【324426】2024春七年级数学下册 第10讲 整式化简与整式除法（核心考点讲与练）含解析)（新版

第10讲整式化简与整式除法（核心考点讲与练）

一．整式的混合运算—化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

二．同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

a^m÷aⁿ＝a^m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

三．整式的除法

整式的除法：

（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．

关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．

（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．

四．整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．

五．零指数幂

零指数幂：a⁰＝1（a≠0）

由a^m÷a^m＝1，a^m÷a^m＝a^m﹣m＝a⁰可推出a⁰＝1（a≠0）

注意：0⁰≠1．

六．负整数指数幂

负整数指数幂：a^﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）^﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

一．整式的混合运算—化简求值（共5小题）

1．（利通区期末）先化简再求值：4（m+1）²﹣（2m+5）（2m﹣5），其中m＝﹣3．

【分析】根据完全平方公式，平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．

【解答】解：4（m+1）²﹣（2m+5）（2m﹣5），

＝4（m²+2m+1）﹣（4m²﹣25），

＝4m²+8m+4﹣4m²+25，

＝8m+29，

当m＝﹣3时

原式＝8×（﹣3）+29＝﹣24+29＝5．

【点评】主要主要考查了完全平方公式，平方差公式，去括号以及合并同类项．去括号时，注意符号的处理．

2．（杭州期末）已知M＝ （ab﹣4a²）﹣8ab，N＝2a（a﹣ b），求M+N的值，其中a＝﹣1，b＝ ．

【分析】将已知整式代入，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值．

【解答】解：∵M＝ （ab﹣4a²）﹣8ab，N＝2a（a﹣ b），

∴M+N＝ （ab﹣4a²）﹣8ab+2a（a﹣ b）

＝ ab﹣2a²﹣8ab+2a²﹣ ab

＝﹣8ab，

当a＝﹣1，b＝ 时，

原式＝﹣8×（﹣1）× ＝ ．

【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．

3．（沙坪坝区校级期末）先化简，再求值：2x²+2（x²﹣xy）+（y﹣x）（y+3x），其中x＝ ，y＝﹣1．

【分析】根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算法则先算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值．

【解答】解：原式＝2x²+2x²﹣2xy+y²+3xy﹣xy﹣3x²

＝x²+y²，

当x＝ ，y＝﹣1时，

原式＝（ ）²+（﹣1）²

＝ +1

＝ ．

【点评】本题考查整式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．

4．（嵩县期末）（1）若x^m＝2，xⁿ＝3．求x^m+2n的值；

（2）先化简，再求值：[（x﹣3y）²﹣x（2x﹣4y）+x²]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝2．

【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则将原式进行变形，然后代入求值；

（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算括号内的乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，再代入求值即可．

【解答】解：（1）原式＝x^m⋅x²ⁿ＝x^m⋅（xⁿ）²，

∵x^m＝2，xⁿ＝3，

∴原式＝2×3²＝2×9＝18，

即x^m+2n的值为18；

（2）原式＝（x²﹣6xy+9y²﹣2x²+4xy+x²）÷（﹣2y）

＝（﹣2xy+9y²）÷（﹣2y）

＝﹣2xy÷（﹣2y）+9y²÷（﹣2y）

＝ ，

当x＝1，y＝2时，

原式＝ ＝1﹣9＝﹣8．

【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握幂的乘方（a^m）ⁿ＝a^mn运算法则，完全平方公式（a±b）²＝a²±2ab+b²的结构是解题关键．

5．（兰山区模拟）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当x＝8时，多项式3x³﹣4x²﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式3x³﹣4x²﹣35x+8进行改写：

3x³﹣4x²﹣35x+8＝x（3x²﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8

按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当x＝8时，多项式3x³﹣4x²﹣35x+8的值为1008．

请参考上述方法，将多项式x³+2x²+x﹣1改写为：　x[x（x+2）+1]﹣1　，当x＝8时，这个多项式的值为　647　．

【分析】仿照题中的方法将原式改写，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：x³+2x²+x﹣1＝x[x（x+2）+1]﹣1，

当x＝8时，原式＝647，

故答案为：x[x（x+2）+1]﹣1；647

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，弄清题中的方法是解本题的关键．

二．同底数幂的除法（共4小题）

6．（兰考县期末）若4^x＝a，8^y＝b，则2^2x﹣3y可表示为　 　．（用含a、b的代数式表示）

【分析】逆向运算同底数幂的除法法则，结合幂的乘方运算法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【解答】解：∵4^x＝2^2x＝a，8^y＝2^3y＝b，

