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五年级

【320541】【期末必刷】五年级数学上学期期末满分特训营常考易错卷（二）人教版（含答案）
2025-01-08
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【320540】【课本】5年级第26讲_比较与估算
2025-01-08
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【320536】【课本】5年级第22讲_物不知数与同余
2025-01-08
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【320538】【课本】5年级第24讲_列方程解应用题
2025-01-08
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【320537】【课本】5年级第23讲_工程问题
2025-01-08
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【320535】【课本】5年级第21讲_余数的性质与计算
2025-01-08
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【320534】【课本】5年级第20讲_数字谜综合一
2025-01-08
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第二十讲数字谜综合一

在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法．它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还要进一步的学习和训练．但在这一讲中，我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相应的数字谜问题．

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已知“ ”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．已知不是8的倍数，那么四位数是多少？
「分析」解决数字谜的题目，最关键在于找突破口．本题的突破口在哪里？

在算式“ ”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．已知是8的倍数，那么四位数是多少？

例题2．

从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．

「分析」从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为952．但是把952写成两个两位数的乘积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的．我们不妨先把952分解质因数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法．

练习2．从1~9中选出8个数字填入下式的各个方框中，使等式成立．

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例题3．

用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940．另外三个数可能是多少？

「分析」其中四位数是2940，那么组成另外三个数的6个数字就确定了．这四个数两两互质，那么另外三个数都与2940互质，我们就从2940的质因数构成入手．

练习3．

用1、2、3、4、5、6、7这7个数字恰好组成一个一位数和两个三位数，每个数字只用一次，使得这三个数两两互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，那么其他两个数是多少？

在前面的例题中，我们通过分解质因数，分析其质因数的构成，从而解决了问题．那如果没有给出具体的数，而是由数字或字母构成的特殊形式又该如何？是否也能分解质因数呢？

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例题4．

．

在上面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“ ”所代表的两位数是多少？

「分析」对于乘法数字谜问题，我们一般先考虑个位数字．“数”×“学”的个位数字是“学”，但符合这一条件的情况有好几种，讨论的过程会很长．我们不妨再来仔细观察算式，能发现题中的“ ”有什么特点吗？

练习4．

．

在上面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么“ ”所代表的两位数是多少？

例题5．

在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．“ ”代表的六位数是多少？

「分析」“ ”、“ ”都是11的倍数，那么“ ”所代表的三位数又是多少的倍数呢？

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在暑期中，我们学习了分数与循环小数的互化与四则运算，其实在数字谜里面也有分数与循环小数形式的问题．要解决这一类问题，需要我们灵活运用学过的循环小数的相关知识．

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例题6．

已知a是一个自然数，A、B是1至9中的数字，最简分数．请问：a是多少？

「分析」等式两边一个是分数，一个是循环小数，可以都化成分数来比较．

美妙的竖式

荣获斯大林奖金的前苏联数学家、教育家柯尔詹姆斯基曾以开发心灵美为题，列举了一些令人叹服的巧妙算法，其中之一如下：

例：．

8

8

8

8

3

3

3

3

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

9

6

2

3

7

0

4

这道题如果只是要算出结果，办法有很多，甚至拿计算器一按答案就出来了．但结果并非是重点，趣味性才是它的精髓所在．

在算式的两个方框中填入一个相同的数字，使得等式成立且等式关于等号是对称的．

用0至9这十个数码各1次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各1个，并使这四个数两两互质．已知组成的四位数是1860，那么其他的三个数是多少？

将1~9这九个数字各一个填到下面的横式中，使等式成立（其中1，5，6已经填好）．

在算式“ ”中，“钓”、“鱼”、“岛”各代表一个不同的数字，要使算式成立，那么表示的三位数是多少？

已知a是一个自然数，b是一个1至9中的数字，如果，那么a是多少？

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【320533】【课本】5年级第19讲_分数裂项
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对分数裂项的理解和应用，包括分数的裂和、裂差、分数数列的计算等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对分数裂项基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对分数裂项应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如分数的裂和、裂差、分数数列的计算等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对分数裂项的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320530】【课本】5年级第16讲_分数应用题
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对分数应用题的理解和应用，包括分数的基本概念、分数的计算、分数应用题的解法等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对分数基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对分数应用题应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如分数的计算、分数应用题的解法等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对分数的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320531】【课本】5年级第17讲_比例应用题
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对比例应用题的理解和应用，包括比例的基本概念、比例的性质、按比例分配、比例的计算等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对比例基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对比例应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如按比例分配、比例的计算等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对比例的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320532】【课本】5年级第18讲_直线形计算中的比例关系
2025-01-08
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第十八讲直线形计算中的比例关系

