【349941】年山东省泰安市中考数学试卷

山东省泰安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1．（4分） 的倒数是 　　

A． B． C．2 D．

2．（4分）下列运算正确的是 　　

A． B． C． D．

3．（4分）6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为 　　

A． 元 B． 元 C． 元 D． 元

4．（4分）将含 角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 ，则 等于 　　

A． B． C． D．

5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数 册	1	2	3	4	5
人数 人	2	5	7	4	2

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 　　

A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3

6．（4分）如图， 是 的切线，点 为切点， 交 于点 ， ，点 在 上， ．则 等于 　　

A． B． C． D．

7．（4分）将一元二次方程 化成 ， 为常数）的形式，则 ， 的值分别是 　　

A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69

8．（4分）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是直径， ，则 的长为 　　

A．4 B． C． D．

9．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数 的图象可能是 　　

A．

B．

C．

D．

10．（4分）如图，四边形 是一张平行四边形纸片，其高 ，底边 ， ，沿虚线 将纸片剪成两个全等的梯形，若 ，则 的长为 　　

A． B． C． D．

11．（4分）如图，矩形 中， ， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．则下列结论：

① ；

② ；

③ ；

④当 时，四边形 是菱形．

其中，正确结论的个数是 　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．（4分）如图，点 ， 的坐标分别为 ， ，点 为坐标平面内一点， ，点 为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为 　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）

13．（4分）方程组 的解是　　．

14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．△ 是 关于 轴的对称图形，将△ 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，则点 的坐标为　　．

15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． ， ，斜坡 长 ，斜坡 的坡比为 ．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 不动，则坡顶 沿 至少向右移　　 时，才能确保山体不滑坡．（取

16．（4分）如图，点 是半圆圆心， 是半圆的直径，点 ， 在半圆上，且 ， ， ，过点 作 于点 ，则阴影部分的面积是　　．

17．（4分）已知二次函数 ， ， 是常数， 的 与 的部分对应值如下表：

				0	2
	6	0			6

下列结论：

① ；

②当 时，函数最小值为 ；

③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；

④方程 有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是　　．（把所有正确结论的序号都填上）

18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15， ，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ， ，第 个数记为 ，则 　　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．（10分）（1）化简： ；

（2）解不等式： ．

20．（9分）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，点 ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与 轴交于点 ，点 为点 关于原点 的对称点，求 的面积．

21．（11分）为迎接第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 ：机器人； ：航模； ：科幻绘画； ：信息学； ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是　　名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数；

（4）在 组最优秀的3名同学 名男生2名女生）和 组最优秀的3名同学 名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了 种茶叶若干盒，用8400元购进 种茶叶若干盒，所购 种茶叶比 种茶叶多10盒，且 种茶叶每盒进价是 种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1） ， 两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 ， 两种茶叶共100盒（进价不变）， 种茶叶的售价是每盒300元， 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进 ， 两种茶叶各多少盒？

23．（12分）若 和 均为等腰三角形，且 ．

（1）如图（1），点 是 的中点，判定四边形 的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点 是 的中点，连接 并延长至点 ，使 ．

求证：① ，

② ．

24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， 与 恰好为对顶角， ，连接 ， ，点 是线段 上一点．

探究发现：

（1）当点 为线段 的中点时，连接 （如图（2） ，小明经过探究，得到结论： ．你认为此结论是否成立？　　．（填“是”或“否”

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： ，则点 为线段 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 ， ，求 的长．

25．（13分）若一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，点 的坐标为 ，二次函数 的图象过 ， ， 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 作 轴交抛物线于点 ，点 在抛物线上 轴左侧），若 恰好平分 ．求直线 的表达式；

（3）如图（2），若点 在抛物线上（点 在 轴右侧），连接 交 于点 ，连接 ， ．

①当 时，求点 的坐标；

②求 的最大值．

山东省泰安市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1．（4分） 的倒数是 　　

A． B． C．2 D．

【解答】解： 的倒数是 ．

故选： ．

2．（4分）下列运算正确的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ，故本选项不合题意；

． ，故本选项不合题意；

． ，故本选项不合题意；

． ，故本选项符合题意．

故选： ．

3．（4分）6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为 　　

A． 元 B． 元 C． 元 D． 元

【解答】解：4000亿 ，

故选： ．

4．（4分）将含 角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若 ，则 等于 　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示，

，

又 是 的外角，

，

故选： ．

5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：

册数 册	1	2	3	4	5
人数 人	2	5	7	4	2

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是 　　

A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3

【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为 （册 ，

故选： ．

6．（4分）如图， 是 的切线，点 为切点， 交 于点 ， ，点 在 上， ．则 等于 　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接 ，

