【332722】1.5平方差公式

1.5平方差公式

一、单选题

1.如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法： ①a²﹣b²；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）； ④（a﹣b）² ．
其中正确的表示方法有（   ）

A. 1种                                       B. 2种                                       C. 3种                                       D. 4种

2.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（　　）

A. a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）                                B. （a+b）²=a²+2ab+b²
C. （a﹣b）²=a²﹣2ab﹣b²                                  D. a²﹣ab=a（a﹣b）

3.（4x²﹣5y）需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算（　　）
 

A. ﹣4x²﹣5y                     B. ﹣4x²+5y                      C. （4x²﹣5y）²                      D. （4x+5y）²

4.下列运算结果错误的是（　　）
 

A. （x+y）（x﹣y）=x²﹣y²                                  B. （a﹣b）²=a²﹣b²
C. （x+y）（x﹣y）（x²+y²）=x⁴﹣y⁴                 D. （x+2）（x﹣3）=x²﹣x﹣6

5.下列式子运算正确的是（　　）
 

A. （2a+b）（2a﹣b）=2a²﹣b²                       B. （a+2）（b﹣1）=ab﹣2
C. （a+1）²=a²+1                                                D. （x﹣1）（x﹣2）=x²﹣3x+2

6.下列多项式的乘法中可以用平方差公式计算的是（   ）

A. （2x+1）（﹣2x﹣1）                                       B. （2x+1）（2x+1）
C. （2x﹣1）（2x﹣2）                                          D. （﹣2x+1）（﹣2x﹣1）

7.如右图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　 ）

A. （a-b）²=a²-2ab+b²                                       B. （a+b）²=a²+2ab+b²
C. a²-b²=（a+b）（a-b）                                   D. a²+ab=a（a+b）

8.计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（ ）

A. 16x²－25y²                    B. 25y²－16x²                    C. －16x²－25y²                    D. 16x²+25y²

9.在下列多项式乘法运算中，不能运用平方差公式进行运算的是（    ）

A. (2x＋3y) (－2x＋3y)                                           B. (a－2b) (a＋2b)　　
C. (－x－2y) (x＋2y)                                               D. (－2x－3y) (3y －2x)

10.下列能用平方差公式计算的是（   ）

A. （﹣x+y）（x﹣y）     B. （x﹣1）（﹣1﹣x）     C. （2x+y）（2y﹣x）     D. （x﹣2）（x+1）

二、填空题

11.（3x+1）（3x﹣1）（9x²+1）=________．

12.计算：（x+3）（x﹣3）=________ 

13.计算：（a﹣1）（a+1）=________ 

14.计算：2009²﹣2008×2010=________ 

三、计算题

15.计算：
（1）4﹣（﹣2）^﹣2﹣3²÷（﹣3）⁰；    
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）² ．

16.计算：16（2a+1）（2a﹣1）（a⁴+ ）（4a²+1）．

17.不用计算器计算：2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）﹣3⁶⁴ ．

四、解答题

18.计算：
（1）4﹣（﹣2）^﹣2﹣3²÷（﹣3）⁰；    
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）² ．

五、综合题

19.通过学习同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算195×205．
解：195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=200²﹣5²②
=39 975．

（1）例题求解过程中，第②步变形是利用________（填乘法公式的名称）；

（2）用简便方法计算： ①9×11×101×10 001；
②（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1．

20.乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长变为（a+b），宽变为（a﹣b），此时其面积为________（写成多项式乘法的形式）；

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________（用式子表达）．

（4）运用你所得到的公式，计算下列题目：102²﹣98² ．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C

【解析】【解答】解：如图①，
图①中，大正方形面积为a² ， 小正方形面积为b² ， 所以整个图形的面积为a²﹣b²；
如图②，

一个矩形的面积是b（a﹣b），另一个矩形的面积是a（a﹣b），所以整个图形的面积为a（a﹣b）+b（a﹣b）；
如图③，

在图③中，拼成一长方形，长为a+b，宽为a﹣b，则面积为（a+b）（a﹣b）．
综上所知：矩形的面积为①a²﹣b²；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）共3种方法正确．
故选：C．
【分析】利用不同的分割方法把：原图形剪成两部分，它们分别是边长为a、a﹣b和b、a﹣b的矩形；沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们的对角线重合，拼成一个新的矩形；把原图形看作边长为a和边长为b的正方形的面积差．由此分别求得答案即可．

2.【答案】A

【解析】【解答】左阴影的面积s=a²﹣b² ， 右平行四边形的面积s=2（a+b）（a﹣b）÷2=（a+b）（a﹣b），两面积相等所以等式成立：
a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）．这是平方差公式．故选：A．
【分析】根据图中边的关系，可求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．

3.【答案】A

【解析】【解答】解：（4x²﹣5y）（﹣4x²﹣5y）=25y²﹣16x⁴ ，
故选A
【分析】两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差．

4.【答案】B

【解析】【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）=x²﹣y² ， 正确，不符合题意；
B、（a﹣b）²=a²﹣2ab+b² ， 错误，符合题意；
C、（x+y）（x﹣y）（x²+y²）=（x²﹣y²）（x²+y²）═x⁴﹣y⁴ ， 正确，不符合题意；
D、（x+2）（x﹣3）=x²﹣x﹣6，正确，不符合题意．
故选B．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．

5.【答案】D

【解析】【解答】解：A、原式=4a²﹣b² ， 错误；
B、原式=ab﹣a+2b﹣2，错误；
C、原式=a²+2a+1，错误；
D、原式=x²﹣3x+2，正确，
故选D
【分析】A、原式利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；
D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．

