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数学试卷

【320040】【详解】四年级上第21讲_等积变形
2025-01-08
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第二十一讲等积变形

例题1

答案：50平方厘米

详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米．

例题2

答案：90平方厘米

详解：平行四边形面积是180平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米．

例题3

答案：6平方厘米

详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米．

例题4

答案：△ABD和△ABE

详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根据AD平行于BC，可以知道△ADC的面积等于△ABD；根据AB平行于DE，可以知道△ABD的面积等于△ABE．所以与△ADC面积相等的三角形有△ABD和△ABE．

例题5

答案：50平方厘米；32平方厘米

详解：
（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米．
（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米．

例题6

答案：10

详解：梯形ADCF中，阴影CDG与AFG面积相等，所以阴影总面积可以转换为△ABD与四边形OEFG，其中△ABD面积为长方形一半60，所以四边形OEFG面积为．

练习1

答案：40平方厘米

详解：平行四边形中任意一点，与四个顶点连线，分成的四个小三角形面积关系：．

练习2

答案：50平方厘米

详解：单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形．这个三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是50平方厘米．

练习3

答案：30平方厘米

简答：双层犬牙模型，可以把ABCD中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABCD面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半．所以阴影部分的面积是平行四边形ABFE面积的一半，即30平方厘米．

练习4

答案：共8个三角形；△ABC与△DBC、△ABD与△ACD、△ABO与△CDO

简答：这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等．根据AD平行于BC，可以知道△ABC的面积等于△BCD的面积；△ABD的面积等于△ACD的面积．
△ABD和△ACD有一个共同的△AOD，所以△ABO和△OCD的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等．

作业1

答案：25平方厘米

简答：根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是25平方厘米和50平方厘米．方法一：△BCE的面积是正方形面积的一半，所以△BCE的面积是25平方厘米；方法二：连接BD，△BCE和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则△BCE的面积也是25平方厘米．

作业2

答案：6

简答：三角形BCF的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积就等于长方形的面积，为6．

作业3

答案：22平方厘米

简答：红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半．所以蓝色面积为：平方厘米．

作业4

答案：40

简答：“狗牙”模型，阴影部分多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大三角形，面积为长方形的一半，面积为：．

作业5

答案：600

简答：△ABC与△BCD同底等高，所以两个三角形面积相等，△BCD底CD长30、高BD长40，面积为．

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【320037】【详解】四年级上第18讲_火车行程初步
2025-01-08
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第十八讲火车行程初步

例题1

答案：25秒；200米

详解：（1）火车通过桥，路程为桥长、车长之和，所以时间为秒；（2）每分钟行驶1000米，通过桥时间为180秒即3分钟，所以路程是米，而火车通过桥，路程为桥长、车长之和，所以车长为米．

例题2

答案：7秒

详解：火车完全在桥上的路程为桥长、车长之差，即米，所以时间是秒钟．

例题3

答案：20秒；9秒

详解：（1）从相遇到错开，火车与行人的路程和为车长，即300米，速度和是米/秒，所以时间为秒；（2）从追上到超过，火车与行人的路程差为火车车长，即144米，行人每分钟走60米，即每秒钟走1米，所以速度差是米/秒，时间是秒．

例题4

答案：10秒；120秒

详解：（1）从相遇到错开，两列车的路程和为车长之和，即380米，速度和是米/秒，所以时间为秒；（2）从追上到超过，两列车的路程差为车长之和，即720米，速度差是米/秒，时间是秒．

例题5

答案：20秒

详解：火车追行人：路程差为车长360米，时间为18秒，所以速度差为米/秒，行人速度是1米/秒，所以火车速度为21米/秒；
火车追骑车人：路程差为车长360米，速度差为米/秒，所以时间为秒．

例题6

答案：16秒

详解：从相遇到错开，两车路程和为车长之和，其速度和为米/秒，时间为4秒，所以路程和为米，即两车车长和为320米．从追上到超过，两车路程差为两车长之和，即320米，速度差为米/秒，所以时间为秒．

练习1

答案：4分钟

详解：火车通过桥，路程为桥长、车长之和，所以时间为分钟．

练习2

答案：800米

详解：火车完全在隧道中的路程为隧道长、车长之差，即米，其中隧道长度为2800米，所以车长为米．

练习3

答案：17米/秒；270米

简答：（1）从相遇到错开，火车与人的路程和是车长，即144米，用时8秒，所以可知速度和为米/秒，其中人的速度是1米/秒，所以火车的速度为17米/秒；（2）从追上到超过，火车与人的路程差为车长，已知速度差为
米/秒，用时18秒，所以路程差即车长为米．

练习4

答案：16米/秒；158秒

简答：（1）从相遇到错开，两列车的路程和是车长之和，即米，用时40秒，所以可知速度和为米/秒，其中快车的速度是24米/秒，所以慢车的速度为16米/秒；（2）从追上到超过，两车的路程差为车长之和，即米，而速度差为米/秒，所以时间为秒．

