【324415】2024春七年级数学下册 第05讲二元一次方程（组）及其解法（核心考点讲与练）(含解析

第05讲二元一次方程（组）及其解法（核心考点讲与练）

一．二元一次方程的定义

（1）二元一次方程的定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．

（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．

二．二元一次方程的解

（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．

（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．

三．解二元一次方程

二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．

四．二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

五．解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．

一．二元一次方程的定义（共2小题）

1．（上城区期末）下列各式是二元一次方程的是（　　）

A．2x²+y＝0 B． C．x﹣y D．

【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．

【解答】解：A．该方程是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A选项不合题意；

B．是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即B选项不合题意；

C．不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C选项不合题意；

D．符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即D选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解决本题的关键是注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．

2．（文山市期末）若3x^2m﹣3﹣y^2n﹣1＝5是二元一次方程，则m＝　2　，n＝　1　．

【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．

【解答】解：∵3x^2m﹣3﹣y^2n﹣1＝5是二元一次方程，

∴2m﹣3＝1，2n﹣1＝1，

解得：m＝2，n＝1，

故答案为：2；1

【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．

二．二元一次方程的解（共6小题）

3．（嘉兴）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解　 （答案不唯一）　．

【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．

【解答】解：x+3y＝14，

x＝14﹣3y，

当y＝1时，x＝11，

则方程的一组整数解为 ．

故答案为： （答案不唯一）．

【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

4．（上虞区期末）二元一次方程2x+y＝7中，若x＝2，则y的值是（　　）

A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11

【分析】根据方程的解的定义解决此题．

【解答】解：当x＝2时，2×2+y＝7．

∴y＝3．

故选：A．

【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解决本题的关键．

5．（丽水月考）若 是二元一次方程2x+y＝0的一个解（a≠0），则下列结论错误的是（　　）

A．a，b异号

B． ＝﹣2

C．2﹣6a﹣3b＝2

D．满足条件的数对（a，b）有无数对

【分析】将 代入二元一次方程2x+y＝0，得到关于ab的关系式，然后对每个选项做出判断即可得出符合题意的选项．

【解答】解：将 代入二元一次方程2x+y＝0得：2a+b＝0．

∴b＝﹣2a．

∵a≠0，

∴a，b异号．

∴A选项不符合题意；

∵b＝﹣2a，

∴ ．

∴B选项符合题意；

∵2﹣6a﹣3b＝2﹣3（2a+b）＝2﹣0＝2，

∴C选项不符合题意；

∵方程2a+b＝0有无数组解，

∴满足条件的数对（a，b）有无数对．

∴D选项不符合题意．

∴错误的结论是：B．

故选：B．

【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，求代数式的值，有理数的混合运算．将方程的解代入原方程是解题的关键．

6．（江北区期末）已知 是方程3x+by＝8的解．当a＝2时，请分别求出b和9a²+6ab+b²+1的值．

【分析】将a＝2代入方程即可求出b值，把代数式9a²+6ab+b²+1变形为（3a+b）²+1，然后计算．

【解答】解：把x＝a，y＝1代入方程3x+by＝8，得3a+b＝8，

∵a＝2，

∴b＝2；

∵3a+b＝8，

∴9a²+6ab+b²+1

＝（3a+b）²+1

＝8²+1

＝65．

【点评】本题主要考查公式法分解因式，把（3a+b）作为一个整体是解题的关键，而9a²+6ab+b²+1也需要运用公式变形以便计算．

7．（长兴县月考）已知二元一次方程3x+2y＝19．

（1）用关于x的代数式表示y；

（2）写出此方程的正整数解．

【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得；

（2）取x＝1，3，5分别得到y的值即可．

【解答】解：（1）∵3x+2y＝19，

∴2y＝19﹣3x，

∴y＝ ，

（2）当x＝1时，y＝8；

当x＝3时，y＝5；

当x＝5时，y＝2

∴正整数解为 ， ， ．

【点评】此题考查的是二元一次方程的解，能够让一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键．

8．（南浔区期末）定义一种新的运算：a☆b＝2a﹣b，例如：3☆（﹣1）＝2×3﹣（﹣1）＝7．

若a☆b＝0，且关于x，y的二元一次方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为　 　．

【分析】根据“a☆b＝2a﹣b，a☆b＝0”得到b＝2a，代入方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0得到（x﹣2y﹣1）a＝﹣3﹣x，根据“当a，b取不同值时，方程都有一个公共解”，得到关于x、y的方程组，解之即可．