6.【答案】D

【解析】【解答】解：A、（2x+1）（﹣2x﹣1）不符合平方差公式，故错误； B、（2x+1）（2x+1）是完全平方公式，故错误；
C、（2x﹣1）（2x﹣2）不符合平方差公式，故错误；
D、（﹣2x+1）（﹣2x﹣1）符合平方差公式，故正确；
故选D．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a²﹣b²的特点，进行选择即可．

7.【答案】C

【解析】

【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．

【解答】第一个图形的阴影部分的面积=a²-b²；
第二个图形是梯形，则面积是： （2a+2b)•（a-b)=（a+b)（a-b)．
则a²-b²=（a+b)（a-b)．
故选C．

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键

8.【答案】A

【解析】【分析】根据平方差公式：（a+b)（a－b)=a²－b² ， 即可得到结果。
【解答】（－4x－5y)（5y－4x)=16x²－25y².
故选A.
【点评】使用平方差公式去括号的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方。

9.【答案】C

【解析】【解答】解：A、（2x+3y）（-2x+3y）符合平方差公式形式，错误；
B、（a-2b）（a+2b）符合平方差公式形式，错误；
C、（-x-2y）（x+2y）符合平方差公式形式，错误；
D、（-2x-3y）（3y-2x）不符合平方差公式形式，正确；
故选D
【分析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²即可判断．

10.【答案】B

【解析】【解答】解：A、应为（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）² ， 故本选项错误；
B、（x-1）（-1-x）=-（x-1）（x+1）=-（x²-1），正确；
C、应为（2x+y）（2y-x）=-（2x+y）（x-2y），故本选项错误；
D、应为（x-2）（x+1）=x²-x-2，故本选项错误．
故选B．
【分析】平方差公式(x+y)(x-y)=x²-y²的公式特点是：两个数的和与这两个数的差，等于这两个数的平方之差，故判定能否运用平方差公式是判定两个因式中的两数是否是两个数的和与这两个数的差.

二、填空题

11.【答案】81x⁴﹣1

【解析】【解答】解：（3x+1）（3x﹣1）（9x²+1）=（9x²﹣1）（9x²+1）=81x⁴﹣1， 故答案为：81x⁴﹣1
【分析】根据平方差公式的形式即可得出答案．

12.【答案】x²﹣9

【解析】【解答】解：（x+3）（x﹣3）=x²﹣9．
【分析】可直接用平方差公式计算．

13.【答案】a²﹣1

【解析】【解答】解：（a﹣1）（a+1）=a²﹣1．
故答案为：a²﹣1．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．

14.【答案】1

【解析】【解答】解：2009²﹣2008×2010，
=2009²﹣（2009﹣1）（2009+1），
=2009²﹣2009²+1，
=1．
【分析】因为2008×2010=（2009﹣1）（2009+1），再运用平方差公式计算出乘积，最后再算减法即可．

三、计算题

15.【答案】解：（1）4﹣（﹣2）^﹣2﹣3²÷（﹣3）⁰
=4﹣ ﹣9÷1
=4﹣ ﹣9
= ；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）² ．
=b²﹣4a²﹣a²+6ab﹣9b²
=﹣5a²+6ab﹣8b²

【解析】【分析】（1）根据0次幂、乘方、负整数指数幂，即可解答；
（2）根据平方差公式，即可解答．

16.【答案】解：原式=16（4a²﹣1）（4a²+1）（a⁴+ ） =（16a⁴﹣1）（16a⁴+1）
=256a⁸﹣1

【解析】【分析】根据平方差公式求出（2a+1）（2a﹣1）的值，再求出（4a²﹣1）（4a²+1）的值，最后再根据平方差公式求出即可．

17.【答案】解：原式=（3﹣1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）﹣3⁶⁴=（3²﹣1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）﹣3⁶⁴
=（3⁴﹣1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）﹣3⁶⁴
=（3⁸﹣1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）（3³²+1）﹣3⁶⁴
=（3¹⁶﹣1）（3¹⁶+1）（3³²+1）﹣3⁶⁴
=（3³²﹣1）（3³²+1）﹣3⁶⁴
=3⁶⁴﹣1﹣3⁶⁴
=﹣1．

【解析】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．

四、解答题

18.【答案】解：（1）4﹣（﹣2）^﹣2﹣3²÷（﹣3）⁰
=4﹣ ﹣9÷1
=4﹣
= ；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）² ．
=b²﹣4a²﹣a²+6ab﹣9b²
=﹣5a²+6ab﹣8b²

【解析】【分析】（1）根据0次幂、乘方、负整数指数幂，即可解答；
（2）根据平方差公式，即可解答．

五、综合题

19.【答案】（1）平方差公式
（2）解：①原式=9999×10001=（10000﹣1）×（10000+1）=100000000﹣1=99999999； ②原式=（2﹣1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1
=（2²﹣1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1
=（2⁴﹣1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1
…
=2⁶⁴﹣1+1
=2⁶⁴ ．

【解析】【解答】解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式；
【分析】（1）观察解题过程确定出乘法公式即可；（2）①原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；②原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．

20.【答案】（1）a²﹣b²
（2）（a+b）（a﹣b）
（3）a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）
（4）解：102²﹣98²=（102+98）×（102﹣98）
=200×4
=800

【解析】【分析】（1）利用正方形的面积公式得：阴影的面积=a²﹣b²；（2）利用长方形的面积公式得矩形面积：（a+b）（a﹣b）；（3）根据等量关系易得：a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）；（4）运用平方差公式计算即可．