作业1

答案：20秒

简答：火车通过桥，路程为桥长、车长之和，所以时间为秒．

作业2

答案：16秒

简答：火车完全在桥上的路程为桥长、车长之差，即米，所以时间是秒钟．

作业3

答案：18米/秒

简答：从相遇到错开，火车与人的路程和是车长360米，用时18秒，所以可知速度和为米/秒，其中人的速度是2米/秒，所以火车的速度为18米/秒．

作业4

答案：20米/秒

简答：从追上到超过，火车与人的路程差是车长180米，用时10秒，所以可知速度差为米/秒，其中人的速度是2米/秒，所以火车的速度为20米/秒．

作业5

答案：48秒

简答：从追上到超过，两列车的路程差为车长之和，即576米，速度差是米/秒，时间是秒．

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【320038】【详解】四年级上第19讲_火车行程进阶
2025-01-08
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第十九讲火车行程进阶

例题1

答案：160米；200米

详解：（1）齐头并进，路程差即快车车长，米；（2）齐尾并进，路程差即慢车车长，米．

例题2

答案：450秒；90秒

详解：（1）从排尾跑到排头，路程差为队伍长度，所以时间是秒；（2）从排头跑到排尾，路程和为队伍长度，所以时间是秒．

例题3

答案：25米/秒

详解：火车30秒的路程是“ ”，28秒的路程是“ ”，时间差为秒，路程差为米，所以速度为米/秒．

例题4

答案：25米/秒

详解：乙车与小王老师的追及过程，路程差为乙车车长480米，时间为96秒，所以速度差为米/秒，小王老师速度即为甲车速度20米/秒，所以乙车速度为米/秒．

例题5

答案：200米

详解：火车120秒的路程为“ ”，80秒的路程为“ ”，比较可得火车40秒的路程为“2个车长”，即20秒的路程为“车长”，而12秒的路程为“ ”，所以火车100秒的路程为1000米，速度为米/秒，车长为米．

例题6

答案：23米/秒；210秒

详解：（1）小高的实际速度为米/秒，货车与小高的追及过程，时间为140秒，路程差为货车车长280，所以速度差为米/秒，所以货车速度为米/秒；（2）货车与客车的追及时间，路程差为两车车长之和即米，所以时间为秒．

练习1

答案：110米；165米

详解：（1）齐头并进，路程差为快车车长，米；（2）齐尾并进，路程差为慢车车长，米．

练习2

答案：6分钟

详解：从队尾跑到队头，路程差为队伍长度，所以时间是秒；从队头跑回队尾，路程和为队伍长度，所以时间是秒，一共用了秒即6分钟．

练习3

答案：15米/秒

简答：50秒的路程是“ ”，40秒的路程是“ ”，时间差为秒，路程差为米，所以速度为米/秒．

练习4

答案：10秒

简答：直达列车与小王老师的相遇过程，路程和即直达列车车长900米，速度和为米/秒，所以时间为秒．

作业1

答案：10米

简答：齐头并进，路程差为快车车长，即蛇妈妈的长度，为米．

作业2

答案：5米

简答：齐尾并进，路程差为慢车车长，即蛇宝宝的长度，为米．

作业3

答案：10秒

简答：从队尾跑到队头，速度差为队伍长度20米，所以时间为秒．

作业4

答案：180米

简答：20秒的路程是“ ”，24秒的路程是“ ”，时间差为秒，路程差为米，所以速度为米/秒，所以火车车长为米．

作业5

答案：18米/秒

简答：慢车与小王老师的相遇过程，路程和为慢车车长380米，时间为10秒，所以速度和为米/秒，小王老师速度即为快车速度20米/秒，所以慢车速度为米/秒．

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【320036】【详解】四年级上第17讲_复杂竖式
2025-01-08
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第十七讲复杂竖式

例题1

答案：

详解：

比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数十位比2小，排除0，只能是1，进而得第一个乘数个位是8；再根据结果百位的6，可得乘法竖式为．

例题2

答案：；

详解：

先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间第一个乘积）为108，即．那么就有、、、、五种可能；
再根据第二个乘式，可得AB为36和12都是不可能的；
当AB为54时，根据尾数分析可得，C为3，所以有；
当AB为27时，根据尾数分析可得，C只能是2，不是三位数，所以不成立；
当AB为18时，根据尾数分析可得，C为7，所以有；
综上所述，本题有两个答案．

例题3

答案：

详解：

先分析加法竖式，可得第一个加数为3008、第二个加数为1504、第三个加数为752；
这三个加数同时也是三个乘法算式的乘积，根据它们的倍数关系，可得竖式中第二个乘数的个位是百位的4倍、十位是百位的2倍；
那么第二个乘数就有124和248两种可能，然后分别尝试，依据“十个方框内分别填的是0~9各一个”，可以排除124，正确结果是．

例题4

答案：27027

详解：

分析竖式中的两个乘积234和351，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：、，所以除数为117、商为231；
接下来把竖式补充完整，可得被除数为27027．

