【324409】2024春七年级数学下册 第3章 整式的乘除（易错30题专练）(含解析)（新版）浙教版

第3章 整式的乘除（易错30题专练）

一．选择题（共10小题）

1．（南浔区二模）计算a⁸÷a⁴，正确的结果是（　　）

A．4 B．a⁴ C．a² D．4a

【分析】根据同底数幂的除法法则计算．

【解答】解：原式＝a^8﹣4＝a⁴．

故选：B．

【点评】本题考查幂的运算法则，正确运用同底数幂的除法法则是求解本题的关键．

2．（万州区期末）下列运算正确的是（　　）

A．a²+a²＝2a⁴ B．a³•a³＝a⁶ C．（a³）⁴＝a⁷ D．a⁸÷a⁴＝a²

【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

【解答】解：A．a²+a²＝2a²，故本选项不合题意；

B．a³•a³＝a⁶，故本选项符合题意；

C．（a³）⁴＝a¹²，故本选项不合题意；

D．a⁸÷a⁴＝a⁴，故本选项不合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．

3．（十堰期末）下列计算正确的是（　　）

A．x²•x³＝x⁶ B．x⁸÷x⁴＝x²

C．（x²）³＝x⁶ D．（2xy²）³＝2x³y⁶

【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．

【解答】解：A．x²•x³＝x⁵，故本选项不合题意；

B．x⁸÷x⁴＝x⁴，故本选项不合题意；

C．（x²）³＝x⁶，故本选项符合题意；

D．（2xy²）³＝8x³y⁶，故本选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．

4．（椒江区期末）下列计算正确的是（　　）

A．（x³）²＝x⁶ B．（xy）²＝xy² C．x²•x³＝x⁶ D．x⁶÷x²＝x³

【分析】分别根据幂的乘方运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．

【解答】解：A、（x³）²＝x⁶，故本选项符合题意；

B、（xy）²＝x²y²，故本选项不符合题意；

C、x²•x³＝x⁵，故本选项不符合题意；

D、x⁶÷x²＝x⁴，故本选项不符合题意．

故选：A．

【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

5．（椒江区校级月考）下列计算中，正确的是（　　）

A．a⁶÷a²＝a B．（﹣a）³＝﹣a³

C．（a+1）²＝a²+1 D．（ab³）²＝a²b⁵

【分析】根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法运算法则即可求出答案．

【解答】解：A、原式＝a⁴，故A不符合题题意．

B、原式＝﹣a³，故B符合题意．

C、原式＝a²+2a+1，故C不符合题意．

D、原式＝a²b⁶，故D不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法运算法则，本题属于基础题型．

6．（秀洲区校级月考）下列运算正确的是（　　）

A．a³÷a²＝a B．a²•a³＝a⁶ C．（a³）²＝a⁵ D．3a﹣2a＝1

【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、a³÷a²＝a，故A符合题意；

B、a²•a³＝a⁵，故B不符合题意；

C、（a³）²＝a⁶，故C不符合题意；

D、3a﹣2a＝a，，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

7．（绍兴月考）由m（a+b+c）＝ma+mb+mc可得（a+b）（a²﹣ab+b²）＝a³﹣a²b+ab²+a²b﹣ab²+b³＝a³+b³，即（a+b）（a²﹣ab+b²）＝a³+b³①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（　　）

A．（x+4y）（x²﹣4xy+16y²）＝x³+64y³

B．（2x+y）（4x²﹣2xy+y²）＝8x³+y³

C．﹣x³+27＝（3﹣x）（x²+3x+9）

D．（a+1）（a²+a﹣1）＝a³+1

【分析】根据立方公式，逐项进行判断即可．

【解答】解：A．（x+4y）（x²﹣4xy+16y²）＝x³+64y³，因此选项A不符合题意；

B．（2x+y）（4x²﹣2xy+y²）＝8x³+y³，因此选项B不符合题意；

C．﹣x³+27＝（3﹣x）（x²+3x+9）＝27﹣x³，因此选项C不符合题意；

D．（a+1）（a²﹣a+1）＝a³+1，因此选项D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握立方和或立方差公式是正确判断的前提．

