第十六讲 多位数巧算

所谓多位数，顾名思义，就是位数较多的数．例如9999999999，我们可以把它读作“10个9”，记作 ．这里“10个9”不要误认为是 ，而是由10个9组成的十位数．

与多位数有关的计算，一般来说看上去都有些复杂，直接计算往往会有较大的困难，但也不是没有办法．多位数只是较大的整数，所以整数四则运算中常用的凑整法、提公因数法等运算技巧都可以应用到多位数的计算中．

凑整法在多位数计算中极为常用，我们先来看加法型凑整．例如计算 时，为了避免过多的进位，我们可以把9998看成 ，把20004看成 ，再把它们相加．

例题1

计算：（1） ；

（2） ．

「分析」题（1）中如果是20，200，2000，…这样的数相加很容易算，现在每个数都多了8，该怎么办呢？题（2）又该怎么办呢？

练习1

_计算：（1） _{； （2） ．}

乘法型凑整与加法型凑整有些相似，都是尽量把与整十、整百、整千等相近的乘数变成整十、整百、整千等，使计算更简便．

例题2

计算：（1） ； （2） ； （3） ．

「分析」题目中的999、99997之类的数，我们可以把它们变成“整数”进行计算，大胆地试一下吧！

练习2

_计算： ．

接下来我们看一下本讲学习的重要内容——叠字型多位数，简称“叠数”，比如：3333333，121212，245245，312312312等，我们把重复出现的数称之为“循环节”．

对于叠字型多位数，最重要的就是要能够熟练地进行分拆，将其拆为循环节与另一个数的乘积．比如， ，这是最基本、最简单的一类．

而另外一类，比如121212、245245和312312312，则要相对复杂一些，要分拆这些叠数，首先找出循环节及其个数，而另外一个乘数，1的个数应该等于循环节的个数，相邻两个1之间0的个数应该比循环节长度小1．比如： ， ， ．

叠数分拆的逆运算也是应该掌握的，比如 ， ， ．

试一试

_{_______； _______；}

_{_______； _______．}

例题3

计算： ．

「分析」算式中有两个叠数，拆开来看看该怎么办呢？

练习3

计算： ．

由相同数字组成的多位数都可以写成若干个1与一位数相乘的形式，即最简单的叠数分拆，例如： ．这个看上去很简单的“分解”的思想，在多位数乘除法中往往会得到意想不到的效果．

例题4

计算： ．

「分析」算式中的3个数都是 的倍数，不妨拆开来试试．

练习4

计算： ．

例题5

计算： ．

「分析」198319831983和198119811981是两个叠字型多位数，我们该怎么办呢？

例题6

计算：（1） ； （2） ．

「分析」题（1）中，如果有99999，就能把99999变成 来计算了，那怎么才能变出99999呢？题（2）该怎么办呢？

课堂内外

数的起源

说到数，首先会想到的问题就是：数的概念是什么时候起源的？数的符号是怎么来的？

人们一般把文字的发明和使用作为人类进入文明时代的标志之一，数作为文字符号的组成部分，它的起源与人类文明史一样遥远．

其实，从人类诞生的那一天开始，人类已经有数量的概念了．为什么这样说呢？这只要观察动物世界的行为，就能够得出这个结论．动物虽然没有“数”的认知能力，但是它们都本能地知道食物数量的多少．例如蜜蜂采蜜回来，能通过“舞蹈”语言告诉巢里的同伴，在什么方向有花可供采集，花的数量越多，“舞蹈”越是起劲．作为最高级生物的人类，我们由低级生物进化而来，当然“继承”了认识数量多少的能力．而且由于人类有聪明的大脑，对数量的认识更为精细，从而能从数量的多少，进一步总结出“数”的概念．

从模糊的“多少”到精确的“数”的出现，经历了十分漫长的时间．据说，直到距今20000年前的时候，人类才有了第一个数字“1”．不过这时的数字，还停留在实物表示阶段，捕获了一头野兽，就用1块石子代表；捕获了2头，就放2块石子．当然，石块只是众多可以用来记数的一种方法，其他如“结绳记事”也是古代人类做过的事．我国古书《易经》中就有“结绳而治”的记载．传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数．用利器在树皮、兽皮或者骨头上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法．这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号．

大约在公元前4000年，现中东两河流域，古代叫美索不达米亚的地方，苏美尔人首先创造了代表数字的符号，这种符号很像一把楔子，所以也叫“楔形文字”．人们把楔形文字刻写在泥板上，凉干后泥板变硬，就成了可以保存的记录．之后古埃及、古希腊、古罗马、古印度等地方的人们也先后创造了各自的数字符号．例如古罗马人创造了七个基本数字字符来表示数，它们是：Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ、L、C、D、M．

作业

1. 计算： ．

2. 计算：（1） ；（2） ．

3. 计算： ．

4. 计算： ．

5． 计算： ．