例题5

答案：

详解：

如左上图，中间的三个乘数分别标为①、②、③．
首先根据中间③的末位是5，可得第一个乘数的末位是5，那么中间①的个位是0；
接下来，比较分析①和③，它们分别是由第一个乘数乘以2和3所得，而①是三位数、③是四位数，所以第一个乘数只可能是三百多或四百多，而第一个乘数乘以第二个乘数十位数字所得的乘积②为四千多，估算可得第一个乘数只能是四百多，第二个乘数十位数字只能是9；
此时，竖式已经变成如右上图所示：
根据①或②都可以判断出第一个乘数只能是495，由此可得结果为．

例题6

答案：

详解：
首先，第一个减法竖式中有“黄金倒三角”，可得被除数前两位分别是1、0，①的十位是9；
除数，所以除数十位为2，除数只可能是23或24，相应的①为92或96；
再根据被除数个位为1，可得⑧⑨个位为1，而⑨是由除数乘以一个一位数所得，根据个位分析可得除数只能是23（排除24），①为92，且商个位为7，⑧⑨为161；
此时可得，⑤为，④的百位也是1；
再观察竖式，被除数中的5所在百位所对应的中间过程没有乘积，可得商的百位为0；且⑥的百位、十位两个数字所组成的两位数要比23小，所以只能是15（百位为1、十位为5），由此可得④为116，且⑦的百位为1；
接下来分析，由于⑦是由23乘以一个一位数所得且比150小，所以可得⑦是，即商的十位是6，⑥为154；
此时，只剩下第一个和第二个减法竖式了．根据第一个减法竖式可得其被减数只能是100或101，再结合、以及第二个减法竖式差为11可得，这两个减法竖式分别是和；
至此，整个竖式全部填完，为．

练习1

答案：

详解：比较竖式中的两个乘法算式乘积的大小，可得第二个乘数个位比8大，只能是9，进而尝试分析可得，只可能是、；所以乘法竖式为．

练习2

答案：6793

详解：
先分析加法竖式，可得第一个加数（即中间的第一个乘积）为201，即．那么只可能是；
再看第二个乘式，，即，可得C等于9．

练习3

答案：

简答：先分析加法竖式，可得第一个加数为21、第二个加数为189；
其中21只可能是，所以．（本题也可以根据189和21的9倍关系确定第二个乘数中的1和9）

练习4

答案：42284

简答：分析竖式中的两个乘积372和496，它们都是由除数乘以一个一位数所得，可以得出：、，所以除数为124、商为341；
接下来把竖式补充完整，可得被除数为42284．

作业1

答案：901

简答：首先把其中的加法算式补充完整：；再根据252是28的9倍，可得只能是、，即第一个乘数一定是28，第二个乘数为901．

作业2

答案：3328

简答：首先看加法算式，可得的乘积为208，而208可以拆为或；再根据，可得AB不能是26，只能为52，而C则为6，竖式乘积为．

作业3

答案：15805

简答：第二个乘数十位数字是0；根据乘积首位为1，可得两个乘数百位都是1；然后根据第一个乘数与第二个乘数个位数字的乘积可得第二个乘数的个位数字只可能是7或者9，然后逐一尝试即可．

作业4

答案：8931

简答：，所以一定是，即除数的个位是7，商的十位是1；然后根据，可得一定是．所以除数是687，商是13，被除数是8931．

作业5

答案：39606

简答：通过第一个乘积369和第二个乘积246可得除数为123，然后逐一分析即可．

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【320035】【详解】四年级上第16讲_多位数巧算
2025-01-08
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第十六讲多位数巧算

例题1个

答案：（1）；（2）

详解：（1）；
（2）．

例题2

答案：（1）122877；（2）122096337；（3）123449999987655

详解：
（1）；
（2）；
（3）．

例题3

答案：0

详解：．

例题4

答案：

详解：

．

例题5

答案：198119811981

详解：

．

例题6

答案：（1）111098889；（2）

详解：
（1）；
（2）

．

练习1

答案：（1）；（2）

简答：（1）；
（2）．

练习2

答案：123456788876543211

简答：．

练习3

答案：0

简答：原式．

练习4

答案：

简答：

．

作业1

答案：

简答：原式．

作业2

答案：12338766；

简答：
（1） = = =12338766；
（2）

．

作业3

答案：444444000000

简答：．

作业4

答案：

简答：原式= ．

作业5

答案：234234234234

简答：

．

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【320034】【详解】四年级上第15讲_逻辑推理一
2025-01-08
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第十五讲逻辑推理一