【解答】解：∵a☆b＝2a﹣b，a☆b＝0，

∴2a﹣b＝0，即b＝2a，

则方程（a+1）x﹣by﹣a+3＝0可转化为（a+1）x﹣2ay﹣a+3＝0，

则（x﹣2y﹣1）a＝﹣3﹣x，

∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，

∴ ，

解得 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了新定义和二元一次方程的解，解题的关键是得到关于x、y的方程组．

三．解二元一次方程（共3小题）

9．（路北区期末）已知二元一次方程4x+5y＝5，用含x的代数式表示y，则可表示为（　　）

A．y＝﹣ x+1 B．y＝﹣ x﹣1 C．y＝ x+1 D．y＝ x﹣1

【分析】根据等式的性质，等式两边减去﹣4x，得5y＝5﹣4x．等式两边同时除以5，得y＝1﹣ ，即y＝ ，故选A．

【解答】解：∵4x+5y＝5，

∴5y＝5﹣4x．

∴y＝ ．

∴y＝1﹣ ．

即y＝ ．

故选：A．

【点评】本题主要考查利用等式的性质对等式进行变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．

10．（白银期末）已知2x﹣3y＝1，用含x的代数式表示y，则y＝　 x 　．

【分析】首先移项、然后系数化1，继而可求得答案．

【解答】解：∵2x﹣3y＝1，

∴3y＝2x﹣1，

解得：y＝ x﹣ ．

故答案为： x﹣ ．

【点评】此题考查了二元一次方程的知识．此题比较简单，注意掌握解方程的步骤．

11．（宁波期末）已知等式：① ＝ ；②2x＝5y﹣x；③3x﹣5y＝0；④ ＝ ，其中可以通过适当变形得到3x＝5y的等式是　②③④　．（填序号）

【分析】对每一个等式进行变形可得：①方程两边同时乘15，得5x＝3y；②移项、合并同类项得，3x＝5y；③移项，得3x＝5y；④先去分母，再移项、合并同类项得，3x＝5y．

【解答】解：① ＝ ，

方程两边同时乘15，得5x＝3y，不符合题意；

②2x＝5y﹣x，

移项、合并同类项得，3x＝5y，符合题意；

③3x﹣5y＝0，

移项，得3x＝5y，符合题意；

④ ＝ ，

方程两边同时乘以3y，得3x﹣3y＝2y，

移项、合并同类项得，3x＝5y，符合题意；

故答案为：②③④．

【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质，灵活对等式进行变形是解题的关键．

四．二元一次方程组的解（共8小题）

12．（长兴县月考）若 是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．

【解答】解：A、x＝2，y＝﹣1不是方程x+3y＝5的解，故该选项不合题意；

B、x＝2，y＝﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意．

C、x＝2，y＝﹣1不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意；

D、x＝2，y＝﹣1适合方程组中的每一个方程，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】此题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．

13．（南浔区期末）已知 是二元一次方程组 的解，则a﹣3b的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

【分析】把 代入方程组 得到关于a、b的方程组，再将两个方程相减即可得到a﹣3b的值．

【解答】解：把 代入方程组 可得：

，

①﹣②得a﹣3b＝﹣2．

故选：A．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解题的关键．

14．（上城区期末）已知方程组 ，下列说法正确的有（　　）个

①a²+b²＝12；②（a﹣b）²＝8；③ ；④ ．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据完全平方公式进行变形，利用整体代入思想即可进行计算．

【解答】解：因为方程组 ，

①a²+b²＝（a+b）²﹣2ab＝4²﹣4＝12，故①正确；

②（a﹣b）²＝（a+b）²﹣4ab＝4²﹣8＝8，故②正确；

③ + ＝ ＝ ＝2，故③正确；

④ + ＝ ＝ ＝6，故④正确．

故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是利用完全平方公式进行变形．

15．（嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，则k的值为　1　．

【分析】将方程组中两个方程相加得，2x＝14k，相减得2y＝4k，再由2x+y＝16，即可求k．

【解答】解： ，

①+②得，2x＝14k，

①﹣②得，2y＝4k，

∴y＝2k，

∵2x+y＝16，

∴16k＝16，

∴k＝1，

故答案为1．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，通过观察方程之间的关系，灵活处理方程组是解题的关键．

