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第十七讲 复杂竖式
数字谜问题是中国人在几千年前发明的数学游戏，它集中了中国古人的数学智慧．我们以前学习过算符问题与数字问题、以及竖式问题．
本讲是以前内容和方法的综合应用，重点是多位数乘除法，考察的是同学们对知识的掌握情况和分析复杂问题的能力．
竖式问题常见突破口有：
首位分析、尾数分析、进位分析：观察算式的首位、末位，分析进位；
位数分析：观察算式中数的位数，利用数值大小估算的方法；
相同位分析：利用算式中出现最多的字母或者汉字作为突破口．
在这些突破口中，数的位数是一个比较隐蔽的突破口，其实它是我们进行估算的基础．比如一个三位数乘4还等于一个三位数，那么这个乘数的百位数字就不能是3或者3以上的数字，只能是1或2．这就是位数给我们提供的信息．
有一些难题的式子中没有给出任何具体的数字，但是它给出了所有数的位数，这就提供了估算的可能．只要我们仔细观察，就很容易发现突破口，从而获得有价值的信息．
对于多位数乘法竖式，我们将它拆成若干个多位数乘一位数的乘法，和一个加法竖式，逐一观察．将它们转化成基本问题加以解决．
例
×
2
8
6
请将右面的竖式补充完整．
「分析」比较一下“□□□”和“□8”，这两个数分别是怎么来的呢？能得出什么结论呢？
练
×
8
请将右面的竖式补充完整．
找到突破口后，更重要的是学会分情况枚举讨论，而突破口的寻找就是为了缩小我们枚举讨论的范围．当然，有的时候我们也需要用到类似于奇偶性分析这样的方法来帮助解题．
例题2
在
A
B
×
C
D
1
1
D
D
8
「分析」多位数乘法竖式中，不仅包含一位数乘法的部分，还包含一个加法竖式．从哪部分更容易找到突破口呢？
练
A
B
×
C
D
2
6
D
D
1
在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：四位数
是多少？
对比较复杂的竖式问题，有时我们需要比较同一个多位数乘以两个不同的一位数，所得结果的关系或差异．
例题3
×
3
0
8
5
0
4
7
2
3
2
4
8
如图所示是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入0至9这10个数字，使得竖式成立．
「分析」中间的三个乘积有什么大小关系呢？
×
2
1
9
8
1
练习3
请将右面的竖式补充完整．
与乘法竖式比较，除法竖式就显得更复杂一些，除法竖式中包含了一位数乘法和减法，和多位数乘法类似，我们仍然将大算式拆解成小算式，以此帮助寻找解决问题的突破口．
例
题4
请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？
「
分析」除数是个三位数，它与商的百位和十位的乘积分别是234和351，你能求出除数是多少吗？
练习4
请把图中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？
例
×
3
2
9
4
5
5
请把图中的乘法竖式补充完整．
「分析」哪个多位数乘一位数的乘法可以进行末位分析？对比三个乘积，为什么有些是三位数，有些是四位数？你能填出第一个乘数的百位吗？
孤独的数字
下面是九个除法算式，它们在计算过程中分别只有l、2、3、…、7、8、9中的一个数字，要求根据除法运算规律确定出算式中的每一个未知数字．这是一些十分有趣的题目．
例
题6
请把图中的除法竖式补充完整．
「分析」这个竖式中几乎都是空格，我们只好观察位数信息．竖式中包含了五个减法，发现什么熟悉的突破口了吗？
课堂内外
细说谜语
谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“廋辞”或“隐语”．它起源于春秋战国，那时各国大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以劝谏君主采纳自己的主张，逐渐形成了谜语．汉朝时一些文人常用诗词、典故来制谜，出现了妙喻事物特征的事物谜和文字形音义的文字谜．南北朝时文人常以制谜、猜谜来斗智，制谜技巧逐渐成熟．隋唐时谜语由民间进入宫廷，许多皇帝都喜欢猜谜．
北宋时期，随着城市经济的发展，市民文化娱乐生活的丰富，猜谜成为市民的一大乐趣．南宋时，每逢元宵节，人们将自己制作的谜语挂在花灯上，供人们边观灯边猜谜取乐．南宋都城临安的灯谜居全国之首，被誉为“灯谜之乡”．明清时期元宵节猜灯谜更加盛行，并出现了研究谜语制作的专门著作．谜语就这样成了广大人民喜闻乐见的文学形式，并一直流传至今．
谜语也叫灯谜，猜谜语亦称射虎．在中国已经有2500年历史了，到清代其体系已经完备．谜语的文学性，知识性，趣味性深受广大群众喜爱．
谜语的种类繁多，主要常见的有字谜，画谜，哑谜，印章谜，成语谜，诗词谜与楹联谜等等．并且还有许多的谜格要求（就像诗词文学中的填词一样）．
谜语构成有四大要素：
谜面：是给猜谜者了解意图的谜题；
谜格：是猜谜时候的一种要求与规则（如：卷帘格 秋千格等）；
谜目：是让猜谜者猜射的范围（如：打一字 打一城市名等）；
谜底：是谜语的答案．
猜谜语之前，首先要看清楚谜面，再看看有没有谜格的要求，下来就看谜目是什么了．如果谜语没有谜格，就直接顾及谜面与谜目了．
例如：“颜料门市部”（打国家名字一）——以色列
谜面：颜料门市部；谜目：打国家名字一；谜底：以色列．
顾名思义，卖颜料的门市部，它所陈列的商品当然是各种各样
的颜料啦．
作业
在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么第二个乘数是多少？
在左下图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．则乘积是多少？
在左下图中的乘法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么乘积是多少？
在左下图中的除法竖式的方框中填入合适的数字，使得竖式成立，那么被除数是多少？
在
右图中的除法竖式的方框内填上合适的数字，使竖式成立．那么被除数是多少？
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