例题1

答案：甲牧师、丙骗子、乙赌棍

详解：牧师只可能说“我是牧师”，所以甲是牧师．骗子不可能说“我是骗子”，所以乙是赌棍，那么丙就是骗子．

例题2

答案：鸡

详解：假设是鸭，则甲说对一半、乙说对一半，不成立；假设是鹅，则甲全对、乙全对，不成立；假设是鸡，则甲说对一半、乙全错、丙全对，所以成立．

例题3

答案：B

详

木工

车工

电工

钳工

徐

×

√

×

×

王

×

×

√

×

陈

×

×

×

√

赵

√

×

×

×

解：“几真几假”找矛盾：
共八个人，其中，A、E、F、H这四个人所说的一定是两真两假，B和D所说的一定是一样的，而8个人中只有3人猜对了，所以B和D所说一定是错的，他们说：“B不是第一名”，所以第一名就是B．

例题4

答案：如右表．

详解：根据②可知王、陈不是木工；根据③可知陈不是电工；
木工只能是徐或赵，而且木工只和车工下棋，且总是输给车工，由④可知，赵是木工、徐是车工．

例题5

答案：0本

详解：假设法：
假设甲对：则丙也是对的，矛盾，假设不成立；
假设乙对：则丁也是对的，矛盾，假设不成立；
假设丙对：则其他三人的话可以全错，假设可以成立，此时，A先生有0本书；
假设丁对：则其他三人必须全错，看甲、A先生藏书不是500本，看乙、A先生藏书不够1000本，看丙、A先生藏书至少2000本，出现矛盾，所以假设不成立．
所以，丙说的对，A先生实际上没有书，0本．

例题6

答案：三家分别是王、胡、宁宁；张、李、明明；陈、刘、松松

详解：王和李的孩子都是女生，所以不是松松，而且王和李不是一家；
张家女儿是明明．

王

张

陈

刘

李

胡

×

√

×

明

×

√

×

√

×

×

宁

×

×

√

×

×

√

松

√

×

×

练习1

答案：甲是赌棍

详解：骗子只能说“我不是骗子”是假话，所以乙是骗子．说“我不是牧师”的人不可能是牧师，只有是赌棍了，所以甲是赌棍，丙是牧师．

练习2

答案：甲说对了一半

详解：第一种方法：乙和丙说的完全是矛盾的，所以乙和丙一个全对，一个全错，那么甲就是一半对一半错．如果甲说的不是铁是对的，那么不是铜就是错的，所以这个矿石是铜，那么乙和丙中没有人全对，矛盾；所以甲说的不是铜是对的，这个矿石是铁，所以乙全错，而丙全对．
第二种方法：如果甲说的完全正确，则乙说“不是铁”是正确，只能是乙说对了一半，“而是锡”是错误的，该矿石不是锡，丙也是说对了一半，矛盾．用同样的方法去分析如果是乙全对或者丙全对，最后可以确定丙全对．

练习3

答案：小李

简答：“几真几假”找矛盾：
共4个人，其中，小李和小王所说一定是一真一假，而只有一个人说了假话，所以小刚和小样说的都是真话，所以玻璃是小李打碎的．

练习4

答

甲

乙

丙

丁

一

×

×

√

×

二

√

×

×

×

三

×

√

×

×

四

×

×

×

√

案：丙、甲、乙、丁

简答：第二名不会骑车、不会踢球，所以乙、丙、丁都不是第二名；
第二名是甲，甲比乙靠前，所以乙只能是三或四名；
第一、三名之前不认识，而丁和乙、丙都认识，所以，丁既不能是第一名也不能是第三名，丁是第四名；
所以乙只能是第三名、丙是第一名．

作业1

答案：第一个人

简答：第二个人只能是疯子，而第一个人不能是说真话的傻子，所以第一个人是骗子．

作业2

答案：丙是4号

简答：如果“甲是2号”对，则“乙是2号”错，“丙是4号”对，“丙是3号”错，“丁是2号”错，矛盾．只能是“乙是3号”对，“乙是2号”错，“丙是4号”对．

作业3

答案：A第三，B第二，C第一，D第四

简答：A不是第一，否则丙与丁说的矛盾．C第一，B比D快又都不是第三，只能B第二，D第四，A第三．

作业4

答案：外语

简答：先判断出丙是语文老师，则甲是数学老师，乙是外语老师．

作业5

答案：甲、一班、跳高；乙、三班、铅球；丙、二班、百米

简答：先判断乙是铅球冠军，是三班的．再判断甲是跳高冠军，是一班的．丙是百米冠军，二班的．

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【320032】【详解】四年级上第13讲_变倍问题
2025-01-08
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第十三讲变倍问题

例题1

答案：380盆

详解：设黄花的盆数是“12”，红花的盆数就是“3”，蓝花的盆数就是“4”，蓝花比红花多20盆，即“1”为20盆．学校一共有花“19”，即盆．

例题2

答案：18碗

详解：刘老师是不变量，设刘老师吃的面是“6”，则雷老师一开始吃了“2”，后来吃了“3”，即“1”为3碗，所以刘老师吃了“6” 碗．

例题3

答案：红箱子80个球，绿箱子40个球

详解：给来给去和不变，设两个箱的球一共有“12”，则原来绿箱子有球“3”，红箱子有球“9”，后来绿箱子有球“4”，红箱子有球“8”，绿箱子的球增加了“1”即10个球，所以现在绿箱子有球“4” 个，红箱子有球“8” 个．

