第二十一讲 等积变形

三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：

除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形）

例题1

如 图，已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？

「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？

练 习1

如图，E是平行四边形ABCD中的任意一点，已知△AED与△EBC的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？

下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB，它们的底相同，都是AB；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON上任取若干个点，这些点分别与A、B两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的．

我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等．

如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等．

利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．

例 题2

如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米，高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？

「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？

练 习2

如图，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

例题3

如 图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？

练 习3

如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？

在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进

而寻找同底等高、面积相等的三角形．

例题4

如 图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点，已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的三角形一共有哪几个？

「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！

练习4

如 图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？

画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．

在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化．

例题5

如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影部分的面积．

「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！

如 右图，梯形ABCD中，对角线相交于O点，由于AD与BC平行，那么就有△ABC与△DBC同底等高、面积相等，△ABD与△ACD同底等高、面积相等．

那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ABC与△BCD都包含有△OBC，而△ABC与△BCD面积相等，那么就有△ABO与△CDO面积相等．

我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ABO与△CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”．

“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单．

例题6

如 图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积是多少？

「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？

课堂内外

蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一．

这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开．

这 个定理最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC分别相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点．

从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得．

实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可．

这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”．

混沌论中的“蝴蝶定理”：

数学的一门分支是混沌论．混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别．

混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．

西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：

丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；

坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

折了一匹战马，伤了一位骑士；

伤了一位骑士，输了一场战斗；

输了一场战斗，亡了一个帝国．

作业

1. 如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE的面积是多少平方厘米？

2. 如图，长方形ABCD的面积为6，平行四边形BECF的面积为多少？

3. 如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？

4. 如 图，长方形的长为16，宽为5．阴影三角形的面积和为多少？

5. 如 图，直角梯形ABCD中， ， ，BD和CD垂直．那么三角形ABC的面积是多少？