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在前面的讲次中我们已经学习了两个等高三角形之间的倍数关系，下面我们复习一下其中的基本结论．

当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．

如图所示，对于三角形ABD与三角形BDC，它们有共同的高BH，可知．

例题1．如图，AE:EB=3:2，CD:DB=7:5，三角形ABC的面积是60，求三角形AED的面积．

「分析」图中是否有等高的三角形？

练习1．如图，，三角形ABC面积为120，求三角形AED的面积．

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在前面的漫画中我们认识了“小黎飞镖”．把“飞镖”立起来（如图），标好字母，会发现两个三角形：三角形ADE与三角形ABC．这两个三角形有一个公共的角A，并且角A的两边AD、AE分别在AB、AC上．对于符合这种情况的三角形ADE与三角形ABC，我们称之为“共角三角形”．

对于这两个“共角”的三角形，它们的面积之比等于对应两边长度之比的乘积，例如：在“小黎飞镖”中，有．（同学们，可以想一想如何来证明这个结论．提示：连结四边形BDEC的一条对角线）

例如：如果在“小黎飞镖”中，D点是AB上靠近B的3等分点，E点是AC上靠近A的3等分点，那么，，那么三角形ADE的面积就是三角形ABC面积的．

有了这个结论，在解决一些问题时，就方便很多了．请看下面的问题．

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例题2．如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是多少？

「分析」△ADE占△ABC的几分之几？应该怎么利用鸟头模型来计算？

练习2．三角形ABC中，BD的长度是AB的，AE的长度是AC的．三角形AED的面积是8，那么三角形ABC的面积是多少？

例题3．如图，已知长方形ADEF的面积是16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少？

「分析」鸟头模型中有两个共角的三角形，可是在本题中只有一个三角形，另外一个三角形应该怎么构造呢？

练习3．如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE的面积是多少？

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接着，我们来看一看在任意四边形中三角形之间的面积关系．如图，对于一个任意的四边形ABCD，连结对角线AC和BD，将整个四边形分成4个小三角形，由等高三角形的基本结论，我们可以得到如下关系：

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例题4．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成4个部分．三角形BOC的面积是2平方千米，三角形COD的面积是3平方千米，三角形AOB的面积是1平方千米．如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？

「分析」△BOC、△COD和△AOB的面积都知道了，那么△AOC的面积是多少呢？

练习4．四边形ABCD中，AC、BD两条对角线交于O点，三角形ABO的面积为6，三角形AOD的面积为8，三角形BOC的面积是15，那么四边形ABCD的面积是多少？

例题5．如图，△ABC的面积是36，并且，，，试求△DEF的面积．

「分析」同学们能从图形中发现“共角三角形”吗？如何利用这些三角形来计算呢？

例题6．图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果△ABD的面积是30平方厘米，△ABC的面积是48平方厘米，△BCD的面积是50平方厘米．请问：△BOC的面积是多少？