∴2^2x﹣3y＝2^2x÷2^3y＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．

7．（鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9^x•27^y÷81^z的值．

【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则求解即可．

【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，

∴2x+3y﹣4z＝﹣1，

∴9^x•27^y÷81^z

＝3^2x×3^3y÷3^4z

＝3^2x+3y﹣4z

＝3^﹣1

＝ ．

【点评】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．

8．计算：[（xⁿ⁺¹）⁴•x²]÷[（xⁿ⁺²）³÷（x²）ⁿ]．

【分析】首先根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算括号里面的式子，再根据同底数幂的除法进行计算即可．

【解答】解：原式＝x⁴ⁿ⁺⁴⁺²÷（x³ⁿ⁺⁶÷x²ⁿ）

＝x⁴ⁿ⁺⁶÷xⁿ⁺⁶

＝x³ⁿ．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法，以及幂的乘方，关键是掌握各运算法则．

9．（奉化区校级期末）（1）已知a+4＝﹣3b，求3^a×27^b的值；

（2）已知3^m＝6，9ⁿ＝2，求3^2m﹣4n的值．

【分析】（1）由a+4＝﹣3b可得a+3b＝﹣4，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；

（2）根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．

【解答】解：（1）因为a+4＝﹣3b，

所以a+3b＝﹣4，

所以3^a×27^b＝3^a×3^3b＝3^a+3b＝3^﹣4＝ ；

（2）因为3^m＝6，9ⁿ＝2，

所以3²ⁿ＝2，

所以3^2m﹣4n＝（3^m）²÷（3²ⁿ）²＝6²÷2²＝36÷4＝9．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

三．整式的除法（共3小题）

10．（泉港区期末）计算：（6x²y﹣2xy²）÷2xy＝　3x﹣y　．

【分析】根据多项式除单项式的运算法则计算，得到答案．

【解答】解：（6x²y﹣2xy²）÷2xy

＝6x²y÷2xy﹣2xy²÷2xy

＝3x﹣y，

故答案为：3x﹣y．

【点评】本题考查的是整式的除法，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

11．（奉贤区期末）计算：（6x³+3x²﹣2x）÷（﹣2x）﹣（x﹣2）²．

【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝6x³÷（﹣2x）+3x²÷（﹣2x）+（﹣2x）÷（﹣2x）﹣（x﹣2）²

＝﹣3x²﹣ x+1﹣（x²﹣4x+4）

＝﹣3x²﹣ x+1﹣x²+4x﹣4

＝﹣4x²+ x﹣3．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

12．（椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x²）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：

因此（7x+2+6x²）÷（2x+1）＝3x+2．

（1）阅读上述材料后，试判断x³﹣x²﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．

（2）利用上述方法解决：若多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被x²+x﹣2整除，求 的值．

【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；

（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．

【解答】解：（1）x³﹣x²﹣5x﹣3能被x+1整除；

理由如下：

（2）若多项式2x⁴﹣3x³+ax²+7x+b能被x²+x﹣2整除则有

所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；

＝﹣2．

【点评】此题考查利用竖式计算整式的除法，注意同类项的对应．

四．整式的混合运算（共3小题）

13．（镇海区期末）如图是一个由4张纸片拼成的长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中（1）（2）是两个面积相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出长方形的面积，则需要知道下列哪个条件（　　）

A．（1）与（2）的周长之差 B．（3）的面积

C．（1）与（3）的面积之差 D．长方形的周长

【分析】设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，分别表示出长方形的面积，图形（1）与（2）的周长之差，图形（3）的面积，图形（1）与（3）的面积之差，长方形的周长，逐一进行比较即可求得答案．

【解答】解：设正方形边长为a，长方形的宽为a+x，长为2a+y，

则：长方形的面积为（2a+y）（a+x）＝2a²+2ax+ay+xy，

∵（1）、（2）是两个面积相等的梯形，

∴ （a+x+a）y＝ （2a+y+2a）x，

∴xy+2ay＝4ax+xy，

∴y＝2x，

∴长方形的面积为：2a²+2ax+ay+xy＝2a²+2ax+2ax+2x²＝2（a+x）²，

图形（1）与图形（2）的周长之差为a+a+x+y﹣（2a+2a+y+x）＝﹣2a，

∴A选项条件不能求出长方形的面积；

图（3）的面积是a²，

∴B选项条件，不能求出长方形的面积；

图形（1）与图形（3）的面积之差为： （a+a+x）y﹣a²＝ay+ xy﹣a²＝2ax+x²﹣a²，

∴C选项条件，不能求出长方形的面积；

长方形的周长为：2[（2a+y）+（a+x）]＝6a+6x＝6（a+x），

∴D选项条件，能求出长方形的面积，

故选：D．

【点评】本题考查了正方形面积，梯形面积，长方形的面积和周长，整式的混合运算等，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键．