例题4

答案：小学部270本，初中部45本

详解：同增同减差不变，设小学部的捐书量与初中部捐书量之差为“15”，则原来初中部捐书“3”，小学部捐书“18”，后来初中部捐书“5”，小学部捐书“20”，初中部和小学部都是增加了“2”即30本书，所以“1”为15本．初中部原来捐书“3” 本，小学部原来捐书“18” 本．

例题5

答案：王老师180个，麦兜60个

详解：给来给去和不变，设包子的总个数是“12”，则原来麦兜的包子个数是“3”，王老师的包子个数是“9”，后来王老师的包子个数是“4”，麦兜的包子个数是“8”，麦兜增加了“5”即抢来的100个包子，所以“1”为20个．那么王老师原来有包子“9” 个，麦兜原来有“3” 个．

例题6

答案：阿呆搬90块，阿瓜搬30块

详解：给来给去和不变，设阿呆和阿瓜一共搬了“6”，如果阿呆帮阿瓜搬，则阿瓜搬了“1”，阿呆搬了“5”；如果阿瓜帮阿呆搬，则阿瓜搬了“2”，阿呆搬了“4”．阿呆帮阿瓜搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的多10块，而阿瓜帮阿呆搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的少10块，所以阿呆减少的“1”相当于20块．而当阿呆帮阿瓜搬时，阿瓜搬了“1” 块，阿呆搬了“5” 块．原计划阿瓜搬块，阿呆搬块．

练习1

答案：690个

详解：设粉色纸鹤数量是“15”，则黄色纸鹤是“5”，绿色纸鹤是“3”，绿色和黄色纸鹤一共240个，即“8”为240个，所以“1”为30个．三种颜色的纸鹤一共有 “23”，即个．

练习2

答案：小矮人60厘米，绿巨人180厘米

详解：绿巨人是不变量，设绿巨人身高是“6”，则小矮人一开始身高“2”，后来身高“3”，即“1”为30厘米，所以原来小矮人身高“2” 厘米，绿巨人身高“6” 厘米．

练习3

答案：阿呆250块，阿瓜50块

简答：给来给去和不变，设两个人所搬的砖一共有“30”，则原计划阿瓜搬砖“5”，阿呆搬砖“25”，后来阿瓜搬砖“6”，阿呆搬砖“24”，阿瓜的砖增加了“1”即10块，所以原计划阿瓜搬砖“5” 块，阿呆搬砖“25” 块．

练习4

答案：熊大30个，熊二15个

简答：同增同减差不变，设熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“3”，则原来熊二吃蜂窝数量为“1”，熊大吃蜂窝数量为“4”，后来熊二吃蜂窝数量为“3”，熊大吃蜂窝数量为“6”，熊大和熊二都是增加了“2”即10个蜂窝，所以“1”为5个．后来熊二吃蜂窝数量为“3” 个，熊大吃蜂窝数量为“6” 个．

作业1

答案：750个

简答：设风老师吃的包子是“15”，则雨老师吃的是“3”，云老师吃的是“5”，云老师比雨老师多吃“2”，即100个包子，所以“1” 个．风老师吃了“15” 个包子．

作业2

答案：40个

简答：设大型号零件的个数是“12”，所以小型号零件原来的个数是“4”，后来是“3”，减少的“1”，即10个．李师傅原来有“4” 个小型号的零件．

作业3

答案：30只

简答：由于信鸽的总数量不变，所以设信鸽的总数量是“12”，一开始犀牛家的信鸽数量是“3”，河马家的信鸽数量是“9”，后来犀牛家的信鸽数量是“4”，河马家的信鸽数量是“8”．犀牛家的信鸽数量增加“1”，即10只，所以“1”=10只．犀牛家原来有“3” 只信鸽．

作业4

答案：240朵

简答：由于红花和黄花相差的数量是不变的，所以设红花的朵数与黄花的朵数之差是“10”，一开始黄花有“5”，红花有“15”，剩下的黄花有“2”，剩下的红花有“12”．红花和黄花分别减少了“3”，即60朵，所以“1”即20朵．剩下的红花有“12” 朵．

作业5

答案：48元

简答：由于哥哥和弟弟压岁钱的总数不变，所以设压岁钱的总数是“12”份，一开始弟弟有“3”，哥哥有“9”，后来哥哥有“4”，弟弟有“8”．弟弟增加的“5”，即20元，所以“1” 元．两人一共有“12” 元压岁钱．

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【320031】【详解】四年级上第12讲_乘法原理进阶
2025-01-08
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第十二讲乘法原理进阶

例题1

答案：96

详解：分步，分别给E、B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2、2种染法，所以一共有种染色方法．

例题2

答案：48；32

详解：（1）从左往右依次染色，分别有3、2、2、2、2种染法，共有种染色方法；
（2）分步，先染易拉罐垃圾桶，再分别给废纸、塑料、电池、其他这四个垃圾桶染色，五个垃圾桶分别有2、2、2、2、2种染法，所以一共有种染色方法．

