【349878】年贵州省铜仁市中考数学试卷

贵州省铜仁市中考数学试卷

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上

1．（4分） 的绝对值是 　　

A． B．3 C． D．

2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为 　　

A． B． C． D．

3．（4分）如图，直线 ， ，则 　　

A． B． C． D．

4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是 　　

A．9 B．10 C．11 D．12

5．（4分）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为 　　

A．3 B．2 C．4 D．5

6．（4分）实数 ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 　　

A． B． C． D．

7．（4分）已知等边三角形一边上的高为 ，则它的边长为 　　

A．2 B．3 C．4 D．

8．（4分）如图，在矩形 中， ， ，动点 沿折线 从点 开始运动到点 ，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，那么 与 之间的函数关系的图象大致是 　　

A． B．

C． D．

9．（4分）已知 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 的值等于 　　

A．7 B．7或6 C．6或 D．6

10．（4分）如图，正方形 的边长为4，点 在边 上， ， ，点 在射线 上，且 ，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ， 与 相交于点 ，连接 、 、 ．下列结论：① 的面积为 ；② 的周长为8；③ ；其中正确的是 　　

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③

二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）因式分解： 　　．

12．（4分）方程 的解是　　．

13．（4分）已知点 在反比例函数 的图象上，则这个反比例函数的表达式是　　．

14．（4分）函数 中，自变量 的取值范围是　　．

15．（4分）从 ， ，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　　．

16．（4分）设 ， ， 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 与 的距离是 ， 与 的距离是 ，则 与 的距离等于　　 ．

17．（4分）如图，在矩形 中， ，将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕为 ．若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则 　　．

18．（4分）观察下列等式：

；

；

；

；

已知按一定规律排列的一组数： ， ， ， ， ， ， ， ， ，若 ，则 　　（结果用含 的代数式表示）．

三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）

19．（10分）（1）计算： ．

（2）先化简，再求值： ，自选一个 值代入求值．

20．（10分）如图， ， ， ．求证： ．

21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；

（2） 　　， 　　；

（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？

22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在 处测得北偏东 方向上有一座灯塔 ，再向东继续航行 到达 处，这时测得灯塔 在北偏东 方向上，已知在灯塔 的周围 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？

四、（本大题满分12分）

23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的 ，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．

（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？

（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？

五、（本大题满分12分）

24．（12分）如图， 是 的直径， 为 上一点，连接 ， 于点 ， 是直径 延长线上一点，且 ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）若 ， ，求 的长．

六、（本大题满分14分）

25．（14分）如图，已知抛物线 经过两点 ， ， 是抛物线与 轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ，求 关于 的函数表达式（指出自变量 的取值范围）和 的最大值；

（3）点 在抛物线上运动，点 在 轴上运动，是否存在点 、点 使得 ，且 与 相似，如果存在，请求出点 和点 的坐标．

贵州省铜仁市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上

1．（4分） 的绝对值是 　　

A． B．3 C． D．

【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．

【解答】解： 的绝对值是：3．

故选： ．

【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．

2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为 　　

A． B． C． D．

【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定 ．

【解答】解： ．

故选： ．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 值是关键．

3．（4分）如图，直线 ， ，则 　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用平行线的性质得出 ，进而得出答案．

【解答】解： 直线 ，

，

，

．

故选： ．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出相等的角是解题关键．

4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是 　　

A．9 B．10 C．11 D．12

【分析】对于 个数 ， ， ， ，则 就叫做这 个数的算术平均数，据此列式计算可得．

【解答】解：这组数据的平均数为 ，

故选： ．

【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义：对于 个数 ， ， ， ，则 就叫做这 个数的算术平均数．

5．（4分）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为 　　

A．3 B．2 C．4 D．5

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．

【解答】解： 和 的周长分别为30和15，

和 的周长比为 ，

，

，即 ，

解得， ，

故选： ．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．

6．（4分）实数 ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 　　

A． B． C． D．

【分析】根据数轴即可判断 和 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．

【解答】解：根据数轴可得： ， ，且 ，

则 ， ， ， ．

故选： ．

【点评】本题考查了利用数轴表示数，根据数轴确定 和 的符号以及绝对值的大小是关键．

7．（4分）已知等边三角形一边上的高为 ，则它的边长为 　　

A．2 B．3 C．4 D．

【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．

【解答】解：根据等边三角形：三线合一，

设它的边长为 ，可得： ，

解得： ， （舍去），

故选： ．

【点评】本题考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单，解题的关键是掌握勾股定理．

8．（4分）如图，在矩形 中， ， ，动点 沿折线 从点 开始运动到点 ，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，那么 与 之间的函数关系的图象大致是 　　