14．（浦江县期末）计算：（1）a²÷a³•（﹣3a）²；

（2）（8x²﹣12x³+16x）÷4x．

【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则分别计算得出答案；

（2）直接利用多项式除以单项式计算，进而得出答案．

【解答】解：（1）原式＝a^﹣1•9a²

＝9a；

（2）（8x²﹣12x³+16x）÷4x

＝8x²÷4x﹣12x³÷4x+16x÷4x

＝2x﹣3x²+4．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

15．（萧山区期中）将7张如图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S＝S₁﹣S₂，周长差为C＝C₁﹣C₂．

（1）当a＝7，b＝2，AD＝28时，求：①长方形ABCD的面积；②S及C的值；

（2）当b＝2，AD＝28时，请用含a的代数式表示S的值；

（3）当AD的长度变化时，将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，若C₁与C₂始终相等，求a，b满足的关系式．

【分析】（1）①根据长方形的面积公式即可得答案；

②由已知表示出S₁、S₂，C₁、C₂即可得到答案；

（2）表示出S₁、S₂，根据S＝S₁﹣S₂即得答案；

（3）由已知得C₁﹣C₂＝14b﹣4a，根据C₁与C₂始终相等列出式子即得答案．

【解答】解：（1）∵a＝7，b＝2，

∴AB＝3b+a＝13，BC＝AD＝28，

∴①S_{长方形ABCD}＝13×28＝364；

②S＝S₁﹣S₂

＝（AD﹣a）×3b﹣a（28﹣4b）

＝（28﹣7）×3×2﹣2（28﹣8）

＝126﹣40

＝86；

C＝（28﹣a+3b）×2﹣2×（28﹣4b+a）

＝14b﹣4a

＝14×2﹣4×7

＝0；

（2）S＝（28﹣a）×3×2﹣a（28﹣4×2）

＝168﹣6a﹣20a

＝168﹣26a；

（3）由已知可得C＝C₁﹣C₂＝（AD﹣a+3b）×2﹣2×（AD﹣4b+a）＝14b﹣4a，

若C₁与C₂始终相等，则14b﹣4a＝0，

∴2a﹣7b＝0．

【点评】此题考查了整式的混合运算和长方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

五．零指数幂（共4小题）

16．（应城市期末）2020⁰＝　1　．

【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案．

【解答】解：2020⁰＝1．

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．

17．（江北区期中）若（1﹣x）^2﹣3x＝1，则x＝　 或0或2　．

【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可．

【解答】解：∵（1﹣x）^2﹣3x＝1，

①当2﹣3x＝0，x＝ ；

②当1﹣x＝1，即x＝0时，2﹣3x＝2，1²＝1；

③当1﹣x＝﹣1，即x＝2时，2﹣3x＝﹣4，（﹣1 ）^﹣4＝1．

∴x＝ 或0或2．

故答案为 或0或2．

【点评】本题主要考查了零次幂以及负整数指数幂，熟记相关定义是解答本题的关键．

18．（七星关区期末）计算：（π﹣3.14）⁰＝　1　．

【分析】根据任何非0数的0次幂等于1解答．

【解答】解：（π﹣3.14）⁰＝1，故答案为1．

【点评】本题是考查含有零指数幂的运算，比较简单．

19．（安吉县期末）计算：（﹣2）³+（π﹣3）⁰．

【分析】先计算乘方和零指数幂，再计算加减可得．

【解答】解：原式＝﹣8+1＝﹣7．

【点评】本题主要考查零指数幂，解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则和零指数幂的规定：a⁰＝1（a≠0）．

六．负整数指数幂（共4小题）

20．（海曙区校级开学）计算：（﹣ ）^﹣1＝　 　．

【分析】根据负整数指数幂的定义解决此题．

【解答】解：（﹣ ）^﹣1＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂是解决本题的关键．

21．（奉贤区期末）计算（ ）^﹣2＝　 　．

【分析】根据负整数指数为正整数指数的倒数，可得答案．

【解答】解：原式＝（ ） ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数是解题关键．

22．（湖州）计算：2×2^﹣1＝　1　．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案．

【解答】解：2×2^﹣1＝2× ＝1．

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键．

23．（温岭市校级期中）计算：（1）

（2）（3x³y²z^﹣1）^﹣2•（5xy^﹣2z³）²．

【分析】（1）先根据有理数乘方的法则、负整数指数幂及0指数幂的计算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）根据负整数指数幂的计算法则进行计算即可．

【解答】解：（1）原式＝9﹣ + ﹣1

＝8；

（2）原式＝（ ）²

＝（ ）²

＝（ ）²

＝ ．

【点评】本题考查的是实数的运算，熟知有理数乘方的法则、负整数指数幂及0指数幂的计算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．

