【319994】【课本】四年级上第11讲_整数数列计算

第十一讲 整数数列计算

在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列2，5，8，11，14，17，⋯．在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3，3称为公差．

你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗？

第m项和第n项相差 个公差（m>n）；

项数公式： ；

求和公式： ；

项数为奇数时有： ．

在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想．事实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用．

例题1

计算： ．

「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？

练习1

计算： ．

例题2

计算： （51）．

「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？

练习2

计算： （51）．

除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种．

乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 简写为 ．乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把 简写为 ，读作“6的5次方”．再举几个例子： 可以记为 ，读作“10的2次方”或“10的平方”； 可以记为 ，读作“10的3次方”或“10的立方”； 可以记为 ，读作“10的4次方”．对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如 ， 等．

已知平方差公式： （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）．

可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”．

例题3

已知平方差公式： ．

计算：（1） ；

（2） ；

（3） ．

「分析」对于 我们可以写为 ，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？

练习3

计算： ．

本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的 和 是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过．在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样．

例题4

规定运算“@”为： ．计算： ．

「分析」算式中涉及到两次“@”运算，那么应该先算哪一个呢？

练习4

规定运算 为： ，计算：（1） ；（2） ．

例题5

计算： ．

「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？

例题6

计算： （51）．

「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？

课堂内外

平方和公式

计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：

平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识．

平方数列求和：

=

其中，等差数列
；………………………………………………①

剩下的部分 则是最基本的整数裂项，我们进行如下操作：

…………

相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有：

= ，

所以， = …………………②

② 减 ①，得平方和公式：

=

=

=

=

作业

1. 计算： ．

2. 计算：（1） ；（2） ．

3. 计算： ．

4. 规定运算“∗”为： ．计算 ．

5． 计算： ．