【320521】【课本】5年级第07讲_解方程与解方程组
考察范围:本试卷主要考察学生对解方程与解方程组的理解和应用,包括一元一次方程、二元一次方程组的解法等。
难易程度:整体难度适中。基础训练部分以选择题和填空题为主,重点考查学生对解方程与解方程组基本概念的掌握;拓展运用部分的解答题和计算题难度稍有提升,结合实际场景,考查学生对解方程与解方程组应用的灵活掌握。
试题亮点:试卷设计层次分明,从基础到拓展逐步提升难度,符合学生认知规律。题目设计新颖,如解方程组、解方程等,增强学生对数学的实际应用能力。同时,通过多种题型考查学生对解方程与解方程组的灵活运用,有助于培养学生的计算能力和解决问题的能力。
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方程这个词,最早见于我国古代算书《九章算术》.可见人们在很早以前就已经掌握了与方程有关的知识和方法.
相信同学们已经会解简单的一元一次方程.下面我们先对相关的概念做一个简要的复习.
我们将用等号“=”连接,表示相等关系的式子,叫做等式.而方程就是含有未知数的等式.等式有两个基本性质:
等式性质1:等式两边加上或减去一个数,结果仍相等.
如果 ,那么
.
等式性质2:等式两边乘上一个数,或除以一个不为0的数,结果仍相等.
如果 ,那么
.
如果 ,那么
.
利用等式的性质我们可以解一些简单的方程.首先我们来看一下一元一次方程.
所谓一元一次方程就是只含有一种未知数且未知数的最高次数是1的方程.
在解一元一次方程的时候,我们需要将含有未知数的项一起算,也就是合并同类项.有的时候,当含有未知数的项不在等式同一侧时,我们还需要将这样的项从等式的一侧移动到另一侧,也就是所谓的移项.注意方程中的每一项都包括数值与符号两部分,移项的时候要改变符号.
-
解下列方程:
(1) ;(2)
;(3)
.
【分析】移项的时候记得要变号哦.
(1) ;(2)
;(3)
.
有的时候,方程如果含有括号,我们要先去括号.去括号的时候特别要注意的是,如果括号前面是减号,去掉括号后,原有的项要変号.
-
解下列方程:(1)
;(2)
.
【分析】去括号的时候也要注意符号.
(1) ;(2)
.
对于更为复杂的一元一次方程,还可能含有分母,这个时候我们要先去分母.
-
解下列方程:
(1) ;(2)
.
【分析】以第一个方程为例,等号左边的分母是2,要去掉它需要左右两边都乘2或2的倍数.而要消掉右边的分母需要左右两边都乘3或3的倍数,那只需要都乘多少就可以了?
(1) ;(2)
.
通过前面的练习,相信同学们对于一元一次方程有了进一步认识.下面我们总结一下一元一次方程的一般解法:
(1)去分母(如果有分母):等号两边同时乘以各分母的最小公倍数;
(2)去括号(如果有括号):由内向外去括号;
(3)移项:把含有未知数的项移到等号的一边(通常是左边),已知数移到等号的另一边;
(4)合并同类项:把方程两边分别合并,化简成 的形式;
(5)系数化1:在方程两边同除以未知数系数a,得到方程的解 ;
(6)把得到的解代回原方程检验.
一元一次方程我们已经会解了,在解决实际问题的过程中我们还会遇到需要设两个未知数的情形.也就是可能要解二元一次方程.所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数,且未知数的次数是1.解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数,也就是所谓的消元.
加减消元法是比较常用的消元方法.该方法的步骤和要点可总结如下:
1. 若有某个未知数,它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同,就可以通过把两个方程相加或者相减的方法消去该未知数;如果没有上述特点,可以通过等式两边同乘以一个数,将其凑出可以加减消元的形式;
2. 解消元后得到的一元一次方程;
3. 把得到的解带入原方程中,求出另一个未知数;
4. 代回原方程检验.
注意:最后方程的解要写成 的形式.
-
解下列方程组:
(1) ;(2)
.
【分析】加减消元法掌握好了吗?
解下列方程组:(1) ;(2)
.
-
解方程:(1)
;(2)
;(3)
.
【分析】熟练掌握一元一次方程的解法,向更高的难度进发吧!
-
解下列方程组:
(1) ;(2)
.
【分析】解二元一次方程组最基本的想法就是“消元”,想想看,对于这两个题目是消x还是消y更好做?
应用方程和方程组可以解决应用题、几何、数论等各种类型的题目,同学们在后续的学习中就会体会到方程的强大威力.
方程的来历
方程这个名词,最早见于我国古代算书《九章算术》.《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作.书中收集了246个应用问题和其他问题的解法,分为九章,“方程”是其中的一章.这一章里的所谓“方程”,是指一次方程组.其中有一个问题实际上就是求解三元一次方程组:
古代是将它用算筹布置起来解的.如下图所示,图中各列由上而下列出的算筹表示x、y、z的系数与常数项.一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵,所以叫做方程.
上述方程的概念,在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现.其中解方程组的方法,不但是我国古代数学中的伟大成就,而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产.这一成就进一步证明:中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.
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求下列方程的解:(1)
;(2)
.
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求下列方程的解:(1)
;(2)
.
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求下列方程的解:(1)
;(2)
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解方程:
.
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解下列方程组:(1)
.(2)
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