例题3

答案：24；6；12；18

详解：（1）分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有4、3、2种选法，所以共有种；
（2）分别确定班长、学委、生活委员的人选，分别有1、3、2种选法，所以共有种；
（3）分别确定生活委员、学委、班长的人选，分别有2、3、2种选法，所以共有种；
（4）分别确定学委、班长、生活委员的人选，分别有3、3、2种选法，所以共有种．

例题4

答案：4

详解：分步，分别安排丙、甲、乙、丁，分别有1、2、2、1种选法，所以一共有种选法．

例题5

答案：18；24

详解：（1）先考虑甲，后考虑乙，再考虑其他三个人，分别有1、3、3、2、1种可能，共有种；
（2）先考虑A，后考虑E，再考虑其他三辆车，分别有2、2、3、2、1种可能，所以共有种．

例题6

答案：16

详解：一共要选5个格子放棋子，一行一行选，每行1个，而且不能在同一列，从上往下，5行分别有2、2、2、2、1种选法，所以一共有种选法．

练习1

答案：48

详解：分步，分别给B、C、A、D染色，分别有4、3、2、2种染法，所以一共有
种染色方法．

练习2

答案：6

详解：先让麦兜点，只有鱼丸油面1种可选，然后让其他3位同学依次点，分别有3、2、1种选法，共分四步，乘法原理，所以共有中不同的选法．

练习3

答案：120；72；72

简答：（1）种；
（2）先确定副班长，再依次确定其他，共有种；
（3）先确定卫生委员，再依次确定其他，共有种．

练习4

答案：8

简答：分步，分别安排甲、丙、乙、丁，分别有2、2、2、1种选法，所以一共有种选法．

作业1

答案：96．

简答：可以按照萱萱、小高、墨莫、阿呆、阿瓜的顺序安排座位，有种．安排座位的顺序不唯一．

作业2

答案：24

简答：可以按照A、B、C的顺序染色，种．染色顺序不唯一．

作业3

答案：96

简答：可以按照A、B、C、D、E的顺序染色，有种．染色顺序不唯一．

作业4

答案：8

简答：按照乙、甲、丙、丁的顺序安排，有种排法．

作业5

答案：12

简答：一行一行选位置，第一行有4个格子可选，即4种选法；第二行还有3个格子可选，即有3种选法．因此有种不同的放法．

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【320033】【详解】四年级上第14讲_年龄问题
2025-01-08
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第十四讲年龄问题

例题1

答案：18年后；2年前

详解：小高和父亲年龄差30岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高2倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“2”，差值为“1”，即30岁，则当小高30岁，父亲60岁时，父亲年龄是小高的2倍，这是在18年后；同理，当父亲年龄是小高4倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“4”，差值为“3”，即30岁，则“1”为10岁，小高为10岁，那是在2年前．

例题2

答案：儿子8岁；爸爸32岁

详解：设年龄差为“6”，则儿子今年年龄为“2”，爸爸今年年龄为“8”，4年后，儿子年龄为“3”，爸爸年龄为“9”，则“1”为4年，那么儿子今年8岁，爸爸今年32岁．

例题3

答案：小高15岁；师傅27岁

详解：画“过去、现在、将来”图，如右图所示．设年龄差为“1”，发现“3”恰好是3岁到39岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在小高和师傅分别是15岁和27岁．

例题4

答案：20岁

详解：画出“过去、现在”图，如右图所示．设哥哥像弟弟现在这么大时，弟弟年龄为“1”，哥哥年龄为“3”，年龄差为“2”，则现在弟弟年龄“3”，哥哥年龄为“5”，年龄和为“8”，即是32岁，则“1”为4岁，所以哥哥现在20岁．

例题5

答案：36岁

详解：将父母年龄和看成一组，将兄弟二人年龄和看成一组，根据7倍和4倍，把两组年龄和之差统一为“6”．则1年前父母年龄和为“7”，兄弟年龄和为“1”，则4年后的父母年龄和为“8”，兄弟年龄和为“2”，则10岁为“1”，所以爸爸妈妈今年年龄和为72，所以妈妈今年36岁．

例题6

答案：28岁

详解：如右图所示，根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍，设弟弟上幼儿园时年龄为“1”，则哥哥获博士学位年龄为“7”，则现在弟弟年龄为“3”，哥哥年龄为“5”，两个人的年龄和为“8”，32岁，则“1”为4岁；那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁．

练习1

答案：5年前；6年前

详解：小高和父亲年龄差20岁，根据年龄差不变的性质，当父亲年龄是小高5倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“5”，差值为“4”，即20岁，则当小高5岁，父亲25岁时，父亲年龄是小高的5倍，这是在5年前；同理，当父亲年龄是小高6倍时，设小高年龄为“1”，父亲年龄为“6”，差值为“5”，即20岁，则“1”为4岁，小高为4岁，那是在6年前．