题组A 基础过关练

一．选择题（共9小题）

1．（南浔区二模）计算a⁸÷a⁴，正确的结果是（　　）

A．4 B．a⁴ C．a² D．4a

【分析】根据同底数幂的除法法则计算．

【解答】解：原式＝a^8﹣4＝a⁴．

故选：B．

【点评】本题考查幂的运算法则，正确运用同底数幂的除法法则是求解本题的关键．

2．（慈溪市期末）计算：3^﹣1＝（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．﹣

【分析】利用负整数指数幂：a^﹣p＝ （a≠0，p为正整数），进而得出答案．

【解答】解：3^﹣1＝ ＝ ．

故选：C．

【点评】此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握负整数指数幂的性质是解题关键．

3．（齐齐哈尔期末）已知m+n＝2，mn＝﹣2．则（1+m）（1+n）的值为（　　）

A．6 B．﹣2 C．0 D．1

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，

∴原式＝1+（m+n）+mn＝1+2﹣2＝1，

故选：D．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（苍南县一模）计算﹣2a⁴÷a，正确结果是（　　）

A．16a³ B．﹣16a³ C．﹣2a⁴ D．﹣2a³

【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算后即可确定正确的选项．

【解答】解：原式＝﹣2a^4﹣1＝﹣2a³，

故选：D．

【点评】考查了整式的除法，了解整式除法的运算法则是解答本题的关键，难度较小．

5．（下城区一模）下列计算结果是负数的是（　　）

A．2^﹣3 B．3^﹣2 C．（﹣2）³ D．（﹣3）²

【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、2^﹣3＝ ，故此选项不合题意；

B、3^﹣2＝ ，故此选项不合题意；

C、（﹣2）³＝﹣8，故此选项符合题意；

D、（﹣3）²＝9，故此选项不合题意；

故选：C．

【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．

6．（拱墅区校级期中）已知a＝2^﹣55，b＝3^﹣44，c＝4^﹣33，d＝5^﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（　　）

A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及负指数幂的性质、分数的性质统一各数指数，进而比较即可．

【解答】解：∵a＝2^﹣55＝（2^﹣5）¹¹＝ ，

b＝3^﹣44＝（3^﹣4）¹¹＝ ，

c＝4^﹣33＝（4^﹣3）¹¹＝ ，

d＝5^﹣22＝（5^﹣2）¹¹＝

∴b＜c＜a＜d．

故选：D．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及负指数幂的性质、分数的性质，正确将各数统一指数是解题关键．

7．（诸暨市期末）一质点P从距原点8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M₁处，第二次从M₁跳到OM₁的中点M₂处，第三次从点M₂跳到OM₂的中点M₃处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）

A．2^﹣2018 B．2^﹣2019 C．2^﹣2020 D．2^﹣2021

【分析】根据题意，得第一次跳动到OM的中点M₁处，即在离原点的 处，第二次从M₁点跳动到M₂处，即在离原点的8×（ ）²处，则跳动n次后，即跳到了离原点的8×（ ）ⁿ处，即可根据规律计算出M₂₀₂₁到原点O的距离．

【解答】解：由题意可得：OM＝8，

质点P从M点处向原点方向跳动，

第一次跳动到OM的中点M₁处，此时质点到原点O的距离为8× ＝4＝2²＝2^3﹣1，

第二次从M₁跳到OM₁的中点M₂处，此时质点到原点O的距离为8× × ＝8×（ ）²＝2＝2^3﹣2，

第三次从点M₂跳到OM₂的中点M₃处，此时质点到原点O的距离为8× × × ＝8×（ ）³＝1＝2⁰＝2^3﹣3，

..．

第n次从点M_n﹣1跳到OM_n﹣2的中点M_n处，此时质点到原点O的距离为8×（ ）ⁿ＝2^3﹣n，

∴第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为2^3﹣2021＝2^﹣2018，

故选：A．

【点评】本题主要考查负整数指数幂及数字的规律探索，这类题型在中考中经常出现．找出各个点跳动的规律并理解a^﹣p＝ （a≠0）是解题关键．

8．（城区期末）一个长方形的面积是15x³y⁵﹣10x⁴y⁴+20x³y²，一边长是5x³y²，则它的另一边长是（　　）

A．2y³﹣3xy²+4 B．3y³﹣2xy²+4 C．3y³+2xy²+4 D．2xy²﹣3y³+4

【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．

【解答】解：（15x³y⁵﹣10x⁴y⁴+20x³y²）÷（5x³y²）

＝15x³y⁵÷（5x³y²）﹣10x⁴y⁴÷（5x³y²）+20x³y²÷（5x³y²）

＝3y³﹣2xy²+4．

故选：B．

【点评】本题考查了整式的除法，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和整式的除法法则．

9．（宁波期末）已知长方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂．当S₂﹣S₁＝3b时，AB＝（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

