【333854】难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律

难点探究专题：平面直角坐标系中的变化规律

——掌握不同规律，以不变应万变

类型一　沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究

1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．

2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P₁(0，1)，P₂(1，1)，P₃(1，0)，P₄(1，－1)，P₅(2，－1)，P₆(2，0)，…，则点P₂₀₁₇的坐标是________．

类型二　绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究

3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有(　　)

A．10个 B．20个

C．40个 D．80个

第3题图　　 第4题图

4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…得到螺旋折线(如图)，已知点P₁(0，1)，P₂(－1，0)，P₃(0，－1)，则该折线上的点P₉的坐标为(　　)

A．(－6，24) B．(－6，25)

C．(－5，24) D．(－5，25)

类型三　图形变化中的点的坐标探究

5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O₁，点O₂，点O₃…，则O₁₀的坐标是(　　)

A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)

C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)

6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA₁B₁，第二次将三角形OA₁B₁变换成三角形OA₂B₂，第三次将三角形OA₂B₂变换成三角形OA₃B₃.已知A(1，3)，A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，B(2，0)，B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0)．

(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA₃B₃变换成三角形OA₄B₄，则A₄的坐标是__________，B₄的坐标是__________；

(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA_nB_n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A_n的坐标是__________，点B_n的坐标是__________．

参考答案与解析

1．(2016，0)　解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．

2．(672，1)　解析：由已知得P₇(2，1)，P₁₃(4，1)，所以P_6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P₂₀₁₇(336×2，1)，即P₂₀₁₇(672，1)．

3．C　解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：

可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.

4．B　解析：由题意，P₅在P₂的正上方，推出P₉在P₆的正上方，且到P₆的距离为21＋5＝26，所以P₉的坐标为(－6，25)，故选B.

5．C

6．(1)(16，3)　(32，0)　(2)(2ⁿ，3)　(2^n＋1，0)

解析：(1)∵A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，∴A₄的横坐标为2⁴＝16，纵坐标为3.故点A₄的坐标为(16，3)．又∵B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0)，∴B₄的横坐标为2⁵＝32，纵坐标为0.故点B₄的坐标为(32，0)．(2)由A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ，纵坐标都是3.故点A_n的坐标为(2ⁿ，0)．由B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2^n＋1，纵坐标都是0.故点B_n的坐标为(2^n＋1，0)．