「分析」题目中给出了3个大三角形的面积，能不能找出四个小三角形之间的面积关系呢？

三角形中的五心

重心：三角形各边上的中线交于一点，称为三角形重心；

垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；

外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；

内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，称为三角形旁心．

如图，△ABC中，BD的长度是AB的，如果△ABC的面积为15，那么△ADC的面积是多少？

如图，，，三角形ABC的面积是84，三角形AED的面积是多少？

如图，，，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？

如图所示，在长方形ABCD中，，，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影部分的面积是多少？

如图，四边形ABCD中，AC、BD两条对角线交于O点，△ADO的面积为30，△ABO的面积为6，△DOC的面积是20，那么四边形ABCD的面积是多少？

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【320529】【课本】5年级第15讲_公约数与公倍数进阶
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对公约数与公倍数进阶的理解和应用，包括最大公约数、最小公倍数的计算、性质、反求原数等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对公约数与公倍数基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对公约数与公倍数应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如计算最大公约数、最小公倍数、解决实际问题等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对公约数与公倍数的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320528】【课本】5年级第14讲_公约数与公倍数初步
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对公约数与公倍数的理解和应用，包括最大公约数、最小公倍数的定义、计算方法（短除法、分解质因数法、辗转相除法）等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对公约数与公倍数基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对公约数与公倍数应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如计算最大公约数、最小公倍数、解决实际问题等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对公约数与公倍数的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320524】【课本】5年级第10讲_约数与倍数
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对约数与倍数的理解和应用，包括约数的定义、约数的计算、约数的性质、完全数等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对约数与倍数基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对约数与倍数应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如计算约数个数、约数和、完全数等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对约数与倍数的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320527】【课本】5年级第13讲_逻辑推理二
2025-01-08
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第十三讲逻辑推理二

相信学们之前已经接触过一些有趣的逻辑推理题目，其中比较典型的一类题目就是让我们来判断问题的真假．还记得我们用什么方法来判断吗？对了，假设法！假设法就像是测谎仪，用它来测一测，就知道谁说的是真话，谁说的是假话了．

除此之外，如果有两个人说的话正好相反，那么我就可以断定其中必然有一个人说的是真话，另一个人说的是假话．我们可以把这个方法称为矛盾分析法．

好了，下面就开始我们的推理之旅吧！

例题1．3位女神分别说了如下的话．
雅典娜（智慧女神）：“阿佛洛狄忒不是最美的．”
阿佛洛狄忒（爱和美的女神）：“赫拉不是最美的．”
赫拉（天后）：“我是最美的．”
只有最美的女神说了真话，请问她是谁？

「分析」阿佛洛狄忒和赫拉的话是互相矛盾的，据此可以推理出什么呢？

懒懒和笨笨是两只小猪，一只说真话，一只说假话．而且它们一只是公的，一只是母的．懒懒说：“说谎的是母猪．”笨笨说：“说谎的不是母猪．”请问懒懒和笨笨谁是母猪？

例题2．艾趣、艾吕和艾游三姐妹参加了去英国的旅行团．回国后，三人向朋友们分享去英国的经历：
艾趣：“我们去了爱丁堡，没去湖泊区，但参观了北威尔士．”
艾吕：“我们去了爱丁堡，也去了湖泊区，但没有参观北威尔士．”
艾游：“我们没有去爱丁堡，但是去了北威尔士．”
已知每个人都说了一句谎话，那么她们三人到底去了哪些景区？

「分析」如果要用假设法，先根据谁的话来作假设会更简单一些？

一位农夫建了一个三角形的鸡窝，三边都是等高的铁丝网．这位农夫在笔记本上做了如下记录：
（1）面向仓库那边的铁丝网价钱：10美元；
（2）面向水池那边的铁丝网价钱：20美元；
（3）面向住宅那边的铁丝网价钱：30美元．
而这三个价钱中有一个是错的．又知道每一边铁丝网的价钱都是10美元的倍数，且三边铁丝网的价钱互不相同．那么这位农夫一共花了多少钱买铁丝网？

除了真假问题之外，还有一类题目是告诉我们一些条件让我们做出判断或计算，我们可以把这类问题称为条件推理问题．

例题3．现在要从六个人中挑选几个去参加数学竞赛，有以下要求：
（1）赵甲和钱乙这两人至少去一个；
（2）赵甲和李丁不能都去；
（3）赵甲、周戊和吴己这三个人中要去两人；
（4）钱乙和孙丙要么都去，要么都不去；
（5）孙丙和李丁要去一人；
（6）如果李丁不去，周戊也不去．
应该挑选哪几个人去？

「分析」虽然这道题目不是真话假话问题，但是也可以用假设法来解决．根据第几个条件作假设会简单一些？

A，B， C， D四名学生猜测自己的数学成绩．A说：“如果我得优，那么B也得优．” B说：“如果我得优，那么C也得优．” C说：“如果我得优，那么D也得优．”结果大家都没说错，但是只有两个人得优．谁得了优？

例题4．热火队和雷霆队为了争夺NBA总决赛的冠军，斗得难分难解．在今天晚上的比赛中：
（1）两队都没有换过人；
（2）除了三名队员外，其他队员得分都互不相同．这三名队员都得了22分，但是不在同一个队中；
（3）全场最高个人得分是30分，只有三名队员得分不到20；
（4）热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差3分；
（5）雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列．
这场比赛谁胜谁负？比分是多少？