【分析】利用面积的和差分别表示出S₁和S₂，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S₂﹣S₁＝3b，AD＝10，列出方程求得AB便可．

【解答】解：S₁＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），

S₂＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），

∴S₂﹣S₁＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）

＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）

＝b•AD﹣ab﹣b•AB+ab

＝b（AD﹣AB），

∵S₂﹣S₁＝3b，AD＝10，

∴b（10﹣AB）＝3b，

∴AB＝7．

故选：D．

【点评】本题考查了列代数式，正确表示出阴影部分面积是解题的关键．

二．填空题（共5小题）

10．（青山区期末）计算3⁰＝　1　．

【分析】根据零指数幂：a⁰＝1（a≠0）进行运算即可．

【解答】解：3⁰＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了零指数幂的运算，掌握零指数幂的运算法则是关键．

11．（巴南区期末）计算：（﹣2022）⁰+（ ）^﹣1＝　﹣1　．

【分析】化简零指数幂，负整数指数幂，然后再计算．

【解答】解：原式＝1﹣2

＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查负整数指数幂，零指数幂，理解a⁰＝1（a≠0），a^﹣p＝ 是解题关键．

12．（凉山州模拟）已知x²﹣4x﹣1＝0，则代数式（2x﹣3）²﹣（x+y）（x﹣y）﹣y²＝　12　．

【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，整理后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：∵x²﹣4x﹣1＝0，即x²﹣4x＝1，

∴原式＝4x²﹣12x+9﹣x²+y²﹣y²＝3x²﹣12x+9＝3（x²﹣4x）+9＝3+9＝12．

故答案为：12．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（桐柏县期末）已知x^m＝6，xⁿ＝3，则x^2m﹣n的值为　12　．

【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．

【解答】解：x^2m﹣n＝（x^m）²÷xⁿ＝36÷3＝12．

故答案为：12．

【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．

14．（拱墅区校级期中）若代数式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a²）的值与b的取值无关，则常数k的值　2　．

【分析】先根据单项式乘单项式、单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，继而根据代数式的值与b的取值无关知对应项的系数为0，据此求解即可．

【解答】解：原式＝5ka²b﹣3ab²﹣（3ka²b﹣4ka³﹣3ab²+4a²b）

＝5ka²b﹣3ab²﹣3ka²b+4ka³+3ab²﹣4a²b

＝2ka²b﹣4a²b+4ka³

＝（2k﹣4）a²b+4ka³，

根据题意知2k﹣4＝0，

∴k＝2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，解题的关键是掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式及合并同类项法则．

三．解答题（共4小题）

15．（鹤城区期末）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）+（x﹣2）²﹣4x（x﹣1），其中x＝2．

【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．

【解答】解：原式＝4x²﹣9+x²﹣4x+4﹣4x²+4x

＝x²﹣5，

当x＝2时，

原式＝4﹣5

＝﹣1．

【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

16．（紫阳县期末）先化简，再求值：（﹣x﹣2y）（2y﹣x）+（x+2y）²﹣x（2y﹣x），其中x＝﹣ ，y＝2．

【分析】直接利用整式的混合运算法则计算，进而把已知数据代入得出答案．

【解答】解：原式＝x²﹣4y²+x²+4xy+4y²﹣2xy+x²

＝3x²+2xy，

当 时，

原式＝3×（﹣ ）²+2×（﹣ ）×2

＝﹣ ．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

17．（永嘉县校级期中）当x＝ 时，求x（4x+3）﹣（2x+ ）（2x﹣ ）的值．

【分析】直接利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则计算，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案．

【解答】解：原式＝4x²+3x﹣（4x²﹣ ）

＝4x²+3x﹣4x²+

＝3x+ ，

当x＝ 时，

原式＝3× + ＝1．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18．（台州期末）计算：

（1）3^﹣2+12⁰；

（2） x²y³z÷（2xy）²．

【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝ +1

＝1 ；

（2）原式＝ x²y³z÷4x²y²

＝ yz．

【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

题组B 能力提升练

一．填空题（共7小题）

1．（贺兰县期中）如果x+y＝1，x²+y²＝3，那么x³+y³＝　4　．

【分析】根据立方和公式变形，再将已知条件整体代入即可．

【解答】解：∵x+y＝1，

∴（x+y）²＝1，即x²+2xy+y²＝1，

3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，

∴x³+y³＝（x+y）（x²﹣xy+y²）＝1×（3+1）＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了整式的混合运算，化简求值．关键是关键是利用立方和公式，完全平方公式将代数式变形，整体代入求值．