练习2

答案：30岁

详解：设年龄差为“2”，则儿子今年年龄为“1”，母亲今年年龄为“3”，10年后，儿子年龄为“2”，母亲年龄为“4”，则“1”为10年，那么儿子今年10岁，母亲今年30岁．

练习3

答案：亮亮36岁；叔叔48岁

简答：方法同例3，画出线段图，设年龄差为“1”，发现“3”恰好是24岁到60岁，即36岁，则“1”为12岁，所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁．

练习4

答案：21岁

简答：方法同例4，画出线段图，设姐姐像妹妹现在这么大时，妹妹年龄为“1”，姐姐年龄为“2”，年龄差为“1”，则现在妹妹年龄“2”，姐姐年龄为“3”，年龄和为“5”，即35岁，则“1”为7岁，所以姐姐现在21岁．

作业1

答案：2019年

简答：两人年龄差为岁．张伯伯年龄是小聪的3倍时，小聪的年龄为岁，这是在年后，为2019年．

作业2

答案：48岁

简答：设年龄差是“3”．今年父亲的年龄是“4”，今年儿子的年龄是“1”，24年后儿子的年龄是“3”，父亲年龄是“6”．“1”份是12年，今年父亲的年龄是岁．

作业3

答案：12岁

简答：当老二像老三那么大时，假设老三的年龄为“1”，则老二的年龄为“3”，老大的年龄为“4”，如下图所示．老三、老二的年龄差为“2”，则现在老三年龄为“3”，老二年龄为“5”，老大年龄为“6”，“1”为岁．因此现在老大12岁，老二10岁，老三6岁．

作业4

答案：4岁

简答：先根据父母年龄差2岁画出线段图，如下所示．从图中看出，由于爸爸比妈妈大2岁，所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁，比哥哥与妈妈年龄差大岁，所以哥哥和弟弟年龄差为4岁．

作业5

答案：19年后

简答：设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”，则5年前兄弟年龄和为“1”，明年兄弟年龄和为“3”，相差的“2”相当于年，即“1”相当于6年．5年前兄弟年龄和为6岁，父母年龄和为岁，今年兄弟年龄和为岁，父母年龄和为岁，父母年龄和与兄弟年龄和之差为岁．当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时，兄弟年龄和为岁，是在年后．

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【320030】【详解】四年级上第11讲_整数数列计算
2025-01-08
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第十一讲整数数列计算

例题1

答案：50

详解：原式共有50项，两个一组，共有25组，每一组都是2，所以这个算式的结果是．

例题2

答案：51

详解：
原式，
3~50共48个数，所以一共分了12组，原式．

例题3

答案：（1）332000；（2）2499；（3）210

详解：
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．

例题4

答案：28

详解：先算括号里面的：，
．

例题5

答案：1584

详解：
原式
．

例题6

答案：5000

详解：原式
．

练习1

答案：50

简答：原式共有100项，两个一组，共有50组，每一组都是1，所以这个算式的结果是．

练习2

答案：96

简答：原式，1~95连续奇数共有48个，所以共分了12组，原式．

练习3

答案：66

简答：原式

练习4

答案：10；6

简答：
（1）；
（2）．

作业1

答案：50

简答：原式，从1至99，公差为2的等差数列共有项，每两项为一组，共有25组，和= ．

作业2

答案：1000；2600

简答：（1）原式= ；
（2）原式= ．

作业3

答案：5050

简答：平方差公式，原式= ，和为5050．

作业4

答案：52

简答：根据运算规定：，．

作业5

答案：135

简答：三项为一组，共有10组：
原式=
可以看成首项为3，末项为27，公差为3的等差数列，和为．

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【320028】【详解】四年级上第09讲_统筹规划
2025-01-08
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第九讲统筹规划

例题1

答案：12分钟

详解：炒菜这道工序必须要等前面六道完成后才能去做，所以要放到最后；切豆腐、切肉片、准备葱姜蒜和准备佐料这四道工序都需要萱萱亲自完成，不可能一次同时做其中的两项；烧热锅和烧热油这两道工序比较特别，可以在做的时候同时去做其它事情，故最少需要分钟．

例题2

答案：按照A、D、C、E、B的顺序购买；30分钟

详解：第一个人买东西时，有4个人等着；第二个人买东西时，有3个人等着……因此尽可能让用时较少的人先买，即按照A、D、C、E、B的顺序购买，这样共需要等待分钟．

例题3

答案：18分钟

详解：先将左上角和右下角没有岔路的拐弯看成一条路，如图1．观察发现，如果要从C到D，经过E的路线比直接走更省时间．因此CD之间的路实际上没有用，可以将它去掉．类似的，我们也可以去掉右下角长为7的路．得到图2．这样容易看出，沿着5—1—10—2的路线前进，是最省时间的，用时为分钟．

