第二十三讲 最值问题一

最值问题，即求最大值、最小值的问题．

这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．

例题1

（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？

（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？

「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？

练习1

在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？

直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．

例题2

有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？

「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？

练习2

有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？

从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大”．

“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．

例题3

墨 爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数

米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）

「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？

练习3

墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？

例题4

请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．

「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？

练习4

请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．

例题5

墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已

知 靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那么怎样围所

得的养鸡场面积最大？

「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？

想一想

要用篱笆围一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种面积会最大呢？

在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！

例题6

各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？

「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．

课堂内外

动物之最

最 大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）

最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）

最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）

嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马

最聪明的动物：海豚（人除外）

最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）

翅 膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）

嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）

形体最小的鸟：蜂鸟

飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）

最耐寒的鸟：企鹅

路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）

速 度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）

飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）

现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）

牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）

飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）

力 气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重1141
倍的物体）

外形最奇特的鱼：海马

最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）

毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）

寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁了）

冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）

作业

1. 在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？
   
   

2. 两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？
   
   

3. 用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
   
   
   

4. 请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入算式 的方格中，使这个乘法算式的结果最大．
   
   
   

5. 各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？