2．（单县期末）已知3^2m＝5，3²ⁿ＝10，则9^m﹣n+1的值是　 　．

【分析】先逆用幂的乘方法则，把3^2m、3²ⁿ转化为9^m、9ⁿ的形式，再逆用同底数幂的乘除法法则，把9^m﹣n+1转化为同底数幂的乘除法的形式后代入求值．

【解答】解：∵3^2m＝（3²）^m＝9^m＝5，3²ⁿ＝（3²）ⁿ＝9ⁿ＝10，

∴9^m﹣n+1＝9^m÷9ⁿ×9

＝5÷10×9

＝ ．

【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方法则及逆用是解决本题的关键．

3．（拱墅区校级期中）若（a﹣3）^a+1＝1，则a＝　﹣1或4　．

【分析】可以考虑三种情况：①零指数幂；②底数为1；③﹣1的偶数次方，分别解答即可．

【解答】解：当a+1＝0，a﹣3≠0时，a＝﹣1；

当a﹣3＝1时，a＝4；

当a﹣3＝﹣1时，a＝2，此时a+1＝3，不符合题意；

综上，a＝﹣1或4．

故答案为：﹣1或4．

【点评】本题考查零指数幂，有理数的乘方，体现分类讨论的数学思想，解题时注意不要漏解．

4．（奉化区校级期末）已知长方形的面积为4a²﹣9b²，其中长为2a+3b，则宽为　2a﹣3b　．

【分析】根据长方形的宽＝长方形的面积÷长方形的长列出算式，再进一步计算可得．

【解答】解：根据题意，知长方形的宽为（4a²﹣9b²）÷（2a+3b）＝[（2a+3b）（2a﹣3b）]÷（2a+3b）＝2a﹣3b，

故答案为：2a﹣3b．

【点评】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握整式除法的运算法则．

5．（五常市期末）计算：（16x³﹣8x²+4x）÷（﹣2x）＝　﹣8x²+4x﹣2　．

【分析】直接利用整式除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：（16x³﹣8x²+4x）÷（﹣2x）

＝﹣8x²+4x﹣2．

故答案为：﹣8x²+4x﹣2．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

6．（临河区期末）已知x^m＝3，yⁿ＝2，求（x^2myⁿ）^﹣1的值　 　．

【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．

【解答】解：x^﹣2m＝（x^m）^﹣2＝3^﹣2＝ ，

y^﹣n＝（yⁿ）^﹣1＝ ．

（x^2myⁿ）^﹣1＝x^﹣2my^﹣n＝ × ＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键．

7．（金堂县期末）已知m＝ ，n＝ ，那么2016^m﹣n＝　1　．

【分析】根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m＝n，再根据任何非零数的零次幂等于1解答．

【解答】解：∵m＝ ＝ ＝ ，

∴m＝n，

∴2016^m﹣n＝2016⁰＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m的分母并得到m＝n．

二．解答题（共12小题）

8．（长兴县月考）先化简，再求值：（x﹣3）（x+3）﹣（x﹣1）²，其中x＝ ．

【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（x﹣3）（x+3）﹣（x﹣1）²

＝x²﹣9﹣（x²﹣2x+1）

＝x²﹣9﹣x²+2x﹣1

＝2x﹣10，

当x＝ 时，原式＝2× ﹣10＝1﹣10＝﹣9．

【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

9．（义乌市模拟）先化简，再求值：（2x﹣y）²+ y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．

【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（2x﹣y）²+ y（3x﹣2y）

＝4x²﹣4xy+y²+1.5xy﹣y²

＝4x²﹣2.5xy，

当x＝1，y＝2时，原式＝4×1²﹣2.5×1×2＝﹣1．

【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

10．（诸暨市月考）（1）化简求值：已知（x﹣3）²+|x﹣2y+5|＝0，求代数式：﹣3x²y﹣2[3x²y﹣2（xy+x²y）]﹣3xy的值．

（2）关于x的代数式（3﹣ax）（x²+3x﹣1）的展开式中不含x²项，求a的值．

【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，求出x、y的值，再去小括号，去中括号，合并同类项，最后代入求出答案即可；

（2）先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项后即可得出3﹣3a＝0，再求出a的值即可．

【解答】解：（1）∵（x﹣3）²+|x﹣2y+5|＝0，

∴ ，

解得： ，

﹣3x²y﹣2[3x²y﹣2（xy+x²y）]﹣3xy

＝﹣3x²y﹣2[3x²y﹣2xy﹣2x²y]﹣3xy

＝﹣3x²y﹣6x²y+4xy+4x²y﹣3xy

＝﹣5x²y+xy，

当x＝3，y＝4时，原式＝﹣5×3²×4+3×4＝﹣168；

（2）（3﹣ax）（x²+3x﹣1）

＝3x²+9x﹣3﹣ax³﹣3ax²+ax

＝﹣ax³+（3﹣3a）x²+（9+a）x﹣3，

∵关于x的代数式（3﹣ax）（x²+3x﹣1）的展开式中不含x²项，

∴3﹣3a＝0，

解得：a＝1．

【点评】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，解二元一次方程组，整式的混合运算与求值等知识点，主要培养了学生运用整式的运算法则进行化简的能力．