是 的切线，

，

，

，

，

，

，

，

由圆周角定理得， ，

故选： ．

7．（4分）将一元二次方程 化成 ， 为常数）的形式，则 ， 的值分别是 　　

A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69

【解答】解： ，

，

则 ，即 ，

， ，

故选： ．

8．（4分）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是直径， ，则 的长为 　　

A．4 B． C． D．

【解答】解：连接 ，

， ，

，

，

，

，

是直径，

，

，

，

，

故选： ．

9．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数 的图象可能是 　　

A．

B．

C．

D．

【解答】解： 、二次函数图象开口向上，对称轴在 轴右侧，

， ，

一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 轴负半轴的同一点，

故 错误；

、 二次函数图象开口向下，对称轴在 轴左侧，

， ，

一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于 轴负半轴的同一点，

故 错误；

、二次函数图象开口向上，对称轴在 轴右侧，

， ，

一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 轴负半轴的同一点，

故 正确；

、二次函数图象开口向上，对称轴在 轴右侧，

， ，

一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于 轴负半轴的同一点，

故 错误；

故选： ．

10．（4分）如图，四边形 是一张平行四边形纸片，其高 ，底边 ， ，沿虚线 将纸片剪成两个全等的梯形，若 ，则 的长为 　　

A． B． C． D．

【解答】解：过 作 于 ，

高 ， ，

，

， ，

，

沿虚线 将纸片剪成两个全等的梯形，

，

， ，

，

，

四边形 是矩形，

，

，

，

故选： ．

11．（4分）如图，矩形 中， ， 相交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．则下列结论：

① ；

② ；

③ ；

④当 时，四边形 是菱形．

其中，正确结论的个数是 　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解： 四边形 是矩形，

， ， ， ， ， ，

，

， ，

，

，

在 和 中， ，

，

， ，故①正确；

在 和 中， ，

，

， ，故③正确；

，即 ，

，

四边形 是平行四边形，

，故②正确；

， ，

，

，

四边形 是平行四边形，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

四边形 是菱形；故④正确；

正确结论的个数是4个，

故选： ．

12．（4分）如图，点 ， 的坐标分别为 ， ，点 为坐标平面内一点， ，点 为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为 　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

点 为坐标平面内一点， ，

在 的圆上，且半径为1，

取 ，连接 ，

， ，

是 的中位线，

，

当 最大时，即 最大，而 ， ， 三点共线时，当 在 的延长线上时， 最大，

， ，

，

，

，即 的最大值为 ；

故选： ．

二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）

13．（4分）方程组 的解是　 　．

【解答】解：

② ①，得 ，

．

把 代入①，得 ，

．

原方程组的解为 ．

故答案为： ．

14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．△ 是 关于 轴的对称图形，将△ 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，则点 的坐标为　 　．

【解答】解：将△ 绕点 逆时针旋转 ，如图所示：

所以点 的坐标为 ，

故答案为： ．

15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． ， ，斜坡 长 ，斜坡 的坡比为 ．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 不动，则坡顶 沿 至少向右移　10　 时，才能确保山体不滑坡．（取

【解答】解：在 上取点 ，使 ，过点 作 于 ，

， ， ，

四边形 为矩形，

， ，

斜坡 的坡比为 ，

，

设 ，则 ，

由勾股定理得， ，即 ，

解得， ，

， ，

，

在 中， ，

，

，

坡顶 沿 至少向右移 时，才能确保山体不滑坡，

故答案为：10．

16．（4分）如图，点 是半圆圆心， 是半圆的直径，点 ， 在半圆上，且 ， ， ，过点 作 于点 ，则阴影部分的面积是　 　．

【解答】解：连接 ，

， ，

是等边三角形，

，

的半径为8，

，

，

，

，

，

，

于点 ，

， ，

，

故答案为 ．

17．（4分）已知二次函数 ， ， 是常数， 的 与 的部分对应值如下表：

				0	2
	6	0			6

下列结论：

① ；

②当 时，函数最小值为 ；

③若点 ，点 在二次函数图象上，则 ；

④方程 有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是　①③④　．（把所有正确结论的序号都填上）

【解答】解：将 ， ， ， 代入 得，

，解得， ，

抛物线的关系式为 ，

，因此①正确；

对称轴为 ，即当 时，函数的值最小，因此②不正确；

把 ， ， 代入关系式得， ， ，因此③正确；

方程 ，也就是 ，即方 ，由 可得 有两个不相等的实数根，因此④正确；

正确的结论有：①③④，

故答案为：①③④．

18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15， ，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ， ，第 个数记为 ，则 　20110　．