A． B．

C． D．

【分析】分别求出 、 时函数表达式，即可求解．

【解答】解：由题意当 时，

，

当 时，

．

故选： ．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

9．（4分）已知 、 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 、 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 的值等于 　　

A．7 B．7或6 C．6或 D．6

【分析】当 或 时，即 ，代入方程即可得到结论，当 时，即△ ，解方程即可得到结论．

【解答】解：当 或 时，即 ，

方程为 ，

解得： ，

当 时，即△ ，

解得： ，

综上所述， 的值等于6或7，

故选： ．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等边三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．

10．（4分）如图，正方形 的边长为4，点 在边 上， ， ，点 在射线 上，且 ，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ， 与 相交于点 ，连接 、 、 ．下列结论：① 的面积为 ；② 的周长为8；③ ；其中正确的是 　　

A．①②③ B．①③ C．①② D．②③

【分析】先判断出 ，进而求出 ．进而判断出 ，得出 ， ，判断出 是等腰直角三角形，再用勾股定理求出 ，即可得出①正确；

先判断出四边形 是矩形，进而判断出矩形 是正方形，得出 ，同理：四边形 是矩形，得出 ， ， ， ，再判断出 ，得出 ，求出 ，再根据勾股定理求得 ，即 的周长为8，判断出②正确；

先求出 ，进而求出 ，在求出 ，判断出③错误，即可得出结论．

【解答】解：如图，在正方形 中， ， ， ，

，

，

，

，

．

，

．

，

，

， ，

，

，

，

是等腰直角三角形，

在 中， ， ，

，

，故①正确；

过点 作 于 ，交 于 ，

，

四边形 是矩形，

，

矩形 是正方形，

，

同理：四边形 是矩形，

， ， ， ，

，

，

，

，

，

，

在 中，根据勾股定理得， ，

的周长为 ，故②正确；

，

，

，

，

，故③错误，

正确的有①②，

故选： ．

【点评】此题主要考查了正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出 是解本题的关键．

二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）因式分解： 　 　．

【分析】原式提取公因式即可．

【解答】解：原式 ．

故答案为： ．

【点评】此题考查了因式分解 提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

12．（4分）方程 的解是　 　．

【分析】方程移项，把 系数化为1，即可求出解．

【解答】解：方程 ，

移项得： ，

解得： ．

故答案为： ．

【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．

13．（4分）已知点 在反比例函数 的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．

【分析】把点 代入反比例函数 中求出 的值，从而得到反比例函数解析式．

【解答】解： 反比例函数 的图象上一点的坐标为 ，

，

反比例函数解析式为 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

14．（4分）函数 中，自变量 的取值范围是　 　．

【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 ，可求 的范围．

【解答】解：

解得 ．

【点评】此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

15．（4分）从 ， ，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　 　．

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．

【解答】解：画树状图如下

共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有 和 这2种结果，

该点在第三象限的概率等于 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 所求情况数与总情况数之比．

16．（4分）设 ， ， 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 与 的距离是 ， 与 的距离是 ，则 与 的距离等于　7或17　 ．

【分析】分两种情况讨论， 在 ， 之间或 在 ， 同侧，进而得出结论．

【解答】解：分两种情况：

①当 在 ， 之间时，如图：

与 的距离是 ， 与 的距离是 ，

与 的距离为 ．

②当 在 ， 同侧时，如图：

与 的距离是 ， 与 的距离是 ，

与 的距离为 ．

综上所述， 与 的距离为 或 ．

故答案为：7或17．

【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．

17．（4分）如图，在矩形 中， ，将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕为 ．若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则 　 　．

