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【321075】【课本】六年级(上)第03讲 递推计数

时间:2025-01-08 19:21:48 作者: 字数:6507字
简介:

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第三讲 递推计数



 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a>

有许多计数问题很复杂,直接处理比较困难,此时硬碰硬是不行的.一个比较有效的策略是退而求其次:先考虑该问题的简单情形,看看简单情形如何处理;在解决了简单情形后,再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”.

那如何利用“递推法”来解决计数问题呢?下面我们就来看几个例子.

  1. 老师给小高布置了12篇作文,规定他每天至少写1篇.如果小高每天最多能写3篇,那么共有多少种不同的完成方法?(小高每天只能写整数篇)
    「分析」从简单情况入手,看看能否找到合适的突破口.如果老师只布置1篇作文,小高有多少种不同的完成方法?如果老师布置2篇作文,小高有多少种不同的完成方法?如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法?篇数由少到多,完成方法数也会逐渐变多,这其中有什么规律呢?

练习1、一个楼梯共有12级台阶,规定每步可以迈二级台阶或三级台阶.走完这12级台阶,共有多少种不同的走法?


  1. 10 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a> 的长方形纸片覆盖一个 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a> 的方格表,共有多少种覆盖方法?






























「分析」与例1的类似,我们还是从简单情形入手找递推关系.可具体从什么样的情形入手呢?


练习2、用7 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a> 的长方形纸片覆盖一个 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a> 的方格表,共有多少种覆盖方法?


  1. 在一个平面上画出100条直线,最多可以把平面分成几个部分?
    「分析」当直线数量不多时,画图数一数即可.但现在有100条,画图数并不现实.我们不妨在纸上将直线逐一画出,并在画的过程中仔细观察:每增加一条直线,平面被分成的部分会增加多少?这个增量有什么变化规律?

    练习3、如果在一个圆内画出50条直线,最多可以把圆分成多少部分?

下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题.

  1. 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个.先由红衣人发球,并作为第1次传球,经过8次传球后球仍然回到红衣人手中.请问:整个传球过程共有多少种不同的可能?
    「分析」看到这个问题,很多同学可能想通过树形图来求解,我们不妨来试一试.设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是ABCD.如下图,最开始时,球在A手上,第一次传球由A传给BCD,也就是第一层有三个字母就够了.然后BCD都会继续往下传球,各有3种传法,传到第二层需要9个字母.再传到第三层,需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛!如果传8次球,到最后一层会用到 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a> 个字母,这要多大的一个树形图啊!
    Shape1

可见画树形图的方案不可行.但树形图对这道题就没有用了吗?并非如此.它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系.事实上,我们并不关心树形图长啥样,我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量.因此,只要知道每一层各字母出现的次数就可以了,我们不妨制作一个表格来统计这个次数.如下表,我们用第一列来表示层数,第一行来表示每个人,其余空格用于填写字母在该层中出现的次数.请你从上方的树形图中数一数,填出表格中的前几行.然后思考一下:这其中隐藏着什么样的递推关系?



练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球,每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个.先由红衣人发球,并作为第1次传球,经过7次传球后传到蓝衣人手中.请问:整个传球过程共有多少种不同的可能?


解传球问题的方法称为“传球法”.“传球法”是递推法的一种特殊形式,是一种极其实用的数表累加计数法.

  1. 一个七位数,每一位都是12或者3,而且没有连续的两个1,这样的七位数一共有多少个?
    「分析」这道题与前面两道题有何异同?应该如何求解呢?

前面的计数问题,递推关系都表现为数列、数表的简单累加,但这不是递推的全部.简单累加只是递推的一种表现形式,递推还有很多其它形式.下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题.

  1. 圆周上有10个点A1A2 <a href="/tags/35/" title="课本" class="c1" target="_blank">课本</a>A10,以这些点为端点连接5条线段,要求线段之间没有公共点,共有多少种连接方式?
    「分析」圆周上10个点,连5条线段,连法很多,很难直接画出来枚举.像这类问题,我们同样还是从简单的情况入手.那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数,来找递推关系吗?

Shape3



作业

  1. 10个蛋黄派,萱萱每天吃1个或2个,那么共有多少种不同的吃法?


  2. 甲、乙两人玩抓石子游戏,共有12个石子,甲先乙后轮流抓取.每次可以抓取其中的2个、3个或4个,直到最后抓取完毕为止.那么共有多少种抓取石子的方案?

  3. 用直线把一个平面分成100部分,至少要在平面上画几条直线?



  4. 一个七位数,它由数字01234组成,相邻位置上的数字不相同,并且个位数字是2.这样的七位数有多少个?


  5. 8Shape4 的长方形纸片覆盖下面的方格表,共有多少种覆盖方法?



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