16．（萧山区期末）若 是方程组 的解，则a与c的关系是　9a﹣4c＝23　．

【分析】将x、y的值代入方程组得到 ，然后计算①×3﹣②×2即可得出答案．

【解答】解：根据题意知 ，

①×3﹣②×2，得：9a﹣4c＝23，

故答案为：9a﹣4c＝23．

【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

17．（饶平县校级期末）已知 的解是 ，求 的解为　 　．

【分析】把x＝3，y＝4代入第一个方程组，可得关于a₁，b₁方程组，两方程同时乘5可得出 ，

再结合第二个方程组即可得出结论．

【解答】解：把 代入方程组得： ，

方程同时×5，得： ，

∴方程组 的解为 ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，发现两方程组之间互相联系是解题的关键．

18．（下城区期中）已知关于x，y的方程组 ，则下列结论中正确的是　②③⑤　．

①当a＝1时，方程组的解是 ；

②当x，y的值互为相反数时，a＝20；

③若z＝（x﹣20）y，则z存在最小值为﹣25；

④若2^2a﹣3y＝2⁷，则a＝2；

⑤不存在一个实数a使得x＝y．

【分析】先解方程组，用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件分别代入求解．

【解答】解： ，

①﹣②×3得：y＝15﹣a③，

把③代入②得：x＝25﹣a．

①a＝1时，x＝24，不符合题意．

②x，y的值互为相反数时15﹣a+25﹣a＝0，解得a＝20，符合题意．

③z＝（x﹣20）y＝（25﹣a﹣20）（15﹣a）＝a²﹣20a+75＝（a﹣10）²﹣25，

当a＝10时z有最小值﹣25，符合题意．

④若2^2a﹣3y＝2⁷，则2a﹣3y＝7，即2a﹣3（15﹣a）＝7，解得a＝ ，不符题意．

⑤解方程15﹣a＝25﹣a，无解，符合题意．

故答案为：②③⑤．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的计算方法．

19．（萧山区校级期中）已知关于x，y的方程组 与 有相同的解，求（a+b）²⁰²⁰的值．

【分析】把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可．

【解答】解：联立 ，

解得： ，

把x，y的值代入其余的两个方程得： ，

解得： ，

则原式＝（1﹣2）²⁰²⁰＝（﹣1）²⁰²⁰＝1．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键．

五．解二元一次方程组（共12小题）

20．（嘉兴期末）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中能消元的是（　　）

A．①×2+② B．①×2﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）﹣②

【分析】根据①×2+②得出5x﹣4y＝23，即可判断A；根据①×2﹣②得出﹣x＝5，即可判断B；根据①×3+②得出6x﹣5y＝30，即可判断C；根据①×（﹣3）﹣②得出﹣6x﹣y＝﹣3，即可判断D．