11．（西湖区校级期中）（1）已知m，n是系数，且mx²﹣2xy+y与3x²+2nxy+3y的差中不含二次项，求m²+2mn+n²的值．

（2）设b＝2am，是否存在实数m使得（a+2b）²+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a²，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）先列出算式，再化简，根据已知条件得出m﹣3＝0，﹣2﹣2n＝0，求出m、n的值，最后求出答案即可；

（2）先算乘法，再合并同类项，最后得出5﹣4m²＝1，求出m即可．

【解答】解：（1）（mx²﹣2xy+y）﹣（3x²+2nxy+3y）

＝mx²﹣2xy+y﹣3x²﹣2nxy﹣3y

＝（m﹣3）x²+（﹣2﹣2n）xy﹣2y，

∵mx²﹣2xy+y与3x²+2nxy+3y的差中不含二次项，

∴m﹣3＝0，﹣2﹣2n＝0，

解得：m＝3，n＝﹣1，

∴m²+2mn+n²＝（m+n）²＝（3﹣1）²＝4；

（2）∵b＝2am，

∴（a+2b）²+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）

＝a²+4ab+4b²+4a²﹣b²﹣4ab﹣4b²

＝5a²﹣b²

＝5a²﹣（2am）²

＝（5﹣4m²）a²，

当5﹣4m²＝1时，m＝±1，

所以存在实数m，使得（a+2b）²+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a²，此时m＝±1．

【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

12．（婺城区校级期中）（1）已知4^m＝a，8ⁿ＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：

①求：2^2m+3n的值

②求：2^4m﹣6n的值

（2）已知2×8^x×16＝2²³，求x的值．

【分析】（1）分别将4^m，8ⁿ化为底数为2的形式，然后代入①②求解；

（2）将8^x化为2^3x，将16化为2⁴，列出方程求出x的值．

【解答】解：（1）∵4^m＝a，8ⁿ＝b，

∴2^2m＝a，2³ⁿ＝b，

①2^2m+3n＝2^2m•2³ⁿ＝ab；

②2^4m﹣6n＝2^4m÷2⁶ⁿ＝（2^2m）²÷（2³ⁿ）²＝ ；

（2）∵2×8^x×16＝2²³，

∴2×（2³）^x×2⁴＝2²³，

∴2×2^3x×2⁴＝2²³，

∴1+3x+4＝23，

解得：x＝6．

【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．

13．（江干区期末）某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为a米的两条小路，其余部分修建花圃．

（1）用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简；

（2）记长方形空地的面积为S₁，花圃的面积为S₂，若5S₂﹣3S₁＝10a²，求 的值．

【分析】（1）把两条小路平移使花圃的面积变为一个长方形的面积，所以花圃的面积＝（2a+b﹣a）（3a+b﹣a），然后利用展开公式展开合并即可；

（2）利用5S₂﹣3S₁＝10a²得到b＝3a，则用a表示S₁、S₂，然后计算它们的比值．

【解答】解：（1）平移后图形为：（四边形ABCD为花圃的面积），

所以花圃的面积＝（2a+b﹣a）（3a+b﹣a）

＝（a+b）（2a+b）

＝2a²+ab+2ab+b²

＝2a²+3ab+b²；

（2）S₁＝（2a+b）（3a+b）＝6a²+5ab+b²，

S₂＝2a²+3ab+b²；

∵5S₂﹣3S₁＝10a²，

∴5（2a²+3ab+b²）﹣3（6a²+5ab+b²）＝10a²，

∴b²＝9a²，

∴b＝3a（负值舍去），

∴S₁＝6a²+15a²+9a²＝30a²，S₂＝2a²+9a²+9a²＝20a²，

∴ ＝ ＝ ．

【点评】本题考查了整式的乘法和生活中的平移现象：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了整式的混合运算．

