第八讲 数列规律计算

【漫画修改】

原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．

我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．

本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，… 这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．

又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，… 奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．

首先让我们来寻找以下数列的规律．

找规律

（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；
（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．

例题1

观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6，…，50．
请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是10？
（2）这个数列中所有项的总和是多少？

「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？

练习1

观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．
请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是4？
（2）这个数列中所有项的总和是多少？

例题2

观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18，…，50．
请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是2？
（2）这个数列所有项的总和是多少？

「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？

练习2

观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：
（1）这个数列中有多少项是3？
（2）这个数列所有项的总和是多少？

例题3

观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18，…，19．
请回答以下问题：
（1）这个数列共有多少项？
（2）这个数列所有项的总和是多少？

「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？

练习3

观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：
（1）这个数列共有多少项？
（2）这个数列所有项的总和是多少？

例题4

观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），… 的规律．求：
（1）第10组中三个数的和；
（2）前10组中所有数的和．

「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？

练习4

观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），… 的规律．求：
（1）第15组中三个数的和；
（2）前20组中所有数的和．

解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．

例题5

观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？

「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？

例题6

一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：
（1）第70组内的两个数之和是多少？
（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？

「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？

课堂内外

斐波那契数列

斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…

（一）兔子数列

在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律：

1. 第一个月有一对刚诞生的兔子

2. 第二个月他们可以生育

3. 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子

4. 兔子永不死去

5. 每个月兔子对数为：1，2，3，5，8，13，…

（二）神奇的自然现象

百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、55枚或89枚．这些花瓣数正好就是“斐波那契数”．

作业

1. 已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．请问：
   （1）这个数列共有多少项？
   （2）这个数列中所有数的和是多少？
   
   
   
   

2. 1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，请问：
   （1）这个数列中有多少个1？
   （2）这个数列中所有数的总和是多少？
   
   
   
   

3. 2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，请问：
   （1）这个数列共有多少项？
   （2）这个数列中所有数的和是多少？
   
   
   
   

4. 观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…．三个数为一组，请问：10第一次出现在第几组？
   该组的三个数之和是多少？
   
   
   
   
   

5. 观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，请问：
   （1）数列中有多少个1？
   （2）数列中所有数的总和是多少？