【解答】解：A． ，

①×2+②，得5x﹣4y＝23，不能消元，故本选项不符合题意；

B． ，

①×2﹣②，得﹣x＝5，能消元，故本选项符合题意；

C． ，

①×3+②，得6x﹣5y＝30，不能消元，故本选项不符合题意；

D． ，

①×（﹣3）﹣②，得﹣6x﹣y＝﹣30，不能消元，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

21．（奉化区校级期末）已知关于x、y的方程组 的解是 ，则关于x、y的方程组 的解是（　　）

A． B． C． D．

【分析】仿照已知方程组的解，确定出所求方程组的解即可．

【解答】解：∵关于x、y的方程组 的解是 ，

∴关于x、y的方程组 ，即 的解为 ，即 ，

故选：B．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

22．（柯城区校级模拟）若a+2b＝5，3a+4b＝13，则a+b的值为　4　．

【分析】先得出方程组，①×2﹣②得出﹣a＝﹣3，求出a，再把a＝3代入①求出b即可．

【解答】解：根据题意得： ，

①×2﹣②，得﹣a＝﹣3，

解得：a＝3，

把a＝3代入①，得3+2b＝5，

解得：b＝1，

所以a+b＝3+1＝4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

23．（拱墅区校级期中）在关于x、y的方程组 中，未知数满足x、y＞0，那么m的取值范围是　﹣ ＜m＜ 　．

【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，根据x与y大于0，求出m的范围即可．

【解答】解： ，

①×2﹣②得：3x＝9m+6，

解得：x＝3m+2，

把x＝3m+2代入②得：3m+2+2y＝8﹣m，

解得：y＝3﹣2m，

∵x＞0，y＞0，

∴ ，

解得：﹣ ＜m＜ ．

故答案为：﹣ ＜m＜ ．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

24．（2021•海曙区模拟）已知方程组 ，则y的值为　﹣1　．

【分析】应用加减消元法，求出y的值是多少即可．

【解答】解： ，

①﹣②，可得2y＝﹣2，

解得y＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．

25．（萧山区模拟）设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝　6　．

【分析】根据题意得到关于x、y的方程组，利用加减消元法求得方程组的解，即可求得P的值，

【解答】解：由题意得 ，

①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，

①﹣③×2得﹣y＝3，

解得y＝﹣3，

把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，

∴P＝xy＝﹣2×（﹣3）＝6，

故答案为6．

【点评】本题考查了解一元二次方程组，解方程组的方法有加减消元法和代入消元法．

26．（上虞区期末）解二元一次方程组 时，为快速求出未知数y的值，宜采用　加减　法消元．

【分析】要求出y的值，观察得两方程中x系数相等，故相减即可求出．

【解答】解：解二元一次方程组 时，为快速求出未知数y的值，宜采用加减法消元．

故答案为：加减．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

27．（浦江县期末）解方程组：（1） ；

（2） ．

【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．

（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．

【解答】解：（1） ，

由①，可得：x＝0.6y③，

③代入②，可得：0.6y﹣y＝4，

解得y＝﹣10，

把y＝﹣10代入③，解得x＝﹣6，

∴原方程组的解是 ．

（2） ，

①﹣②×7，可得﹣19m＝19，

解得m＝﹣1，

把m＝﹣1代入①，解得n＝1，

∴原方程组的解是 ．

【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．

28．（永嘉县校级期末）解下列方程组：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）把①代入②，用代入消元法解即可；

（2）先将原方程组化简，再用加减消元法解即可．

【解答】解：（1） ，

把①代入②得：3x﹣8（3﹣x）＝9，

∴x＝3，

把x＝3代入①得：y＝0，

∴原方程组的解为 ；

（2）原方程组化简为 ，

②﹣①得：2x＝4，

∴x＝2，

把x＝2代入①得：y＝﹣ ，

∴原方程组的解为 ．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程是解题的关键．

29．（嘉兴二模）解方程组： ．

小海同学的解题过程如下：

判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．

【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可．

【解答】解：错误的是（1），（2），（3），

正确的解答过程：

由②得：y＝5﹣x③

把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，

解得： ，

把 代入③得： ，

∴此方程组的解为 ．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．

30．（太康县期末）解下列方程（组）：

（1） ﹣ ＝4；

（2） ．

【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：（1）方程整理得：5x+5﹣2x+2＝4，

移项合并得：3x＝﹣3，

解得：x＝﹣1；

（2）方程组整理得： ，

把①代入②得：﹣7y+3y＝﹣4，

解得：y＝1，

把y＝1代入①得：x＝7，

则方程组的解为 ．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

31．（奉化区校级期末）已知关于x，y的二元一次方程组 （a为实数）

（1）若方程组的解始终满足y＝a+1，求a的值；

（2）已知方程组的解也是方程bx+3y＝1（b为实数，b≠0且b≠﹣6）的解

①探究实数a，b满足的关系式；

②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．

【分析】（1）方程组消去x表示出y，代入y＝2a﹣1中计算即可求出a的值；

（2）①表示出方程组的解，代入bx+3y＝1中计算即可求出a与b的关系式；

②由a与b的关系式表示出b，根据a，b为整数确定出b的最大值与最小值即可．

【解答】解：（1） ，

②﹣①得：3y＝6a﹣3，即y＝2a﹣1，

把y＝2a﹣1代入y＝a+1中得：2a﹣1＝a+1，

解得：a＝2；

（2）①把y＝2a﹣1代入方程组第一个方程得：x＝a+2，

方程组的解为 ，

代入bx+3y＝1得：ab+2b+6a﹣3＝1，即ab+6a+2b＝4；

②由ab+6a+2b＝4，得到b＝ ＝ ＝ ＝ ﹣6，

∵a，b都是整数，

∴a+2＝±1，±2，±4，±8，±16，

当a+2＝1，即a＝﹣1时，b取得最大值10；当a+2＝﹣1，即a＝﹣3时，b取得最小值﹣22．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

题组A 基础过关练

一．选择题（共8小题）

1．（萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2x﹣y＝6的解的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．

【解答】解：A．把 代入方程2x﹣y＝6得：左边＝2﹣4＝﹣2，右边＝6，

∵左边≠右边，

∴不是方程的解，不符合题意；

B．把 代入方程2x﹣y＝6得：左边＝8﹣2＝6，右边＝6，

∵左边＝右边，

∴是方程的解，符合题意；

C．把 代入方程2x﹣y＝6得：左边＝4﹣4＝0，右边＝6，

∵左边≠右边，

∴不是方程的解，不符合题意；

D．把 代入方程2x﹣y＝6得：左边＝4﹣3＝1，右边＝6，

∵左边≠右边，

∴不是方程的解，不符合题意；

故选：B．

【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

2．（来凤县期末）已知关于x，y的方程组 和 的解相同，则（a+b）²⁰²¹的值为（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．2021

