【332751】2.1 两条直线的位置关系

2.1 两条直线的位置关系

一、单选题

1.如图，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，图中与∠CAB互余的角有（   ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

2.如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子中正确的有（    ）
①    ②    ③    ④

A. ①②③                               B. ①②④                                C. ①③④                                D. ②③④

3.将三角板与直尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，与∠1互余的角共有（　　）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

4.下面角的图示中，能与30°角互补的是（　　）

A.  ​                       B.                         C.  ​                       D.  ​

5.下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（      ）

A.                                                   B. 

C.                                D. 

6.已知∠A=75°，则∠A的补角等于（   ）

A. 125°                                     B. 105°                                     C. 15°                                     D. 95°

7.如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，则这个角的度数是（   ）

A. 60°                                       B. 50°                                       C. 45°                                       D. 40°

8.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（   ）

A.                      B.                      C.                      D. 

9.如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（　　）

A. 互为余角                         B. 互为补角                         C. 互为对顶角                         D. 互为邻补角

10.如图，A，O，B在一条直线上，∠1=∠2，∠3=∠4，则图中互余的角共有（　　）

A. 5对                                       B. 4对                                       C. 3对                                       D. 2对

二、填空题

11.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD=28°，则∠BOC=________ ，∠AOC=________ ．

12.已知∠A=55°，则∠A的余角等于 ________度．

13.如图，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③∠BOC+∠AOD=180°；④∠AOC﹣∠COD=∠BOC中，正确的有________（填序号）．

14.已知∠A=30°，则∠A的补角为________ ，余角为________ ．

15.∠α=25°20′，则∠α的余角为________．

16.已知，直线AB和直线CD交与点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角是________度.

三、解答题

17.一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角？

18.如图，已知直线AB, 线段CO⊥AB于点O，∠AOD = ∠BOD，求∠COD的度数．

四、综合题

19.如图，直线AB、CD、EF相交于点O ．

（1）写出∠COE的邻补角；

（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；

（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．

20.数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：

（1）如图（1）：当∠DCE=30°时，∠ACB+∠DCE等于多少？若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．

（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高， ∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A互余的角有∠B和∠ACD共2个．
故选B．
【分析】根据互余的两个角的和等于90°写出与∠A的和等于90°的角即可．

2.【答案】B

【解析】 【解答】因为∠α和∠β互补即∠α＋∠β=180°，所以 ，所以∠β的余角为
，所以④正确；根据余角的定义①正确；因为 ，所以②正确．
【分析】互为补角的两个角有 即∠β为锐角，因为只有直角和锐角有余角，钝角没有余角．

3.【答案】C

【解析】【解答】∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∠4+∠3=90°，∠4=∠5，∠5=∠6，
∴与∠1互余的角有：∠4、∠5、∠6，
故选：C．【分析】根据对顶角相等、平行线的性质和互为余角的两个角的和为90°进行解得即可．

4.【答案】D

【解析】【解答】解：30°角的补角=180°﹣30°=150°，是钝角，
结合各图形，只有选项D是钝角，
所以，能与30°角互补的是选项D．
故选：D．
【分析】先求出30°的补角为150°，再测量度数等于150°的角即可求解．

5.【答案】D

【解析】【解答】有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角为对顶角．由此可以推导出：只有选项D中的∠1和∠2是对顶角．所以选D．【分析】掌握对顶角的定义是解答本题的关键．本题考查对顶角．

6.【答案】B

【解析】【解答】解：∠A的补角=180°﹣∠A=180°﹣75°=105°．
故答案为：B．
【分析】根据∠A的补角=180°﹣∠A，计算即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】解：设这个角为x， 由题意得，180°﹣x=3（90°﹣x）﹣10°，
解得x=40°．
故选D．
【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可．

8.【答案】B

【解析】【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故A选项错误； B、∠1与∠2是对顶角，故B选项正确；
C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项错误；
D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误．
故选：B．
【分析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．

9.【答案】A

【解析】【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
故选：A．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．

10.【答案】B

【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，∠3+∠1=90°，∠2+∠4=90°，
故选：B．
【分析】根据题意和补角的概念求出∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，等量代换即可．

二、填空题

11.【答案】28°；152°

【解析】【解答】解：∵∠AOD=28°，
∴∠BOC=∠AOD=28°，
∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣28°=152°．
故答案为：28°， 152°．
【分析】根据对顶角相等和邻补角的定义列式解答．

12.【答案】35

【解析】【解答】解：由余角定义得：90°﹣55°=35°．
故答案为：35．
【分析】由余角定义得∠A的余角为90°减去55°即可．

13.【答案】①③④

【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，故①正确；
∠AOB+∠COD不一定等于90°，故②错误；
∠BOC+∠AOD=90°﹣∠AOB+90°+∠AOB=180°，故③正确；
∠AOC﹣∠COD=∠AOC﹣∠AOB=∠BOC，故④正确；
综上所述，说法正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】根据垂直的定义和同角的余角相等分别计算，然后对各小题分析判断即可得解.

14.【答案】150°；60°

【解析】【解答】解：∵∠A=30°，
∴∠A的余角=90°﹣30°=60°，∠A的补角=180°﹣30°=150°．
故答案为：150°；60°．
【分析】根据互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°分别求解即可．　

15.【答案】64°40′

【解析】【解答】解：∠α的余角为90°﹣∠a=90°﹣25°20′=64°40′．
故答案是：64°40′．
【分析】根据相加得90 的两个角叫做互为余角，计算即可。

16.【答案】45

【解析】【解答】解：由题意得：∠BOD=3（180°－∠BOD），解得：∠BOD=45°．故答案为：45．
【分析】设直线AB与直线CD的较小的夹角为x，则∠BOD=180°－x根据已知条件∠BOD是它的邻补角的3倍可得，3x=180°－x，解得x=45°。即直线AB与直线CD的夹角是45°。

三、解答题

17.【答案】解：设这个角的度数为x°， 则根据题意得：180﹣x=3（90﹣x），
解得：x=45，
即这个锐角为45°．

【解析】【分析】设这个角的度数为x°，则根据题意得出180﹣x=3（90﹣x），求出方程的解即可．

18.【答案】解：∵ ，
∴可设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴

【解析】【分析】由"∠AOD =  ∠BOD"可列出方程，再利用余角性质求出∠COD的度数.

四、综合题

19.【答案】（1）【解答】∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD
（2）【解答】∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF
（3）【解答】∵∠BOF=90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF=90°，
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．

【解析】【分析】（1）根据邻补角的概念即可解答；（2）根据对顶角的概念即可解答；（3）因为∠BOF=90°，所以AB⊥EF ， 由此可得∠AOF ， 再根据对顶角的概念可得∠FOC的度数．

20.【答案】（1）解：∠ACB+∠DCE=180°； 若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE=180°，
理由如下：∵∠ACE+∠DCE=90°，
∠BCD+∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=90°+90°=180°
（2）解：∠ACB+∠DCE=180°． 理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°

【解析】【分析】（1）当∠DCE=30°时，利用互余计算出∠BCD，然后可得到∠ACB+∠DCE的度数；若∠DCE为任意锐角时，利用∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°，然后计算出∠ACB+∠DCE=180°；（2）利用周角定义得到∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°所以∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=180°．