第十讲 游戏策略

1. 例题1

答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略

详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜．
（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚．之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子．最后1枚必然被乙拿到，甲胜．

2. 例题2

答案：甲有必胜策略

详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴， ，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同．4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴． ，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．

3. 例题3

答案：甲必胜

详解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．

4. 例题4

答案：甲必胜

详

×	√	×	B
×	×	×	×
×	√	×	√
×	×	×	×

×	√	×	B
	1	×	×
	2	3	√
A			×

解：我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

5. 例题5

答案：（1）甲必胜；（2）甲必胜

详解：（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．






（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

√	×	√	×	√	×	B
				1	×	×
				2	3	√
						×
						√
A						×

√	×	√	×	√	×	B
×	×	×	×	×	×	×
√	×	√	×	√	×	√
×	×	×	×	×	×	×
√	×	√	×	√	×	√
A	×	×	×	×	×	×

×	×	×	×	×	×	B
×	×	×	×	√	×	×
×	×	×	×	×	√	×
×	√	×	×	×	×	×
×	×	×	×	×	×	×
A	×	×	√	×	×	×

6. 例题6

答案：切走12个小方块

详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．
当剩2行（或2列）时，如果剩 的方块，那么先切的人切完后成为 的方块，所以后切的人必胜；如果剩 、 、…等情况，先切的人只要切剩下一个 的方块就可以取胜．
当剩3行（或3列）时，如果剩 的方块，先切的人切一刀后只能剩下 或 的方块，此时后切的人获胜．
当有 块时，先切的人切走 块，给对手留下一个 的正方形，接着每次都给对手留下一个 或 的正方形即可获胜．

7. 练习1

答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜

详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子，即可拿到最后1枚获胜．（2）甲先取2枚，剩下13枚．之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜．

8. 练习2

答案：甲必胜

详解： ，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜．

9. 练习3

答案： 甲必胜

简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．

10. 练习4

答案： 甲必胜

简

√	×	√	×	B
×	×	×	×	×
√	×	√	×	√
A	×	×	×	×

答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．

11. 作业1

答案：先翻动的人必胜

简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚．

12. 作业2

答案：乙必胜

简答：甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个． ，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜．

13. 作业3

答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜

简答：（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个．（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个．

14. 作业4

答案：甲必胜

简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能继续画，甲胜．

15. 作业5

答案：乙必胜

简

√	×	√	×	√	×	B
×	×	×	×	×	×	×
A	×	√	×	√	×	√

答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．