【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．

【解答】解：联立得： ，

①×5+②×3得：29x＝58，

解得：x＝2，

把x＝2代入①得：y＝1，

代入得： ，

解得： ，

则原式＝（﹣2+2）²⁰²¹＝0．

故选：A．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

3．（镇海区期中）|x+2y﹣3|+|x﹣y+3|＝0，则x^y的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．2

【分析】根据绝对值的非负性得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可．

【解答】解：∵|x+2y﹣3|+|x﹣y+3|＝0

∴x+2y﹣3＝0且x﹣y+3＝0，

即 ，

①﹣②，得3y＝6，

解得：y＝2，

把y＝2代入②，得x﹣2＝﹣3，

解得：x＝﹣1，

∴x^y＝（﹣1）²＝1，

故选：B．

【点评】本题考查了绝对值的非负性和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

4．（黄石期末）二元一次方程组 的解为（　　）

A． B． C． D．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：方程组整理得： ，

①+②得：3x＝﹣9，

解得：x＝﹣3，

把x＝﹣3代入①得：y＝﹣2，

则方程组的解为 ．

故选：A．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

5．（潢川县期末）由方程组 可得x与y的关系式是（　　）

A．3x＝7+3m B．5x﹣2y＝10 C．﹣3x+6y＝2 D．3x﹣6y＝2

【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．

【解答】解： ，

①×2﹣②得：3x﹣6y＝2，

故选：D．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

6．（奉化区校级期末）用加减法解方程组 时，方程①+②得（　　）

A．2y＝2 B．3x＝6 C．x﹣2y＝﹣2 D．x+y＝6

【分析】方程组两方程相加消去y得到结果，即可作出判断．

【解答】解：用加减法解方程组 时，

方程①+②得：3x＝6．

故选：B．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

7．（西湖区校级三模）解方程组 加减消元法消元后，正确的方程为（　　）

A．6x﹣y＝4 B．3y＝2 C．﹣3y＝2 D．﹣y＝2

【分析】方程组中两方程相减即可得到结果．

【解答】解： ，

②﹣①得：3y＝2．

故选：B．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．（西湖区校级期末）若 是 的解，则有（　　）

A．4b﹣9a＝7 B．9a+4b+7＝0 C．3a+2b＝1 D．4b﹣9a+7＝0

【分析】先把解代入方程组，再消去字母c即得结论．

【解答】解：把方程的解代入方程组，得 ，

①×3+②×2，得﹣9a﹣4b＝7．

∴9a+4b+7＝0．

故选：B．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解方程组的解是解决本题的关键．

二．填空题（共6小题）

9．（鹿城区校级期中）已知y﹣2x＝6，用含x的代数式表示y，则y＝　2x+6　．

【分析】把x看做已知数求出y即可．

【解答】解：方程y﹣2x＝6，

解得：y＝2x+6．

故答案为：2x+6．

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．

10．（丽水月考）若（m﹣2）x﹣2y^|m﹣1|＝3是关于x，y的二元一次方程，则m＝　0　．

【分析】直接根据二元一次方程的定义解答即可．

【解答】解：根据题意，得

m﹣2≠0，|m﹣1|＝1，

解得：m＝0．

故答案为：0．

【点评】此题考查的是二元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题关键．

11．（奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组 的解互为相反数，则常数a的值为　15　．

【分析】②﹣①求出2x+2y＝a﹣15，根据已知得出a﹣15＝0，求出即可．

【解答】解：

∵②﹣①得：2x+2y＝a﹣15，

∵关于x，y的方程组 的解互为相反数，

∴x+y＝0，即2x+2y＝0，

∴a﹣15＝0，

∴a＝15，

故答案为15．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，关键是能得出关于a的方程．

12．（奉化区校级期末）已知 （m为常数），则x﹣y＝　﹣ 　．

【分析】把两个式子的左右两边分别相加，求出x﹣y的值是多少即可．

【解答】解：

①+②，可得2x﹣2y＝﹣1，

∴x﹣y＝﹣ ．

故答案为：﹣ ．

【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．

13．（涟水县期末）已知二元一次方程组 ，则2a+4b＝　6　．

【分析】将两方程相减即可得．

【解答】解： ，

①﹣②，得：2a+4b＝6，

故答案为：6．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

14．（乐清市期末）已知方程组 的解是方程x﹣2y＝5的一个解，则a的值为　3　．

【分析】根据“方程组 的解是方程x﹣2y＝5的一个解”可得 ，求出x，y的值，再代入3x+ay＝﹣3中，即可求出a的值．

【解答】解：由题可知：

，

解得 ，

把 代入3x+ay＝﹣3得：

3×1﹣2a＝﹣3，

解得a＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查二元一次方程组的解，能求出x、y的值是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