【分析】依据△ △ ，即可得出 ，再根据折叠的性质，即可得到 ，最后依据勾股定理进行计算，即可得到 的长，即 的长．

【解答】解：由折叠可得， ， ， ， ， ，

，

，

又 ， ，

△ △ ，

，

，

△ 中， ，

，

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

18．（4分）观察下列等式：

；

；

；

；

已知按一定规律排列的一组数： ， ， ， ， ， ， ， ， ，若 ，则 　 　（结果用含 的代数式表示）．

【分析】由题意可得 ，再将 代入即可求解．

【解答】解： ，

．

故答案为： ．

【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律： ．

三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）

19．（10分）（1）计算： ．

（2）先化简，再求值： ，自选一个 值代入求值．

【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

，

当 时，原式 ．

【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（10分）如图， ， ， ．求证： ．

【分析】首先利用平行线的性质得出 ，进而利用全等三角形的判定定理 ，进而得出答案．

【解答】证明： ，

，

，

，

在 和 中， ，

．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、 ．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；

（2） 　36　， 　　；

（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？

【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占 ，即可求得选择篮球的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到 、 的值；

（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人．

【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有： （人 ，

选择篮球的学生有： （人 ，

补全的条形统计图如右图所示；

（2） ，

，

故答案为：36，16；

（3） （人 ，

答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在 处测得北偏东 方向上有一座灯塔 ，再向东继续航行 到达 处，这时测得灯塔 在北偏东 方向上，已知在灯塔 的周围 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？

【分析】过 作 于点 ，根据方向角的定义及余角的性质求出 ， ，证 ，根据等角对等边得出 ，然后解 ，求出 即可．

【解答】解：过点 作 ，垂足为 ．如图所示：

根据题意可知 ， ，

，

，

，

在 中， ， ， ，

，

，

这艘船继续向东航行安全．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和三角函数定义是解题的关键．

四、（本大题满分12分）

23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的 ，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．

（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？

（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）设每一个篮球的进价是 元，则每一个排球的进价是 元，根据用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个列出方程，解之即可得出结论；

（2）设文体商店计划购进篮球 个，总利润 元，根据题意用 表示 ，结合 的取值范围和 为整数，即可得出获得最大利润的方案．

【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是 元，则每一个排球的进价是 元，依题意有

，

解得 ，

经检验， 是原方程的解，

．

故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；

（2）设文体商店计划购进篮球 个，总利润 元，则

，

依题意有 ，

解得 且 为整数，

为整数，

随 的增大而增大，

时， 最大，这时 ，

（个 ．

故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．

【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．

五、（本大题满分12分）

24．（12分）如图， 是 的直径， 为 上一点，连接 ， 于点 ， 是直径 延长线上一点，且 ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）若 ， ，求 的长．

【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据余角的性质得到 ，求得 ，根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，求得 ，于是得到结论；

（2）设 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接 ，

是 的直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是 的切线；

（2）解： ，

，

设 ， ，

， ，

，

，

，

．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．

六、（本大题满分14分）

25．（14分）如图，已知抛物线 经过两点 ， ， 是抛物线与 轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为 ，求 关于 的函数表达式（指出自变量 的取值范围）和 的最大值；

（3）点 在抛物线上运动，点 在 轴上运动，是否存在点 、点 使得 ，且 与 相似，如果存在，请求出点 和点 的坐标．

【分析】（1）根据点 、 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）过点 作 轴，交 于点 ，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 的坐标，根据点 、 的坐标利用待定系数法即可求出直线 的解析式，设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，进而可得出 的长度，利用三角形的面积公式可得出 ，配方后利用二次函数的性质即可求出 面积的最大值；

（3）分两种不同情况，当点 位于点 上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点 ，点 的坐标即可．

【解答】解：（1）将 、 代入 ，

得： ，解得： ，

抛物线的解析式为 ．

（2）过点 作 轴，交 于点 ，如图1所示．

当 时， ，

点 的坐标为 ．

设直线 的解析式为 ，

将 、 代入 ，得：

，解得： ，

直线 的解析式为 ．

设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，

，

，

当 时， 面积取最大值，最大值为 ．

点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，

．

（3）存在点 、点 使得 ，且 与 相似．

如图2， ，当点 位于点 上方，过点 作 轴于点 ，

， ，

，

若 与 相似，则 与 相似，

设 ， ，

， ，

当 时， ，

，

解得， ，

，

此时 ，

，

当 时， ，

，

解得 ，

， ，

此时 ．

如图3，当点 位于点 的下方，

过点 作 轴于点 ，

设 ， ，

， ，

同理可得： 或 ， 与 相似，

解得 或 ，

， 或 ，

此时 点坐标为 或 ．

综合以上得， ， 或 ， ， 或 ， ， 或 ， ，使得 ，且 与 相似．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．