【解答】解：观察“杨辉三角”可知第 个数记为 ，

则 ．

故答案为：20110．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

19．（10分）（1）化简： ；

（2）解不等式： ．

【解答】解：（1）原式

；

（2）去分母，得： ，

去括号，得： ，

移项，得： ，

合并同类项，得： ．

20．（9分）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，点 ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与 轴交于点 ，点 为点 关于原点 的对称点，求 的面积．

【解答】解：（1） 点 ，点 在反比例函数上，

，解得： ，则 ，

故反比例函数的表达式为： ；

（2） ，故点 、 的坐标分别为 、 ，

设直线 的表达式为： ，则 ，解得 ，

故一次函数的表达式为： ；

当 时， ，故点 ，故 ，

而点 为点 关于原点 的对称点，则 ，

的面积 ．

21．（11分）为迎接第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 ：机器人； ：航模； ：科幻绘画； ：信息学； ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是　80　名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数；

（4）在 组最优秀的3名同学 名男生2名女生）和 组最优秀的3名同学 名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为 （名 ；

故答案为：80；

（2） 组人数为： （名 ，把条形统计图补充完整如图：

（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数为 ；

（4）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，

所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为 ．

22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了 种茶叶若干盒，用8400元购进 种茶叶若干盒，所购 种茶叶比 种茶叶多10盒，且 种茶叶每盒进价是 种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1） ， 两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 ， 两种茶叶共100盒（进价不变）， 种茶叶的售价是每盒300元， 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进 ， 两种茶叶各多少盒？

【解答】解：（1）设 种茶叶每盒进价为 元，则 种茶叶每盒进价为 元，

依题意，得： ，

解得： ，

经检验， 是原方程的解，且符合题意，

．

答： 种茶叶每盒进价为200元， 种茶叶每盒进价为280元．

（2）设第二次购进 种茶叶 盒，则购进 种茶叶 盒，

依题意，得： ，

解得： ，

．

答：第二次购进 种茶叶40盒， 种茶叶60盒．

23．（12分）若 和 均为等腰三角形，且 ．

（1）如图（1），点 是 的中点，判定四边形 的形状，并说明理由；

（2）如图（2），若点 是 的中点，连接 并延长至点 ，使 ．

求证：① ，

② ．

【解答】解：（1）四边形 是平行四边形，

理由如下：

为等腰三角形， ， 是 的中点，

， ，

是等腰三角形， ，

， ，

， ，

四边形 是平行四边形；

（2）① 和 均为等腰三角形， ，

， ， ，

，

；

②延长 至点 ，使 ，

是 的中点，

，

又 ，

，

， ，

， ，

，

，

．

24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， 与 恰好为对顶角， ，连接 ， ，点 是线段 上一点．

探究发现：

（1）当点 为线段 的中点时，连接 （如图（2） ，小明经过探究，得到结论： ．你认为此结论是否成立？　是　．（填“是”或“否”

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： ，则点 为线段 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 ， ，求 的长．

【解答】解：（1）如图（2）中，

， ，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为是．

（2）结论成立：

理由： ， ，

， ，

，

，

，

，

， ， ，

，

，

，

， ，

，

，

，

点 是 的中点．

（3）如图3中，取 的中点 ，连接 ．则 ．

，

，

在 中， ，

，

在 中， ，

， ，

，

，

，

，

．

25．（13分）若一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，点 的坐标为 ，二次函数 的图象过 ， ， 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 作 轴交抛物线于点 ，点 在抛物线上 轴左侧），若 恰好平分 ．求直线 的表达式；

（3）如图（2），若点 在抛物线上（点 在 轴右侧），连接 交 于点 ，连接 ， ．

①当 时，求点 的坐标；

②求 的最大值．

【解答】解：（1）一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 ， 两点，则点 、 的坐标分别为 、 ，

将点 、 、 的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ，

故抛物线的表达式为： ；

（2）设直线 交 轴于点 ，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为 ，

轴交抛物线于点 ，故点 ，

由点 、 的坐标知，直线 与 的夹角为 ，即 ，

恰好平分 ，故 ，

而 ，

故 ，

，故 ，故点 ，

设直线 的表达式为： ，则 ，解得 ，

故直线 的表达式为： ；

（3）过点 作 轴交 于点 ，

则 ，则 ，

而 ，则 ，解得： ，

①当 时，则 ，

设点 ，

由点 、 的坐标知，直线 的表达式为： ，当 时， ，故点 ，

故 ，

解得： 或2，故点 或 ；

② ，

，故 的最大值为 ．