15．（下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．

（1）当 时，求c的值．

（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．

（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．

【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ；

（2）当a＝ 时，方程为 + y＝ ，即x+3y＝5，根据方程即可求得；

（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 ．

【解答】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．

∴c＝a+2，

由题意，得3a+a+1＝a+2，

解得a＝ ，

∴c＝a+2＝ ；

（2）当a＝ 时， + y＝ ，

化简得，x+3y＝5，

∴符合题意的整数解是： ， ， ；

（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，

整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，

∵x、y均为正整数，

∴x+y﹣1是正整数，

∵a是正整数，

∴2﹣y是正整数，

∴y＝1，

把y＝1代入①得，ax＝1，

∴a＝1，

此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 ．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．

16．（兰州期末）若关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解．

（1）求这个相同的解；

（2）求m﹣n的值．

【分析】（1）根据题意列不含m、n的方程组求解即可；

（2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含m、n的方程中求得m、n的值即可．

【解答】解：（1）∵关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解，

∴

解得

∴这个相同的解为

（2）∵关于x，y的二元一次方程组 与方程组 有相同的解 ，

∴

解得

∴m﹣n＝3﹣2＝1．

答：m﹣n的值为1．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．

17．（德清县校级模拟）解方程组： ．

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解： ，

①+②得：6x＝12，

解得：x＝2，

把x＝2代入①得：2﹣y＝1，

解得：y＝1，

则方程组的解为 ．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

18．（镇海区期中）解下列方程组：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）把①代入②得出5x+2x﹣3＝11，求出x，把x＝2代入①求出y即可；