8．（长兴县月考）已知4x²+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（　　）

A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16

【分析】根据完全平方公式的结构特征列方程求解即可．

【解答】解：∵4x²+4（m﹣2）x+（m﹣2）²＝[2x+（m﹣2）]²＝4x²+4（m﹣2）x+m，

∴（m﹣2）²＝m，

即m²﹣5m+4＝0，

∴m＝1或m＝4，

故选：B．

【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．

9．（温州校级模拟）下列运算正确的是（　　）

A．x²+x＝x³ B．x²+x³＝5x C．x²•x³＝x⁵ D．（x²）³＝x⁵

【分析】A，不能合并同类项；

B，不能合并同类项；

C，根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算；

D，根据幂的乘方底数不变指数相乘计算．

【解答】解：A：不能合并同类项，∴不合题意；

B：不能合并同类项，∴不合题意；

C：同底数幂相乘底数不变指数相加，∴符合题意；

D：原式＝x⁶，∴不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

10．（鄞州区月考）若x²+ mx+k是一个完全平方式，则k等于（　　）

A． B． C． D．m²

【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出k的值．

【解答】解：∵x²+ mx+k是一个完全平方式，

∴x²+ mx+k＝x²+2× m•x+k＝（x+ m）²，

∴k＝ m²．

故选：A．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

二．填空题（共10小题）

11．（江干区期末）若多项式4x²+nx+1是完全平方式，则常数n的值为 　±4　．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．

【解答】解：∵4x²+nx+1是完全平方式，

∴4x²+nx+1＝（2x±1）²，

∴nx＝±2•2x•1，

解得n＝±4，

故答案为：±4．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

12．（奉化区校级期末）如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形ABCD内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为a，如果斜线阴影部分的面积之和为b，空白部分的面积和为4，那么 的值为　2　．

【分析】先将乙这个正方形平移至AB边，然后设大正方形边长为x，从而表示出斜线阴影面积为2a（x﹣a）＝b和空白面积为（x﹣a）²＝4，再代入计算即可．

【解答】解：将乙正方形平移至AB边，如图所示：

设AB＝x，

∴乙的宽＝（x﹣a）；甲的宽＝（x﹣a）；

又∵斜线阴影部分的面积之和为b，

∴2a（x﹣a）＝b，

空白部分的面积和为4，

∴（x﹣a）²＝4，

∴x﹣a＝2，

即2a•2＝b，

∴ ＝2．

【点评】本题主要考查完全平方式的几何背景，解题关键在于找出甲、乙、丙各自的边长长度．

13．（本溪期末）已知a＝ +2，b＝ ﹣2，则a²+b²+7的算术平方根是　5　．

【分析】根据完全平方公式和算术平方根即可求解．

【解答】解：因为a＝ +2，b＝ ﹣2，

所以a²+b²+7＝（ +2）²+（ ﹣2）²+7

＝9+2 +9﹣2 +7

＝25．

所以a²+b²+7的算术平方根是5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了完全平方公式、算术平方根，解决本题的关键是掌握完全平方公式、算术平方根．

14．（越城区期末）已知：a+b＝5，（a﹣b）²＝13，则ab的值是 　3　．

【分析】直接利用完全平方公式将原式变形得出答案．

【解答】解：∵a+b＝5，（a﹣b）²＝13，

∴a²+b²+2ab＝25①，a²+b²﹣2ab＝13②，

则①﹣②可得：4ab＝12，

所以ab＝3．

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确将原式变形是解题的关键．

15．（拱墅区期末）计算：（﹣7）⁰＝　1　，8^﹣1＝　 　．

【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则解答即可．

【解答】解：（﹣7）⁰＝1，

8^﹣1＝ ．

故答案为：1， ．

【点评】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．

16．（拱墅区期末）已知3ab•A＝6a²b﹣9ab²，则A＝　2a﹣3b　．

【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．

【解答】解：因为3ab•A＝6a²b﹣9ab²，

所以A＝（6a²b﹣9ab²）÷3ab

＝2a﹣3b．

故答案为：2a﹣3b．

【点评】此题主要考查了整式的运算，正确运用多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．

17．（西湖区期末）若x+y＝3，且xy＝1，则代数式（5﹣x）（5﹣y）＝　11　．

【分析】利用多项式乘多项式法则，先计算（5﹣x）（5﹣y），再代入求值．

【解答】解：（5﹣x）（5﹣y）

＝25﹣5y﹣5x+xy

＝25﹣5（x+y）+xy

∵x+y＝3，xy＝1，

∴原式＝25﹣5×3+1

＝11．

故答案为：11．

【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．

18．（江北区期中）计算：59.8×60.2＝　3599.96　．

【分析】利用公式求解，简化运算．

【解答】解：原式＝（60﹣0.2）（60+0.2）＝60²﹣0.2²＝3600﹣0.04＝3599.96．

故答案为：3599.96．

【点评】本题考查实数混合运算，利用平方差公式简化计算是求解本题的关键．

19．（拱墅区校级开学）如果x²+2mx+25是一个完全平方式，那么m的值为　±5　．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．

