这6类情况分别在什么时候发生呢？你能发现其中的奥妙吗？
数字谜与数论是紧密联系的，在求解数字谜问题的时候，经常要用到一些数论的知识．同时还会用到像首位分析、尾数分析、位数分析这样的数字谜问题中特有的分析方法．
在
竖式中的方框内分别填入0到9这10个数字中的9个，使得竖式成立．
「分析」十个方框中填入的数字之和是多少？最后的和的数字之和是多少？那么可以根据这两个和之差确定发生进位的次数以及进位的位置．
练习3、在竖式中填入0至9各一次，使竖式成立．
从1到9中选出8个数字填入算式“
”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．请问：
（1）没有被选出的数字是多少？
（2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？
「分析」（1）填入8个数，使得算式成立的填法有很多．在众多的填法中，所用的8个数是固定的吗？
（2）要使较大数取得最小值，就要使所填的两个数大小最接近．要使较大数取得最大值，则要使所填的两个数的差最大．
练习4、从1～9中选出8个数字填入算式“□□＋□□＋□□＋□□＝172”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．请问：
（1）没有被选出的数字是多少？
（2）四个两位数中最大的数最小是多少？最大是多少？
将l～10这10个自然数填入下图五角星的10个圆圈内，使得外面五个三角形中的数等于其所在三角形三个顶点内数的和
「分析」图中有10个圆圈，这些圆圈所填数字的总和是多少？五个三角形的三个顶点上的数字之和是多少？每个圆圈各出现在多少个三角形中？
下图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1、2、3、4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1、2、3、4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1、2、3、4分别填在小正方形的4个顶点上．请问：
（1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．
（2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．
「分析」（1）每个三角形的三个顶点上的数字相加，就得到一个“和数”，于是得到8个相同的“和数”．如果将这8个和数相加，实际上把每个顶点上的数各加了多少次？总和是多少？
（2）要使8个“和数”互不相同，这些和数最小能取多少，最大能取多少？
数独
“数独”来自日文（すうどく），但概念源自“拉丁方块”，是十八世纪瑞士数学家欧拉发明的．在上个世纪七十年代，美国人重新挖掘它的魅力，接着日本杂志出版商在八十年代末期在一本美国杂志上看到这个游戏，带回日本后，增加它的游戏难度，并命名为“数独”，“数独”就此诞生，并逐渐受到日本人的注意、沉迷．日本还出版了许多“数独”的书．新西兰裔英籍退休法官韦恩·古德（Wayne Gould）1997年旅游日本时，买了一本数独游戏书，从此就迷上了，进而研究出计算机程序，开始供稿给全球十几家报社，立即受到读者的热烈回响．据说，“数独”还成为英国报纸销售量的法宝，连美国《纽约时报》也无法阻挡它的魅力，开始定期登载．2004年5月30日起，台湾的《中国时报》也取得古德的授权，每天都刊出一则数独谜题，让这个新玩意第一次出现在台湾的大众媒体上，也是全球第一家引入数独游戏的中文报纸．
方格里摆几个数字，乍看之下好像没什么．但数独好玩之处，就在推敲的过程，以及解答出来的成就感．由于规则简单，却变化无穷，在推敲之中完全不必用到数学计算，只需运用逻辑推理能力，所以无论老少中青男女，人人都可以玩．
只需九个九宫格，及1到9不重复的阿拉伯数字，也超越了文字的障碍，因此自从出现后，从东方到西方，风靡亿万人．有些人认为玩数独是他们缓解工作压力的最佳方式；有些人认为玩数独可以保持头脑灵活，尤其适合老年人；也有些老师和父母觉得玩数独需要耐心、专心和推理能力，所以拿数独当题目出给学生练习，用来训练小孩子．最近英国政府出资的《教师》杂志甚至建议把“数独”引进课堂，因为数独不仅有趣好玩，还可以增进玩者的推理与逻辑机能，所以可以作为学生锻炼脑力的教材．
作业
把
表示成2个自然数的倒数之和，共有多少种方法？
两个自然数的乘积比这两个自然数的和大1，这两个自然数是多少？
在右边的加法算式中，若每个方框均表示0到9中的一个数字，任意两个方框内的数字都不相同，则最下面的那个方框内的数是多少？
在右图的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式结果的四位数最大可能是多少？
如
图所示，在小六边形的六个顶点处分别填入1、2、3、4、5、6各一个，在大六边形的六个顶点处也填入1、2、3、4、5、6各一个．请问：
（1）能否使得每个梯形四个顶点上数字之和都相等？
（2）能否使得每个梯形四个顶点上数字之和是6个连续自然数？
如果能，请给出一种填法；如果不能，请说明理由．
关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