（2）①+②得出3x＝7，求出x，把x＝ 代入①求出y即可．

【解答】解：（1） ，

把①代入②，得5x+2x﹣3＝11，

解得：x＝2，

把x＝2代入①，得y＝4﹣3＝1，

所以方程组的解是： ；

（2）整理得： ，

①+②，得3x＝7，

解得：x＝ ，

把x＝ 代入①，得 +5y＝0，

解得：y＝﹣ ，

所以方程组的解是： ．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

19．（西湖区期末）已知 是方程3x+by＝ 的解．

（1）当a＝2 时，求b的值．

（2）求9a²+6ab+b²+1的值．

【分析】（1）根据方程解的定义，把 和a＝2 代入方程3x+by＝ ，即可得出b的值；

（2）把3a+b作为整体，代入9a²+6ab+b²+1＝（3a+b）²+1，求值即可．

【解答】解：（1）∵ 是方程3x+by＝ 的解，

∴3a+b＝ ，

∵a＝2 ，

∴b＝﹣5 ；

（2）∵3a+b＝ ，

∴9a²+6ab+b²+1

＝（3a+b）²+1

＝5+1

＝6．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，把3a+b作为整体，是数学中常用的整体思想．

20．（拱墅区校级期中）已知关于x，y的方程组 ，以下结论：

①k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；

②论k取什么实数，x+3y的值始终不变；

③若z＝﹣ xy，则z的最小值为﹣ ；

请判断以上结论是否正确，并说明理由．

【分析】①利用消元法解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程x﹣2y＝﹣4即可求解；

②利用消元法解二元一次方程组，将用含k的式子表示出的方程组的解代入x+3y，即可得结论；

③把z＝﹣ xy配方成2（k﹣ ）²﹣ 即可得结论．

【解答】解：结论正确，理由如下：

①当k＝0时，方程组为 ，

解这个方程组，得 ，

把x＝﹣2，y＝1代入x﹣2y＝﹣4中，使方程左右两边相等，

所以当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；

②解方程组 得 ，

∴x+3y＝3k﹣2+3（﹣k+1）

＝3k﹣2﹣3k+3

＝1，

所以不论k取什么实数，x+3y的值始终不变．

③z＝﹣ xy＝﹣ （3k﹣2）（﹣k+1）

＝2k²﹣ k+

＝2（k﹣ ）²﹣ ，

∴当k＝ 时，z有最小值为﹣ ．

【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是用字母正确表示方程组的解．

题组B 能力提升练

一．选择题（共2小题）

1．（诸暨市月考）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝2，则m的值为（　　）

A．3 B．2 C．﹣3 D．0

【分析】先求出只含x，y的方程组的解，再将解代入3x+my＝6求解．

【解答】解：联立方程 ，

①+②得2x＝6，

解得x＝3，

将x＝3代入②得3﹣y＝2，

解得y＝1，

∴方程组的解为 ，

将 代入3x+my＝6得9+m＝6，

解得m＝﹣3，

故选：C．

【点评】本题考查二元一次方程组的计算，解题关键是根据题意联立只含x，y的方程求解．

2．（绍兴期中）若方程组 的解x与y的和为2，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

【分析】利用加减消元法解方程组，可得用含m的式子表示的x和y，再根据x+y＝2，即可求出m的值．

【解答】解：解方程组 ，得

，

因为x+y＝2，

所以m+1+ ＝2，

解得m＝1．

则m的值为1．

故选：D．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．

二．填空题（共7小题）

3．（奉化区校级期末）已知二元一次方程 ．若用含x的代数式表示y，可得y＝　2﹣ 　；方程的正整数解是　 　．

【分析】先将含x的项移到等式右边，再两边都乘以2即可得，

【解答】解：∵ ，

∴ ，

正整数解为 ．

故答案为：2﹣ ，

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤．

4．（奉化区校级期末）已知方程3x﹣y＝5，用含x的代数式表示y，则　y＝3x﹣5　．

【分析】把x看做已知数求出y即可．

【解答】解：方程3x﹣y＝5，

解得：y＝3x﹣5，

故答案为：y＝3x﹣5

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．

5．（奉化区校级期末）若方程组 的解是 ，则方程组 的解为　 　．

【分析】把x+2018与y﹣2019看做一个整体，根据已知方程组的解确定出所求即可．

【解答】解：∵方程组 的解是 ，

∴方程组 的解为 ，即 ，

故答案为：

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

6．（奉化区校级期末）若方程x﹣y＝﹣1的一个解与方程组 的解相同，则k的值为　﹣4　．

【分析】联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值．

【解答】解：联立得： ，

解得： ，

代入方程得：2﹣6＝k，

解得：k＝﹣4，

故答案为：﹣4

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（长兴县月考）已知二元一次方程组 ，则8x+7y＝　25　．

【分析】方程组中两方程左右两边相加即可求出所求式子的值．

【解答】解： ，

①+②得：8x+7y＝25，

故答案为：25．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．（奉化区校级期末）已知方程组 和方程组 有相同的解，则m的值是　5　．

【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．

【解答】解：解方程组 ，

得 ，

代入x+y+m＝0得，m＝5．

【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．

9．（宁波期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F（﹣1，0）＝3m．当F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13，则F（x，y）＝　9x²+12xy﹣5y²　；当x²≠y²时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是　3m+n＝0　．

【分析】（1）根据新运算F的定义，得m﹣n＝﹣2，m+2n＝13，故m＝3，n＝5．那么，F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）＝（3x+5y）（3x﹣y）＝9x²+12xy﹣5y²．

（2）由F（x，y）＝F（y，x），得3mx²+（3n﹣m）xy﹣ny²＝3my²+（3n﹣m）xy﹣nx²，故（3m+n）x²＝（3m+n）y²．由当x²≠y²时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，故当x²≠y²时，（3m+n）x²＝（3m+n）y²对任意有理数x，y都成立．那么，3m+n＝0．

【解答】解：（1）∵F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13，

∴（m﹣n）×[3﹣（﹣1）]＝﹣8，（m+2n）（3×1﹣2）＝13．

∴m﹣n＝﹣2，m+2n＝13．

∴m＝3，n＝5．

∴F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）＝（3x+5y）（3x﹣y）＝9x²﹣3xy+15xy﹣5y²＝9x²+12xy﹣5y²．

（2）∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），F（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），

