第二十讲 底高的选取与组合

在之前，我们已经学习过基本直线形的面积公式．从这节课开始我们要熟练掌握基本直线形的面积公式，以便解决更为复杂的几何问题．基本直线形的面积公式如下：

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已知三角形的底和高，我们很容易算出面积．如果已知三角形的面积和一条边的长度，就可以算出以这条边为底对应的高是多少；如果已知三角形的面积和一条高的长度，就可以算出与这条高所对应的底边的长度．这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的．

练一练

下面三个三角形的面积都是60，有的高未知，有的底未知．请求出未知的长度．

需要注意的是，已知三角形面积和底（或高），求三角形高（或底）的时候，切记首先要“×2”．

例 题1

如图，在平行四边形ABCD中，三角形BCE的面积为42平方厘米，BC长为14厘米，AE长为9厘米．请问：三角形ECD的面积是多少平方厘米？

「分析」三角形已知面积和一条边，就可以求高啦！

练 习1

如图，直角梯形ABCD的上底是5厘米，下底是17厘米，三角形ACD的面积是25平方厘米．请问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

例题2

如 图，把小正方形的每边延长2厘米后，得到一个大正方形，大正方形的面积比小正方形的面积大36平方厘米．请问：小正方形的边长是多少厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？

「分析」仔细观察图形，大正方形与小正方形的面积差36其实就是哪些图形的面积和？

练 习2

如图所示，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了1米宽的水泥路．如果水泥路的总面积是24平方米，那么花坛的面积是多少平方米？

我们知道，正方形的面积等于边长的平方．但是，如果不知道边长，只知道正方形的对角线长，又如何求出正方形的面积呢？

如下图，我们把正方形沿对角线剪成两个一样的等腰直角三角形，再拼接成一个大的等腰直角三角形，总面积没有发生改变，由此可以得出正方形面积公式：

类似地，等腰直角三角形的面积等于直角边长平方的一半．如果不知道直角边长，只知道斜边长，也能求出等腰直角三角形的面积．

从图中我们也可以看出，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，而且斜边上的高还把等腰直角三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形．

例题3

如 图所示是一个由正方形ABDC和等腰直角三角形BDE组成的梯形，三角形BDE的斜边BE长6厘米，这个梯形的面积是多少平方厘米？

「分析」已知等腰直角三角形斜边长度，如何计算面积呢？正方形与等腰直角三角形有什么关系呢？

练习3

一个等腰直角三角形的斜边长为8厘米，这个等腰直角三角形的面积是多少平方厘米？

例题4

如 图，正方形ABCD被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两部分都是等腰直角三角形．已知两条截线的长度都是6厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？

「分析」注意：两条平行线把正方形截成了面积相等的三部分！

练习4

两 个等腰直角三角形如图所示摆放，恰好拼成一个直角梯形．已知较小的等腰直角三角形斜边长为4，那么这个直角梯形的面积是多少？

画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．

例题5

如 图所示，梯形ABCD的上底AD长5厘米，下底BC长12厘米．腰CD的长为8厘米，过B点向CD作出的垂线BE的长为9厘米，那么梯形ABCD的面积是多少？

「分析」观察图形，BE与CD垂直，这两条线段的位置关系是否像某个三角形的底和高呢？由此可以计算出什么吗？

例题6

如 图，直角梯形ABDC中，ACE和BDE都是等腰直角三角形．
（1）如果三角形ACE面积为8，三角形BDE面积为18．请问：梯形面积是多少？

（2）如果三角形ACE面积为9，三角形BDE面积为16．请问：梯形面积是多少？

「分析」（1）等腰直角三角形面积是8和18，可以反求出哪几条边的长度呢？要求梯形面积，又需要知道哪些线段的长度呢？（2）等腰直角三角形面积是9和16，可以反求出哪几条边的长度呢？由此可以计算出什么呢？

课堂内外

变形记

在几何图形都市里住着各种各样的图形，三角形正是几何图形都市中的一员，它每天忙碌着上下班，过着跟普通上班族一样的生活．在公司里，三角形跟上司的关系是非常不和谐的，原因是它头上长着其他图形没有的“尖角”，所以就经常的“顶撞”上司，跟上司闹矛盾，这让三角形的职业生涯并不是一帆风顺的．

话说有一天，三角形在下班途中路过了一家美容院，美容院的广告词上写着：“想改变自己吗？那就快点来加入到美容变形中来吧．从现在起，改变自己．”三角形被美容院的广告词吸引住了，它很想改变自己跟上司的关系，于是它走进美容院中，在和老板商定好协议后就开始了它的“变形”之旅了．它把自己改变成梯形，为的是去掉这个“与众不同”的尖角，少顶撞上司．经过变形后的它回到了公司，由此改变成梯形后的三角形受到上司的重用．

然而，变成梯形后的三角形虽然能受到上司的重用，但是并不能得到职位上的进一步提升．同事告诉它说：“上司很喜欢跟能广泛接触上层领导的人打交道，虽然你是改变了以前顶撞上司的态度，但是你交际面还是很狭窄了呀．”变成梯形后的三角形恍然大悟，又再一次走进那间美容院．这一次它把自己变成了正方形，完完全全的将自己的头“磨平”了．变成了正方形的它再一次引起上司们的注意，它做到了能够在私底下跟上司们打好交道．

即使如此，它还是未能完全得到上司们的信任．同事又告诉它说：“虽然你是能够做到私底下跟上司们打上交道了，可是还未能进入到上司们的私生活中，除非你能做到跟上司们有福同享，有难同当，只有这样才能真正受到上司们的重用啊．”

受到同事启发的它，又一次进入到了美容院，老板笑嘻嘻地问：“这次又想变成什么样子啊？”三角形认真的回答：“我这次想变成圆形，请把我改造成圆形吧．”于是呢，它又一次变成了圆形，变成圆形的三角形终于能走进上司的私生活中去了，上司们很喜欢它圆滑的性格，从此变成圆形的三角形享受着跟以前完全不一样的生活．

然而领导因为贪污受贿，三角形也被牵连其中……

作业

1. 下图中，平行四边形的面积是24，大正方形的边长是8，小正方形的边长是多少？

2. 如下图，长方形ABCD中，E是BC的中点，EC=5厘米，三角形FEC的面积是10平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

3. 如 下图，小正方形的边长是10厘米，阴影三角形的面积是20平方厘米．那么大正方形的边长是多少厘米？

4. 如右上图所示，已知正方形ABCD的对角线BD长20厘米，此正方形的面积是多少平方厘米？

5. A 、B两个等腰直角三角形如图所示摆放．较小的三角形的斜边是较大的三角形的直角边．已知三角形B的直角边长为4，那么整个图形的面积是多少？