第十三讲 概率初步

日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的．

尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：

今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；

中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；

一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小．

为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学．（当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题——掷骰子问题和比赛奖金分配问题）

概率基本概念

概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出现的可能性相同，所以概率均为 ；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所以概率均为 ．

概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值．

关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为 ，并不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有 可能性出现正面．

虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）．（这个特点在概率论中被称为大数定律）

换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性．基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型．

古典概率模型

古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可．

古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：

1．A、B、C排成一排，共有6种排法，其中A占排头的方法共2种，所以A站排头的概率是 ．

2．从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法，其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是 ．

3．3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是 ．

上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件——等可能性．

4．从10个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是 ．

5．投掷两枚硬币，出现2个正面的概率是 ，出现1正1反的概率是 ，出现2反的概率是 ．

6．从3个红球、2个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是 ．

例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况——“2正、1正1反、2反”，但概率都不是 ，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A和B，那么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”，而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）．

而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）．

从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）．为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4，假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是 ．

1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少？1/3（2）女生互不相邻的概率是多少？2/3（3）男生互不相邻的概率是多少？
   「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？
   
   
   

练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？0.2（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）0.4关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？0.3

2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？

「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数．


练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？4/35（2）选出2男1女的概率是多少？

3. 一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？1/6（2）两个骰子点数和为5的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1的概率是多少？
   「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从1到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．
   
   练习3、一次投掷3枚硬币，请问：（1）出现3个正面的概率是多少？（2）出现1正2反的概率是多少？
   
   
   

4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？
   「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？
   
   
   
   练习4、一个不透明的袋子里装着2个红球、3个黄球和4个黑球．从中任取两个球，请问：取出2个黑球的概率是多少？1/6
   取出1红1黄的概率是多少？1/6
   取出1黄1黑的概率是多少？
   
   
   
   

概率的独立性

如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如：

A买彩票是否中奖和B买彩票是否中奖是独立的；

甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；

如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生

概率的乘积．

5. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？
   「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．

需要分步计算的概率问题

有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：

一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是 ，第二次抽到黑球的概率是 ，所以两次都抽到黑球的概率是 ．

在分步拿球的问题中，大家还要注意“无放回拿球”和“有放回拿球”的区别，它关系到每步的概率计算结果．例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是 ．

6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？
   「分析」分步计算概率即可．

小概率事件之买彩票

彩票市场产生于16世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行．发展到今天，世界上已经有139个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等．

发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的．各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标．以合法形式、公平原则，重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值．

目前，彩票的种类随着社会的发展而发展．在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面．2011年，全国彩票销售规模首次突破了2000亿元，达到2215亿元，彩票公益金筹集量达634亿元．1987年到2011年，我国累计销售彩票达10951亿元，累计筹集彩票公益金3433亿元．

在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票：

福利彩票：福利彩票是指1987年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票．福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐）、乐透型彩票（如双色球、36选5）和数字型彩票(如3D)三种，后两种均是电脑型彩票．

体育彩票：体育彩票是指由1994年3月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票．其种类主要有即开型彩票（如顶呱刮）、乐透型彩票(如大乐透、22选）．

截止到2013年世界上中得彩票最大额为一个美国80多岁的老太太，独中5.9亿美元．

作业

1. 在一只口袋里装着4个红球，5个黄球和6黑球．从口袋中任取一个球，请问：
   （1）这个球是红球的概率有多少？2/9
   （2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？7/9
   （3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？
   
   

2. 小高与墨莫做游戏：由小高抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜．请问这个游戏公平吗？
   
   

3. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为0.3，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？
   
   

4. 连续抛掷2个骰子．如果已知点数之和大于9，那么点数之和是12的概率有多大？
   
   

5. 6名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？