第十七讲 周期问题初步

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把里面的人物换成相应红字标明的人物．

我们生活中有很多周期现象：潮起潮落、黑夜白天的交替、春夏秋冬的循环等等．一天24个小时就是一个周期，因为一天过后，我们会重新计时；一周七天是一个周期，因为一周过后，我们又会从周一开始……

观察以下图片，你发现了什么？

像这样的一些数、图像和事物，按照周而复始的规律循环出现，这种特殊的规律问题称为周期问题．

例题1

如图所示：10幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第10幅图．

【提示】先找到小笑脸的旋转规律,它是按照顺时针还是逆时针旋转的？

练习1

如图所示：16幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画出第16幅图．

在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．

注意在有余数的除法中，余数要比除数小．

例题2

下面图形排列是有规律的，那么你知道第33个图形是什么？前33个图形中有几个“○”？

【提示】找一找规律，发现4个图形为一个周期．

练习2

下面图形排列是有规律的，那么你知道前面24个图形中共有多少个“○”吗？

例题3

有一列数按这样的方式排列：2、3、4、2、3、4、2、3、4……那么第20个数是几呢？这20个数的和又是多少呢？

【提示】几个数是一个周期？一个周期的和是多少？

练习3

有一列数按这样的方式排列：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4……第18个数是几呢？这18个数的和又是多少呢？

例题4

图图肚子饿了，便对妈妈说：“我要吃红烧肉红烧肉红烧肉……”请问图图说的第29个字是什么？前29个字中有几个“红”？

【提示】对于开头比较特殊的周期问题，我们可以先把特殊部分去掉．

练习4

有一列数按这样的方式排列：3、9、4、3、2、1、4、3、2、1……请问第39个数字是什么？前39个数字的和是多少？

例题5

如下表所示，表格中每行文字都是循环出现的：第一行是“猫和老鼠”4个汉字不断重复，第二行是“熊出没”3个汉字不断重复．那么第36列从上到下依次是哪两个汉字？

猫

和

老

鼠

猫

和

老

鼠

猫

和

老

鼠

…

熊

出

没

熊

出

没

熊

出

没

熊

出

没

…

【提示】多重周期问题，我们要分别去看它们的周期．

例题6

求2×2×……×2（2008个2相乘）+ 3×3×……×3（2009个3相乘）的个位数字．

【提示】一个2相乘末尾是2，2×2的末尾是4，2×2×2的末尾是8……以此类推找规律．

课堂内外

生活中的周期

生活中有许多的事物不断地周而复始．比如，地球365天左右绕太阳公转一周，同时每24小时自转一次；钟表每天嘀嗒嘀嗒地走个不停，时针每12小时转一周，分针每60分钟转一周，秒针每60秒转一周；人类一个星期接着一个星期地学习、工作；春夏秋冬年年复、春播秋种年年重、候鸟每年南迁北徙……这些都是周期现象．

数学中也有这样的现象：任意选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数．用所得结果的四位数重复上述过程，最多七步，必得6174．

如：9963－3699=6264

6642－2466=4176

7641－1467=6174

作业

1. 如图所示，9幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画出，请按照规律先画出第4幅图，再画

出第9幅图．

2. 找出下面图形排列的规律，根据规律算出前面30个图形中共有几个○？

3. 有一列数按这样的方式排列：2、4、6、8、2、4、6、8、2、4、6、8……那么第15个数是几？前15个数的和是几？

4. 有一组有规律的文字：我有大头下雨不愁下雨不愁下雨不愁……那么第19个字是几？前19个字中有几个“雨”？

5. 如下表所示：表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“天道酬勤”4个汉字不断重复，第二行是“革命尚未成功”6个汉字不断重复．那么第30列从上到下的两个汉字依次是什么？

天

道

酬

勤

天

道

酬

勤

天

道

酬

勤

…

革

命

尚

未

成

功

革

命

尚

未

成

功

…