例题4

答案：D校；220千米

详解：因为C校处在所有学校的中间，我们以C校为起点开始调整．
如果车站从C校搬到D校，A、B、C三所学校的名学生每人要多走100米，而D、E两所学校的名学生每人要少走100米．这样受益者更多，所以我们先把车站搬到D校．
如果继续搬到E校的话，A、B、C、D四所学校的名学生每人多走100米，而只有E校的600名学生每人少走100米，所以不再向E校搬，车站就修在D校门口．
以千米为单位算出总路程为 220千米．

例题5

答案：10700元

详解：把一台设备从运到武汉改为运到西安，北京的厂家要多付400元运费，而上海的厂家要多付300元运费，所以西安的设备都由上海提供时，能节省更多的运费．这时上海需要给西安提供5台设备，给武汉提供1台设备，北京给武汉提供10台设备，最少运费为元．

例题6

答案：76元

详解：5个一袋的（后用⑤表示）共8元，平均每个1元6毛；3个一袋的（后用③表示）共5元，平均每个要超过1元6毛，所以要尽量多的买⑤；
共要给47个同学买，所以可以买9袋⑤，另外买1袋③，共花费元；
但是，这个时候会多出一个，还是有点浪费，如果少买1袋⑤，则需要买3袋③，共花费元，且浪费2个，更不划算；
如果少买2袋⑤，则需要买4袋③，此时，共花费元，此时，花费最少，而且没有浪费．
再减少⑤，则不再划算了．

练习1

答案：16分钟

详解：先洗开水壶，接下来烧开水的同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共用时分钟．

练习2

答案：按照10-12-16-20-25的顺序；128分钟

详解：与例题2方法相同，最少需要分钟．

练习3

答案： 18分钟

简答：如图，逐步简化，去掉没有必要的路线．

练习4

答案： E到F之间的任意一点

简答：和例题4同理，应用调整法，汽车站应当建在E到F之间的任意一点．

作业1

答案：14分钟

简答：烧开水时可以下楼拿牛奶，煮牛奶时可以灌开水、擦桌子．

作业2

答案：21分钟

简答：花费时间少的人先打，注意本题要计算打水时间，分钟．

作业3

答案：12分钟

简答：如图进行化简．易得最少需要分钟．

作业4

答案：150米

简答：先假设车站建在中间的3号楼处．如果挪动到4号楼，有人多走50米，有人少走50米，因此建在4号楼更好．如果从4号楼挪动到5号楼，有个人多走50米，有5个人少走50米，因此建在4号楼是最好的，这时车站与1号楼相距150米．

作业5

答案：中国给印度60台、给日本40台，美国给日本40台；840万元

简答：同一台机器，目的地从日本换成印度，从中国运出时运费需要增加3万元，从美国运出时运费需要增加5万元．因此尽可能由中国供给印度，即中国给印度60台，给日本40台，美国的40台都给日本．运费共万元．

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【320029】【详解】四年级上第10讲_游戏策略
2025-01-08
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第十讲游戏策略

例题1

答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略

详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜．
（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚．之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子．最后1枚必然被乙拿到，甲胜．

例题2

答案：甲有必胜策略

详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同．4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴．，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．

例题3

答案：甲必胜

详解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．

例题4

答案：甲必胜

详

×

√

×

B

×

×

×

×

×

√

×

√

×

×

×

×

×

√

×

B

1

×

×

2

3

√

A

×

解：我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

例题5

答案：（1）甲必胜；（2）甲必胜

详解：（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．

√

×

√

×

√

×

B

1

×

×

2

3

√

×

√

A

×

√

×

√

×

√

×

B

×

×

×

×

×

×

×

√

×

√

×

√

×

√

×

×

×

×

×

×

×

√

×

√

×

√

×

√

A

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

B

×

×

×

×

√

×

×

×

×

×

×

×

√

×

×

√

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

A

×

×

√

×

×

×

例题6

答案：切走12个小方块

详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．
当剩2行（或2列）时，如果剩的方块，那么先切的人切完后成为的方块，所以后切的人必胜；如果剩、、…等情况，先切的人只要切剩下一个的方块就可以取胜．
当剩3行（或3列）时，如果剩的方块，先切的人切一刀后只能剩下或的方块，此时后切的人获胜．
当有块时，先切的人切走块，给对手留下一个的正方形，接着每次都给对手留下一个或的正方形即可获胜．

练习1

答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜

详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子，即可拿到最后1枚获胜．（2）甲先取2枚，剩下13枚．之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜．

练习2

答案：甲必胜

详解：，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜．

练习3

答案：甲必胜

简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．

练习4

答案：甲必胜

简

√

×

√

×

B

×

×

×

×

×

√

×

√

×

√

A

×

×

×

×

答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．

作业1

答案：先翻动的人必胜

简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚．

作业2

答案：乙必胜

简答：甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个．，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜．

作业3

答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜

简答：（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个．（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个．

作业4

答案：甲必胜

简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能继续画，甲胜．

作业5

答案：乙必胜

简

√

×

√

×

√

×

B

×

×

×

×

×

×

×

A

×

√

×

√

×

√

答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．

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