14．（宝鸡期末）定义一种新运算：观察下列各式：

1⊙3＝1×4+3＝7，

3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11，

5⊙4＝5×4+4＝24，

4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．

（1）请你想一想：a⊙b＝　4a+b　；

（2）若a≠b，那么a⊙b　≠　b⊙a（填“＝”或“≠”）；

（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝﹣1，b＝2．

【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出a⊙b的结果；

（2）根据（1）中的结果，可以计算出a⊙b和b⊙a的差，然后看是否等于0，即可解答本题；

（3）根据（1）中的结果，可以将所求式子化简，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1）由题意可得，

a⊙b＝4a+b，

故答案为：4a+b；

（2）由题意可得，

a⊙b﹣b⊙a

＝（4a+b）﹣（4b+a）

＝4a+b﹣4b﹣a

＝3（a﹣b），

∵a≠b，

∴3（a﹣b）≠0，

∴a⊙b≠b⊙a，

故答案为：≠；

（3）由题意可得，

（a﹣b）⊙（2a+b）

＝4（a﹣b）+（2a+b）

＝4a﹣4b+2a+b

＝6a﹣3b，

当a＝﹣1，b＝2时，原式＝6×（﹣1）﹣3×2＝﹣6﹣6＝﹣12．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．

15．（莲池区一模）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 ＝ad﹣bc．例如： ＝1×4﹣2×3＝﹣2，

（1）按照这个规定，请你计算 的值；

（2）按照这个规定，请你计算：当x²﹣4x+4＝0时， 的值．

【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）原式利用题中的新定义化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝40﹣42＝﹣2；

（2）∵x²﹣4x+4＝0，即（x﹣2）²＝0，

∴x₁＝x₂＝2，

则原式＝（x+1）（2x﹣3）﹣2x（x﹣1）＝2x²﹣3x+2x﹣3﹣2x²+2x＝x﹣3＝﹣1．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（杭州期中）先化简再求值：

（1）已知a²﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）²﹣3a（2a﹣1）+5的值；

（2）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m²n﹣6m²n²﹣3m²）÷（﹣3m²）的值．

【分析】（1）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a²﹣3a+1＝0，即a²﹣3a＝﹣1整体代入计算可得；

（2）先根据多项式除以单项式的法则计算原式，再将n的值代入计算可得．

【解答】解：（1）原式＝9a²﹣12a+4﹣6a²+3a+5

＝3a²﹣9a+9，

当a²﹣3a+1＝0，即a²﹣3a＝﹣1时，

原式＝3（a²﹣3a）+9

＝3×（﹣1）+9

＝﹣3+9

＝6；

（2）原式＝﹣2n+2n²+1，

当n＝﹣2时，

原式＝﹣2×（﹣2）+2×（﹣2）²+1

＝4+8+1

＝13．

【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．

17．（衢州期中）黄老师在黑板上布置了一道题，小亮和小新展开了下面的讨论：

根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？

【分析】本题先根据整式的乘法进行展开，再根据整式的加减法进行化简，化简结果为﹣4x²，化简后的式子中不含字母y，因此本题小新说的对．

【解答】解：本题小新说的对，理由如下：

∵原式＝4x²﹣y²+2xy﹣8x²﹣y²+4xy+2y²﹣6xy，

＝﹣4x²，

∴原式的值与y无关．

∴本题小新说的对．

【点评】本题考查整式的混合运算法则、乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，属于中考常考题型．

18．（高新区期中）阅读材料：

求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：设S＝1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘2，

得2S＝2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴．

将下式减去上式，得2S﹣S＝2²⁰¹⁴一1

即S＝2²⁰¹⁴一1，

即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³＝2²⁰¹⁴一1

仿照此法计算：

（1）1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰

（2）1+ +…+ ．

【分析】（1）设S＝1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，两边乘以3得出3S＝3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，将下式减去上式即可得出答案；

（2）设S＝1+ + + +…+ ，两边乘以 得出 S＝ + +…+ ，将下式减去上式即可得出答案．

【解答】解：（1）设S＝1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，

两边乘以3得：3S＝3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，

将下式减去上式，得3S﹣S＝3¹⁰¹﹣1

即S＝ ，

即1+3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰⁰＝

（2）设S＝1+ + + +…+ ，

两边乘以 得： S＝ + +…+ ，

将下式减去上式得：﹣ S＝ ﹣1，

解得：S＝2﹣ ，

即1+ + + +…+ ＝2﹣ ．

【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要培养学生的理解能力．

19．（白云区期末）先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）

问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.1468²

小亮的解答如下：

解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7

原式＝（a+3）（a+7）﹣a²

＝a²+10a+21﹣a²

＝10a+21

把a＝0.1468代入

原式＝10×0.1468+21＝22.468

∴3.1468×7.1468﹣0.1468²＝22.468

问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．

【分析】首先设67897＝a，则67898＝a+1，67896＝a﹣1，67899＝a+2，则67897×67898﹣67896×67899＝a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2），然后按照整式的混合运算顺序解答即可．

【解答】解：设67897＝a，则67898＝a+1，67896＝a﹣1，67899＝a+2，

则67897×67898﹣67896×67899

＝a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）

＝（a²+a）﹣（a²+a﹣2）

＝a²+a﹣a²﹣a+2

＝2．

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．