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第二十讲 计数综合提高下
上楼梯模型
找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系
几何图形分平面——增量分析
考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点：
交点越多越好；
交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形）；
有几段则增加几部分（有直线要先画直线）．
传球法
传球法是树形图的简化版本；
传球规则决定累加规则；
（1）首先从传球者角度考虑传球方法；
（2）其次从接球者角度考虑如何累加；
可以使用传球法的题型；
（1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题；
（2）环形染色问题．
插板法
用于求解“把m个相同的球放到n个不同的盒子中”这类问题．
注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．
如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为
（把
个板插到
个空隙中）．如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为
（先借n个球，然后按照每个盒子至少1个去放，最后再从每个盒子中拿出1个还回去）．对其它情况，如：每个盒子至少2个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少2个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果．
对应法解计数问题
关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题．
对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形．
这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还需要再固定一个．
满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？
「分析」大家还记得“传球法”吗？
练习1、满足以下条件的四位数称为“N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2，例如3524是“N数”，但1234不是“N数”．一共有多少个“N数”？
（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？
（2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？
「分析」本题可以采用递推计数法．
练习2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？
一
个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？
「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？
练习3、将如图的8部分用3种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？
0、1、6、8、9颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7颠倒过来后不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118等，那么六位数中有多少个“混沌数”？
「分析」大家先判断哪些数字可以出现在“混沌数”中．
练习4、如果一个自然数反过来写等于它本身，则称其为“回文数”，如12321、22、232等都是“回文数”，那么六位数中有多少个“回文数”？
把一条均匀木棍五等分，然后用5种颜色给这5部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种）
「分析」大家可以先不考虑旋转或翻转的情况算出染法数，再减去反转后相同的染色情况．
给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）
「分析」大家可以采用固定一个面开始染色的方法进行分析．
解析几何之父——笛卡尔
勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596——1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家．笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省，1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩）． 他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张．他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学．
笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献．自从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．
笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证．笛卡尔发现了动量守恒原理．他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说，虽然具体理论有许多缺陷，但依然对以后的自然科学家产生了影响．
他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律．不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论．他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜．在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理．
笛卡尔在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止．这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性．在这一章中，他还第一次明确地提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变．笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件．
笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说．他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解．他创立了漩涡说．他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转．物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星．他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质漩涡对天体的压力，在各种大小不同的漩涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用．
笛卡尔的太阳起源的以太漩涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论．
笛
卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a、
b、
c以及未知数x、
y、
z等，还有指数的表示方法．他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式．还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的．
笛卡尔心形线：r=a(1－sinθ)
用的就是直角坐标图（注：实际上是极坐标系）
当θ=0°时，r=a(1－0)=a …… A点
当θ=90°时，r=a(1－1)=0 …… B点
当θ=180°时，r=a(1－0)=a …… C点
当θ=270°时，r=a(1+1)=2a …… D点
把A、B、C、D四点用弧线连接起来，就是有名的心形线！
读杰出的书籍，有如和过去最杰出的人物促膝交谈．
读一切好书，就是和许多高尚的人谈话．
仅仅具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它．
世界之大，而能获得最公平分配的是常识．
我思故我在．
要以探求真理为毕生的事业．
意志、悟性、想象力以及感觉上的一切作用，全由思维而来．
越学习，越发现自己的无知．
一个为情感所支配，行为便没有自主之权，而受命运的宰割．
作业
8个人围成一圈做游戏，共有多少种不同的方法？
满足下面性质的三位数称为“黑数”：它的个位比十位小，十位比百位小，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如642、520是“黑数”，但872就不是“黑数”．一共有多少个“黑数”？
一个五位数只由1、2、3、4组成，它的每相邻两位数字的差都是1，这样的五位数有多少个？
如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成多少个部分？
给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有8种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）
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