∴F（x，y）＝3mx²﹣mxy+3nxy﹣ny²＝3mx²+（3n﹣m）xy﹣ny²．

F（y，x）＝3my²﹣mxy+3nxy﹣nx²＝3my²+（3n﹣m）xy﹣nx²．

若当x²≠y²时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，

∴当x²≠y²时，3mx²+（3n﹣m）xy﹣ny²＝3my²+（3n﹣m）xy﹣nx²对任意有理数x，y都成立．

∴当x²≠y²时，（3m+n）x²＝（3m+n）y²对任意有理数x，y都成立．

∴3m+n＝0．

故答案为：9x²+12xy﹣5y²，3m+n＝0．

【点评】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

10．已知方程 x﹣ y＝7，用含x的代数式表示y．

【分析】将x看做已知数，求出y即可．

【解答】解：方程 x﹣ y＝7，

去分母得：5x﹣3y＝105，

解得：y＝ ．

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，y看做未知数．

11．已知关于x，y的二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．

（1）求出这个公共解；

（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0的解．

【分析】（1）先把原方程去括号整理得出（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，再由题意得出 ，解方程即可；

（2）按照（1）的思路去做即可．

【解答】解：（1）原方程去括号整理得：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，由题意得： ，

解得 ；

（2）∵把（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0化为下面的形式：（x+2y﹣1）a﹣3x﹣5y+6＝0，

∴ ，

解得 （3分）

∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a﹣3）x+（2a﹣5）y+6﹣a＝0的解（2分）

【点评】本题考查了二元一次方程的解，难度适中，是个不错的题目．

12．（舟山）用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：

解法一：

由①﹣②，得3x＝3．

解法二：

由②，得3x+（x﹣3y）＝2，③

把①代入③，得3x+5＝2．

（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．

（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．

【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；

（2）根据加减消元法解方程即可求解．

【解答】解：（1）解法一中的解题过程有错误，

由①﹣②，得3x＝3“×”，

应为由①﹣②，得﹣3x＝3；

（2）由①﹣②，得﹣3x＝3，解得x＝﹣1，

把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．

故原方程组的解是 ．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

13．（长兴县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③

把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴方程组的解为 ．

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ；

（2）已知x，y满足方程组 ，求xy的值．

【分析】（1）由②变形得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2即可；

（2）由②变形化简得x²+4y²＝18﹣ ③，整体代入即可．

【解答】解：（1）由②变形得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，

把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2，

把y＝2代入①得：x＝3，

则方程组的解为 ；

（2）由②变形得：2（x²+4y²）+xy＝36，即：x²+4y²＝18﹣ ③，

由①变形得：3（x²+4y²）﹣2xy＝47④，

把③代入④得：3×（18﹣ ）﹣2xy＝47，

∴xy＝2．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体代入是解本题的关键．

14．（岳麓区校级月考）已知关于x，y的方程组

（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；

（3）m≠﹣3时，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？

（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．

【分析】（1）把y看做已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；

（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；

（3）方程变形后，确定出公共解即可；

（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．

【解答】解：（1）方程x+2y＝5，

解得：x＝﹣2y+5，

当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；

（2）联立得： ，

解得： ，

代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，

解得：m＝﹣ ；

（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0总有一个解，

∴方程的解与m无关，

∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，

解得：x＝0，y＝ ，

则方程的公共解为 ；

（4） ，

①+②得：（m+2）x＝﹣4，

解得：x＝﹣ ，

把x＝﹣ 代入①得：y＝ ，

当m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4时，x为整数，此时m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，

当m＝﹣1时，y＝ ，不符合题意；

当m＝﹣3时，y＝ ，不符合题意；

当m＝2时，y＝3，符合题意；

当m＝﹣6时，y＝2，符合题意，

当m＝0时，y＝ ，不符合题意；

当m＝﹣4时，y＝ ，不符合题意，

综上，整数m的值为﹣6或2．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．（邗江区期中）已知关于x，y的方程组

（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；

（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？

【分析】（1）将方程x+2y﹣6＝0化为y＝3﹣二分之一x，再由x，y为正整数，即可得出结论；

（2）将x+y＝0与x+2y﹣6＝0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x﹣2y+mx+5＝0中，可得m的值；

（3）根据方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．

【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，

∴y＝3﹣ x，

又因为x，y为正整数，

∴3﹣ x＞0，

即：x只能取2或4；

∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解： ， ；

（2）由题意得： ，解得

把 代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣ ；

（3）∵方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，

∴x＝0，

把x＝0代入x﹣2y+mx+5＝0中得：y＝2.5，

∴x＝0，y＝2.5．

【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．

16．（2绍兴期末）已知方程组 ，甲正确地解得 ，而乙粗心地把c看错了，得 ，试求出a，b，c的值．

【分析】把 ， 代入方程ax+by＝3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把 代入方程5x﹣cy＝1即可求得c的值．

【解答】解：根据题意得： ，

解得： ，

把 代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，

解得：c＝3．

故a＝3，b＝﹣1，c＝3．

【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键．