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第十一讲 整数数列计算
在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列2，5，8，11，14，17，⋯．在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3，3称为公差．
你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗？
第m项和第n项相差
个公差（m>n）；
项数公式：
；
求和公式：
；
项数为奇数时有：
．
在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想．事实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用．
例题1
计算：
．
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？
练习1
计算：
．
例题2
计算：
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？
练习2
计算：
除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种．
乘法是加法的简便运算，例如我们可以把
简写为
．乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把
简写为
，读作“6的5次方”．再举几个例子：
可以记为
，读作“10的2次方”或“10的平方”；
可以记为
，读作“10的3次方”或“10的立方”；
可以记为
，读作“10的4次方”．对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如
，
等．
已知平方差公式：
（把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）．
可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”．
例题3
已知平方差公式：
．
计算：（1）
；
（2）
；
（3）
．
「分析」对于
我们可以写为
，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？
练习3
计算：
．
本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的
和
是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过．在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样．
例题4
规定运算“@”为：
．计算：
．
「分析」算式中涉及到两次“@”运算，那么应该先算哪一个呢？
练习4
规定运算
为：
，计算：（1）
；（2）
．
例题5
计算：
．
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？
例题6
计算：
「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？
课堂内外
平方和公式
计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：
平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识．
平方数列求和：
=
其中，等差数列
；………………………………………………①
剩下的部分
则是最基本的整数裂项，我们进行如下操作：
…………
相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有：
=
，
所以，
=
…………………②
② 减 ①，得平方和公式：
=
=
=
=
作业
1. 计算：
．
2. 计算：（1）
；（2）
．
3. 计算：
．
4. 规定运算“∗”为：
．计算
．
5． 计算：
．
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