「分析」因为每个队都没有换过人，所以各队总分都是五个数的和．根据第二个条件和第五个条件可知，雷霆队有一个22分，热火队有两个22分．接下来继续推理就容易了．

甲、乙、丙、丁四人一起打牌，每人的姓是赵、钱、孙、李中的一个．他们约好第一把赢的人可以从其他三人手中各拿100元；第二把赢的人可以从其他三人手中各拿200元；第三把赢的人可以从其他三人手中各拿300元；第四把赢的人可以从其他三人手中各拿400元．他们一共玩了4把，每人各赢了一次．又知道：
（1）第一把赢的人是孙先生；
（2）第二把赢的人是乙；
（3）第三把赢的人是钱先生；
（4）第四把赢的人是丙；
（5）打牌之前李先生的钱最多，打牌后丁的钱最多．
那么甲、乙、丙、丁分别姓什么？

例5．鹿哼、雷婷、王萍和贺纯正在进行一场精彩的室内网球双打赛，通过下面观众的议论，我们知道以下信息：
（1）鹿哼比雷婷年轻；
（2）王萍比他的两个对手年龄都大；
（3）鹿哼比他的搭档年纪大；
（4）鹿哼和雷婷的年龄差距比王萍和贺纯的年龄差距更大．
请讲这四位运动员按照年龄大小顺序排列，并且找出鹿哼的搭档是谁．
「分析」这道题目与大小顺序有关系，可以先画出四个位置，然后根据题目中的条件把人放到位置上．

例题6．桌上放着3红2蓝5个帽子．张三、李四和迟哼站成一排，须老师从桌上拿出3个帽子，分别戴到三个人的头上．排队的人都能看到前面的人头上帽子的颜色，但是看不到自己的（当然也看不到后面的人，但是三个人都知道帽子一共有3红2蓝）．
这时须老师问队伍最后面的张三是否知道自己帽子的颜色，张三说不知道．
须老师又问中间的李四是否知道自己帽子的颜色，李四说不知道．
想不到这时候站在最前面的迟哼，竟然非常有把握的说：“老师，我知道我帽子的颜色！”
请问，迟哼头上的帽子是什么颜色的，他又是怎么知道的？

「分析」张三的回答是不知道．那如果张三的回答是知道，能说明什么呢？

第一次数学危机

从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。

毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。

回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。

甲、乙、丙3人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎．已知牧师从不说谎，骗子总说谎，赌徒有时说谎．有一次谈到他们的职业，甲说：“我不是牧师．”乙说：“我不是骗子．”丙说：“我不是赌徒．”总说谎的人是谁？

在一次猜谜晚会上，甲、乙、丙3人分别猜中1、2、3条谜语．甲说：“我猜中2条．”乙说：“我猜中的最多．”丙说：“我猜中的不是偶数条．”已知他们3人只有1人说谎，他是谁？

甲、乙、丙、丁在比他们的身高．甲说：“我最高．”乙说：“我不是最矮的．”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有1人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．

从分别写着努、力、学、习4个字的4张卡片中选出3张，然后将这3张卡片有字的面朝下摆在桌子上．甲、乙、丙分别猜每张卡片上是什么字，猜得的情况见右图．结果有一人全猜对了，有一人猜对2个，有一人全猜错了．全猜错的人是谁？

姐妹俩得了一种怪病：姐姐上午很老实，一到下午就说假话；妹妹正好相反，上午说假话，下午说真话．一天家里来了位客人，分不清一胖一瘦两位小姐谁是姐姐谁是妹妹，就问：“你们俩谁是姐姐？”没想到胖瘦两位小姐都说自已是姐姐．他又问：“现在几点了？”胖小姐说：“快到中午了．”瘦小姐说：“中午已经过了．”姐姐是胖小姐还是瘦小姐？