【解答】解：∵x²+2mx+25＝x²+2mx+5²，

∴2mx＝±2×5×x，

解得m＝±5．

故答案为：±5．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

20．（奉化区校级期末）计算：2020²﹣4040×2019+2019²＝　1　．

【分析】根据完全平方公式，可得答案．

【解答】解：2020²﹣4040×2019+2019²

＝2020²﹣2×2020×2019+2019²

＝（2020﹣2019）²

＝1²

＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：（a±b）²＝a²±2ab+b²．

三．解答题（共10小题）

21．（鄞州区校级期末）已知（n﹣2020）²+（2021﹣n）²＝3，求（n﹣2020）（2021﹣n）的值．

【分析】利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可．

【解答】解：令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，

根据题意得：

a²+b²＝3，a+b＝1，

∴原式＝ab

＝

＝

＝﹣1．

【点评】这道题考查的是完全平方公式和多项式乘多项式，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础．

22．（奉化区校级期末）（1）已知a+4＝﹣3b，求3^a×27^b的值；

（2）已知3^m＝6，9ⁿ＝2，求3^2m﹣4n的值．

【分析】（1）由a+4＝﹣3b可得a+3b＝﹣4，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；

（2）根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．

【解答】解：（1）因为a+4＝﹣3b，

所以a+3b＝﹣4，

所以3^a×27^b＝3^a×3^3b＝3^a+3b＝3^﹣4＝ ；

（2）因为3^m＝6，9ⁿ＝2，

所以3²ⁿ＝2，

所以3^2m﹣4n＝（3^m）²÷（3²ⁿ）²＝6²÷2²＝36÷4＝9．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

23．（拱墅区校级期中）计算：

（1）x²•x³+x⁴•x；

（2）（3x²y）²÷（﹣9x⁴y）．

【分析】（1）先算乘法，再算加法．

（2）先乘方，再算除法．

【解答】解：（1）原式＝x⁵+x⁵＝2x⁵．

（2）原式＝9x⁴y²÷（﹣9x⁴y）＝[9÷（﹣9）]×（x⁴÷x⁴）×（y²÷y）＝﹣y．

【点评】本题考查整式的混合运算，确定计算的顺序是求解本题的关键．

24．（温州模拟）（1）计算： +（π﹣2）⁰+|﹣4|．

（2）（x﹣3）²﹣x（x﹣1）．

【分析】（1）根据算术平方根的定义、零指数幂的运算法则、绝对值的定义解答即可；

（2）根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则解答即可．

【解答】解：（1）原式＝4+1+4

＝9；

（2）原式＝x²﹣6x+9﹣x²+x

＝﹣5x+9．

【点评】本题考查了算术平方根的定义、零指数幂的运算法则、绝对值的定义，完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则．解题的关键是熟练掌握定义、公式和运算法则．

25．（瑞安市开学）（1）计算：|﹣4|﹣ ﹣（ ）⁰；

（2）化简：（a+3b）（a﹣3b）﹣（a﹣b）²．

【分析】（1）根据绝对值的定义、立方根的定义、零指数幂的意义即可求出答案；

（2）根据平方差公式和完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：（1）原式＝4﹣2﹣1＝1；

（2）原式＝a²﹣9b²﹣（a²﹣2ab+b²）

＝a²﹣9b²﹣a²+2ab﹣b²

＝2ab﹣10b²．

【点评】本题考查了实数的运算、整式的运算．解题的关键是熟练运用实数的运算法则，整式的运算法则．

26．（奉化区校级期末）（1） ；

（2）x²•x⁶﹣（﹣2x⁴）²+5x¹³÷x⁵

（3）（a﹣b）²•（b﹣a）⁵÷[﹣（a﹣b）³]；

（4）（2m﹣4n）（4m+2n）．

【分析】（1）先算乘方，再算加减．

（2）先算乘方，再算乘积，最后算加减．

（3）先化同底，再计算．

（4）先算乘积，再算加减．

【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣1

＝﹣1

（2）原式＝x⁸﹣4x⁸+5x⁸

＝（1﹣4+5）x⁸

＝2x⁸．

（3）原式＝﹣（a﹣b）²（a﹣b）⁵÷[﹣（a﹣b）³]

＝（a﹣b）⁴．

（4）原式＝8m²+4mn﹣16mn﹣8n²

＝8m²﹣12mn﹣8n²．

【点评】本题考查实数和整式的混合计算，理清运算顺序是求解本题的关键．

27．（奉化区校级期末）（1）已知a²+b²＝10，a+b＝4，求a﹣b的值．

（2）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣2x²+m化简后不含x²项与常数项，且an²+mn＝1，求2n³+5n²﹣5n+2022的值．

