【320274】【课本】四年级上第21讲_等积变形
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第二十一讲 等积变形
三角形和平行四边形的关系非常紧密.回想它们的面积公式,如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块,那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半,如图:
除了上面这种情形外,下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同,所以面积也是平行四边形的一半.(注意:长方形也是平行四边形)
例题1
如
图,已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米,E是其中的任意一点,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?
「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形,两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢?
练
习1
如图,E是平行四边形ABCD中的任意一点,已知△AED与△EBC的面积和是40平方厘米,那么图中阴影部分的面积是多少?
下图中,两条平行线间有四个三角形:三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB,它们的底相同,都是AB;高相等,都是两条平行线间的距离,所以这四个三角形的面积是相等的.进一步,我们可以在直线ON上任取若干个点,这些点分别与A、B两点形成若干个同底等高的三角形,这些三角形的面积是相等的.
我们把这种“底相同,高相等”的情况简称为“同底等高”.“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形,而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等.
如果两个三角形同底等高,那么它们的面积相等.
利用平行线间的距离相等,构造同底等高的三角形,是很常见的三角形等积变形.
例
题2
如图,平行四边形ABCD的底边AD长20厘米,高CH为9厘米;E是底边BC上任意的一点,那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米?
「分析」能否通过等积变形,把两个三角形变成一个三角形呢?
练
习2
如图,平行四边形ABCD的面积是100平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
例题3
如
图所示,ABFE和CDEF都是长方形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
「分析」能否通过等积变形,把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢?
练
习3
如图,ABCD和CDEF都是平行四边形,四边形ABFE面积为60平方厘米.请问:阴影部分面积是多少平方厘米?
在利用同底等高三角形计算面积的题目中,最重要的一步就是去寻找其中的平行线,进
而寻找同底等高、面积相等的三角形.
例题4
如
图,梯形ABCD中,E是对角线AC上的一点,已知DE和AB平行,那么与△ADC面积相等的三角形一共有哪几个?
「分析」要找同底等高面积相等的三角形,首先必须找到平行线哦!
练习4
如
图,梯形ABCD中,共有几个三角形?其中面积相等的三角形共有哪几对?
画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一,一条好的辅助线,往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线.
在上一讲中,我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目,在利用同底等高三角形计算面积的题目中,我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化.
例题5
如图,大正方形的边长是10厘米,小正方形的边长是8厘米.求阴影部分的面积.
「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的,能否通过等积变形,寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢?记得先找平行线哦!
如
右图,梯形ABCD中,对角线相交于O点,由于AD与BC平行,那么就有△ABC与△DBC同底等高、面积相等,△ABD与△ACD同底等高、面积相等.
那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢?我们观察一下,△ABC与△BCD都包含有△OBC,而△ABC与△BCD面积相等,那么就有△ABO与△CDO面积相等.
我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”,因为△ABO与△CDO恰好如同两片翅膀一般,有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”.
“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛,尤其是在高年级学习比例之后,而且,应用蝴蝶模型,往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.
例题6
如
图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15,四边形EFGO的面积是多少?
「分析」能否应用“蝴蝶模型”,使得三块分离的三角形合并呢?
课堂内外
蝴蝶定理
蝴蝶定理(Butterfly theorem),是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一.
这个命题最早出现在1815年,而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号,1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.
这
个定理最基本的叙述为:设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD,设AD和BC分别相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点.
从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶,该定理名字由此而得.
实际上,在椭圆中,依然存在蝴蝶定理,把上图“压扁”即可.
这个定理的证法多的不胜枚举,至今仍然被数学热爱者研究,在高考等考试中时有出现各种变形,有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花”.
混沌论中的“蝴蝶定理”:
数学的一门分支是混沌论.混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述:初始条件十分微小的变化经过不断放大,对其未来状态会造成极其巨大的差别.
混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”:一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.
西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”:
丢失一个钉子,坏了一只蹄铁;
坏了一只蹄铁,折了一匹战马;
折了一匹战马,伤了一位骑士;
伤了一位骑士,输了一场战斗;
输了一场战斗,亡了一个帝国.
作业
如图所示,梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的,已知等腰直角三角形的斜边是10厘米,那么△BCE的面积是多少平方厘米?
如图,长方形ABCD的面积为6,平行四边形BECF的面积为多少?
如图所示,一个长方形被分成4个不同的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?
如
图,长方形的长为16,宽为5.阴影三角形的面积和为多少?
如
图,直角梯形ABCD中,
,
,BD和CD垂直.那么三角形ABC的面积是多少?
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