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【320526】【课本】5年级第12讲_几何计数
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对几何计数的理解和应用，包括数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对几何计数基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对几何计数应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对几何计数的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320523】【课本】5年级第09讲_流水行船问题
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对流水行船问题的理解和应用，包括顺水速度、逆水速度、静水速度、水速的计算，以及流水行船问题中的相遇与追及问题等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对流水行船问题基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对流水行船问题应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如流水行船问题中的相遇与追及问题，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对流水行船问题的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320525】【课本】5年级第11讲_分数与循环小数
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对分数与循环小数的理解和应用，包括分数与循环小数的互化、循环小数的加减法、循环小数的周期性等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对分数与循环小数基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对分数与循环小数应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如分数与循环小数的互化、循环小数的周期性等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对分数与循环小数的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320522】【课本】5年级第08讲_分数计算与比较大小
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对分数计算与比较大小的理解和应用，包括分数的加减法、分数的乘除法、分数的大小比较等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对分数计算与比较大小基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对分数计算与比较大小应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如分数的巧算、分数的大小比较等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对分数计算与比较大小的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320521】【课本】5年级第07讲_解方程与解方程组
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对解方程与解方程组的理解和应用，包括一元一次方程、二元一次方程组的解法等。

难易程度：整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对解方程与解方程组基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升，结合实际场景，考查学生对解方程与解方程组应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如解方程组、解方程等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对解方程与解方程组的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320520】【课本】5年级第06讲_直线形计算中的倍数关系
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对直线型计算中倍数关系的理解和应用，包括图形的面积计算、图形各部分之间的面积关系、长度与面积的倍数关系等。

难易程度：整体难度较高。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对直线型计算中倍数关系基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度较高，结合实际场景，考查学生对直线型计算中倍数关系应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如长方形和三角形的面积关系、辅助线的添加等，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对直线型计算中倍数关系的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320519】【课本】5年级第05讲_分数基本计算
2025-01-08
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第五讲分数基本计算

一、分数的定义

实际生活中，人们在进行测量和计算时往往不能得到整数的结果，为了适应实际的需要，人们发明了分数来表示这些非整数的结果．

一般来说，把一个整体分成若干等份，取其中的一份或几份所表示的数就叫做分数．注意，一个物体或一些物体都可以看做一个整体．如图所示，如果将一个圆平均分成四份，那么取其中的一份用分数表示就是，取另外的三份用分数表示就是，如果将四份都取出，那用分数表示就是，也就是单位“1”了．

二、分数的分类及转化

所有分数可以分成三类：真分数，假分数和带分数．

我们把分母比分子大的分数称为真分数，例如：、、、…；

把分子比分母大或分子分母相等的分数称为假分数，例如：、、、…；

把包含整数部分的分数称为带分数，例如：、、、…．

注意：（1）在书写分数的时候不要将带分数与假分数混淆起来，即不能出现所谓的“带假分数”如：，正确的写法是或；

（2）带分数都可以写成一个整数与一个真分数相加的形式．

假分数转化成带分数：

非常简单，只需做一个带余除法．分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子．例如：将化为带分数，，则．

有的时候会发现假分数的分子除以分母之后，刚好除尽没有余数，那么这时假分数就转换成了整数．例如：、．

带分数转化成假分数：

刚好是带余除法的逆运算．分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子．例如：．

【分析】熟练掌握假分数与带分数的转化法则即可．

（1）将下面的假分数转化成带分数或整数．

，，，，．

（2）将下面的带分数转化成假分数．

，，，，．

三、分数的基本性质及约分、通分

在学习分数的运算之前，我们要先学会分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变．

利用分数的这种性质，我们可以把分数的分子、分母同时除以某个数，使得分数的大小不变，这个过程叫作约分．例如：．不能再约分了，像这样的，不能再约分的分数叫做最简分数．

根据分数基本性质，把几个分母不同的分数分别化成与原分数相等的同分母分数，叫做通分．如：将，这两个分数通分，可以分别变为：，．

【分析】在进行约分和通分时，一定要注意分子和分母要同时乘或除以一个数，否则分数的大小就会发生改变．

（1）将下列分数约分成最简分数：

，，，．

（2）将下面几组分数进行通分：

① ，；② ，，；③ ，，，．

四、分数的四则运算

首先，先来看一下分数的加减法：

分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数．

【分析】前面练习过通分的方法，现在终于能派上用场了．

计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．

然后来看一下分数的乘法．分数的乘法计算起来比加减法更方便，但同学们要注意，计算时要把带分数化为假分数再计算．

分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，其中能约分的可以先约分．

在介绍分数的除法之前，我们先要介绍一下倒数．顾名思义，倒数就是倒过来的分数，将一个分数的分子和分母倒过来得到的新的分数就叫做原分数的倒数，例如的倒数就是．

注意：（1）一个整数的倒数就是这个整数分之一．例如，的倒数就是．

（2）带分数需要化成假分数，才能计算倒数．例如，的倒数就是．

（3）倒数与原数的乘积为1．

知道了倒数的概念，就可以计算分数的除法了．

分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数．

【分析】熟练掌握乘除法的运算法则即可．

（1）；（2）；（3）；（4）．

掌握了分数运算的基本方法之后，我们就可以来做分数的混合运算了．分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序是一样的．如果有括号要先算括号里边的，先乘除后加减，同级运算就按照从左到右的顺序计算．

