【320521】【课本】5年级第07讲_解方程与解方程组

第七讲 解方程与解方程组

方程这个词，最早见于我国古代算书《九章算术》．可见人们在很早以前就已经掌握了与方程有关的知识和方法．

相信同学们已经会解简单的一元一次方程．下面我们先对相关的概念做一个简要的复习．

我们将用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．而方程就是含有未知数的等式．等式有两个基本性质：

等式性质1：等式两边加上或减去一个数，结果仍相等．

如果 ，那么 ．

等式性质2:等式两边乘上一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等．

如果 ，那么 ．
如果 ，那么 ．

利用等式的性质我们可以解一些简单的方程．首先我们来看一下一元一次方程．

所谓一元一次方程就是只含有一种未知数且未知数的最高次数是1的方程．

在解一元一次方程的时候，我们需要将含有未知数的项一起算，也就是合并同类项．有的时候，当含有未知数的项不在等式同一侧时，我们还需要将这样的项从等式的一侧移动到另一侧，也就是所谓的移项．注意方程中的每一项都包括数值与符号两部分，移项的时候要改变符号．

1. 解下列方程：

（1） ；（2） ；（3） ．

【分析】移项的时候记得要变号哦．

（1） ；（2） ；（3） ．

有的时候，方程如果含有括号，我们要先去括号．去括号的时候特别要注意的是，如果括号前面是减号，去掉括号后，原有的项要変号．

2. 解下列方程：（1） ；（2） ．

【分析】去括号的时候也要注意符号．

（1） ；（2） ．
 

对于更为复杂的一元一次方程，还可能含有分母，这个时候我们要先去分母．

3. 解下列方程：

（1） ；（2） ．

【分析】以第一个方程为例，等号左边的分母是2，要去掉它需要左右两边都乘2或2的倍数．而要消掉右边的分母需要左右两边都乘3或3的倍数，那只需要都乘多少就可以了？

（1） ；（2） ．

通过前面的练习，相信同学们对于一元一次方程有了进一步认识．下面我们总结一下一元一次方程的一般解法：
（1）去分母（如果有分母）：等号两边同时乘以各分母的最小公倍数；
（2）去括号（如果有括号）：由内向外去括号；
（3）移项：把含有未知数的项移到等号的一边（通常是左边），已知数移到等号的另一边；
（4）合并同类项：把方程两边分别合并，化简成 的形式；
（5）系数化1：在方程两边同除以未知数系数a，得到方程的解 ；
（6）把得到的解代回原方程检验．

一元一次方程我们已经会解了，在解决实际问题的过程中我们还会遇到需要设两个未知数的情形．也就是可能要解二元一次方程．所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数，且未知数的次数是1．解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，也就是所谓的消元．

加减消元法是比较常用的消元方法．该方法的步骤和要点可总结如下：

1. 若有某个未知数，它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同，就可以通过把两个方程相加或者相减的方法消去该未知数；如果没有上述特点，可以通过等式两边同乘以一个数，将其凑出可以加减消元的形式；

2. 解消元后得到的一元一次方程；

3. 把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数；

4. 代回原方程检验．

注意：最后方程的解要写成 的形式．

4. 解下列方程组：

（1） ；（2） ．

【分析】加减消元法掌握好了吗？

解下列方程组：（1） ；（2） ．



 

5. 解方程：（1） ；（2） ；（3） ．

【分析】熟练掌握一元一次方程的解法，向更高的难度进发吧！

6. 解下列方程组：

（1） ；（2） ．

【分析】解二元一次方程组最基本的想法就是“消元”，想想看，对于这两个题目是消x还是消y更好做？

应用方程和方程组可以解决应用题、几何、数论等各种类型的题目，同学们在后续的学习中就会体会到方程的强大威力．

方程的来历

方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．其中有一个问题实际上就是求解三元一次方程组：

古代是将它用算筹布置起来解的．如下图所示，图中各列由上而下列出的算筹表示x、y、z的系数与常数项．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．

上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．

1. 求下列方程的解：（1） ；（2） ．

2. 求下列方程的解：（1） ；（2） ．

3. 求下列方程的解：（1） ；（2） ．

4. 解方程： ．

5. 解下列方程组：（1） ．（2） ．