【分析】（1）通过完全平方公式求值．

（2）先求a和m，再求值．

【解答】解：（1）∵a²+b²＝10，a+b＝4．

∴（a+b）²＝a²+b²+2ab．

∴2ab＝16﹣10＝6．

∴（a﹣b）²＝a²+b²﹣2ab＝4．

∴a﹣b＝±2．

（2）∵（ax﹣3）（2x+1）﹣2x²+m

＝2ax²+ax﹣6x﹣3﹣2x²+m

＝（2a﹣2）x²+（a﹣6）x+m﹣3．

∵不含x²项与常数项．

∴2a﹣2＝0，m﹣3＝0．

∴a＝1，m＝3．

∵an²+mn＝1．

∴n²+3n＝1．

∴2n³+5n²﹣5n+2022＝2n³+6n²﹣n²﹣5n+2022．

＝2n（n²+3n）﹣n²﹣5n+2022

＝2n﹣n²﹣5n+2022

＝﹣（n²+3n）+2022

＝﹣1+2022

＝2021．

【点评】本题考查完全平方公式及其变形式的应用，整体代换求值，灵活运用完全平方公式是求解本题的关键．

28．（奉化区校级期末）用如图所示的甲，乙，丙三块木板做一个长，宽，高分别为3a（cm），2a（cm）和20cm的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．

（1）用含a的代数式分别表示甲，乙，丙三块木板的面积（代数式要求化简）；

（2）如果购买一块长12a（cm），宽120cm的长方形木板做这个箱子，那么只需用去这块木板的几分之几（用含a的代数式表示）？如果a＝20呢？

【分析】（1）根据长方体的面积＝长×宽，代入计算即可求解；

（2）求出长12a厘米，宽120厘米的长方形木板的面积，进一步求得用去这块木板的几分之几；代入当a＝20时求出这个数值．

【解答】解：（1）由题意得：

甲木板的面积：3a×2a+3a×20＝（6a²+60a）（cm²），

乙木板的面积：3a×20+2a×20＝100a（cm²），

丙木板的面积：3a×2a+2a×20＝（6a²+40a）（cm²）；

（2）长12acm，宽120cm的长方形木板的面积：12a×120＝1440a，

＝ ，

当a＝20时， ＝ ＝ ．

答：需用去这块木板的 ，当a＝20时，用去这块木板的 ．

【点评】此题考查了列代数式，以及代数式求值，掌握长方体的表面积计算公式是解决问题的关键．

29．（西湖区校级期中）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．

（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；

（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝　9　．

（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案．

范例：拼法一：拼出一个长方形，长为　3a+5b　，宽为　2b　；

拼法二：拼出一个正方形，边长为　a+3b　；

（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）

【分析】（1）用代数式表示图形面积，再分解即可．

（2）先表示所拼的长方形面积，再对照三种卡片面积求出x，y，z的值即可．

（3）通过因式分解找到正方形或长方形的边长．

【解答】解：（1）∵大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34．

∴a²+b²＝169，a+b＝ ＝17．

∴（a+b）²＝289．

∴a²+b²+2ab＝289．

∴ab＝ ＝60．

∴长方形B的面积是60．

（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a²+5ab+2b²．

A的面积是a²，B的面积ab，C的面积b²．

∴x＝2，y＝5，z＝2．

∴x+y+z＝9．

故答案为9．

（3）当拿掉2张C，则：∵a²+6ab+9b²＝（a+3b）²．

∴拼成的正方形边长为a+3b．

当拿掉1张A，1张B，则5ab+11b²＝b（5a+11b）．

∴拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b．

当拿掉1张A，1张C，则6ab+10b²＝2b（3a+5b）．

∴拼成的长方形的长为（3a+5b），宽为：2b．

故答案为：长方形，3a+5b，2b．

正方形，a+3b．

【点评】本题考查用图形验证恒等式，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．

30．（浦东新区期中）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．

（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．

①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；

②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；

（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，测得盒子底部长方形长比宽多3，则S₂﹣S₁的值为　9　．

【分析】（1）①根据面积差可得结论；

②根据图形可以直接得结论；

（2）分别计算S₂和S₁的值，相减可得结论．

【解答】解：（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝（a+3）²﹣3²＝（a+3﹣3）（a+3+3）＝a（a+6）＝a²+6a；

②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3＝a，

∴长为a+6，

则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；

（2）设AB＝x，则BC＝x+3，

∴图1中阴影部分的面积为S₁＝x（x+3）﹣（a+3）²﹣3²+3（a+6﹣x﹣3），

图2中阴影部分的面积为S₂＝x（x+3）﹣（a+3）²﹣3²+3（a+6﹣x），

∴S₂﹣S₁的值＝3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）＝3×3＝9，

故答案为：9．

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目根据图形的面积列出等式是解题的关键．