【分析】熟练掌握分数加减乘除的运算法则即可．同整数计算一样，也要先乘除后加减．

【分析】这个新的运算“*”看起来很是陌生，还是赶紧转化成我们比较熟悉的运算方式吧．

作业

将下面的假分数转化成带分数或整数．

，，，，．

将下面的带分数转化成假分数．

，，，，．

计算下列各式：

（1）；（2）；（3）．

计算下列各式：

（1）；（2）；（3）．

计算下列各式：
（1）；（2）；

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【320518】【课本】5年级第04讲_环形路线
2025-01-08
试题简介

考察范围：本试卷主要考察学生对环形路线问题的理解和应用，包括环形路线的相遇问题、追及问题、周期性等。

难易程度：整体难度较高。基础训练部分以选择题和填空题为主，重点考查学生对环形路线基本概念的掌握；拓展运用部分的解答题和计算题难度较高，结合实际场景，考查学生对环形路线应用的灵活掌握。

试题亮点：试卷设计层次分明，从基础到拓展逐步提升难度，符合学生认知规律。题目设计新颖，如环形跑道上的相遇和追及问题，增强学生对数学的实际应用能力。同时，通过多种题型考查学生对环形路线的灵活运用，有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。...
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【320517】【课本】5年级第03讲_质数与合数
2025-01-08
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第三讲质数与合数

什么是质数？

每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：，， ……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称为合数．而像2，3，7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数．如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数．

严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．注意，1既不是质数也不是合数．

我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数．

_____________________________________________（填写在横线上）

相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松．质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数．请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数：

同学们还可以这样做：从大到小写出100以内的质数．如果你能一个不少地写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了^_^．

当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角．在100以上还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数：101，103，107，109．

【分析】1~56以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了．

自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？

【分析】对于第1问，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数．那么后两问中的质数可以都是奇数吗？

如果三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？

通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解．下面我们来学习这一讲中最重要的内容：分解质因数．分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，，．同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的．

分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将30分解质因数，在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性．

100在分解质因数时也可以写成：；280在分解质因数时也可以写成．这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数个数的数叫作指数，如：

这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略．

如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要一一验算197以内的所有质数吗？

同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个就能判断．例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够了！因为比197大．类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为比2011大．有了这个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了．

「分析」将一个数分解质因数，可以从最小的质数开始，一个一个去试商，写成短除的形式．

请把下面的数分解质因数：

（1）373；（2）12660．

在整数问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数．解决这类问题的方法同样是质因数分解．下面我们来看一个例题．

【分析】乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾就有多少个连续的0．注意到，我们只需要计算这个算式中含有的质因数2和5的个数就可以了．

算式的计算结果的末尾有多少个连续的0？

分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法，大家一定要能熟练的将一个数分解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养．下面我们来看看如何利用分解质因数来解决实际的问题．

「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数．由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近．

【分析】完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的次数都是偶数．而，它不是一个平方数．它最小再乘上多少，结果就是平方数了？

通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处．它就像手术刀一样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚．很多看似复杂的问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单．

作业

（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？

（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？）

自然数49，87，101，103，121中，哪些是质数？

请把下面的数分解质因数：

（1）240；（2）1080．

三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？

算式的计算结果的末尾有多少个连续的0？

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【320516】【课本】5年级第02讲_整除问题进阶
2025-01-08
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第二讲整除问题进阶

上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．

截断作和

能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．

【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？

四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？

【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？

已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？

截断作差

能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．

【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．

四位数能被7整除，那么这个四位数可能是多少？

接下来我们处理一些较复杂的问题．

【分析】在本题中，能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？

已知多位数能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？

【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．

【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？

作业

在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？

四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？

四位数能被7整除，那么这个四位数是多少？

已知多位数（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？

已知多位数能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？

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