【330075】17.3 一元二次方程根的判别式

17.3一元二次方程根的判别式

教学目标

1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)

2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．

教学过程

一、情境导入

1．你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？

2．能力展示：分组比赛解方程．

(1)x²＋4＝4x；

(2)x²＋2x＝3；

(3)x²－x＋2＝0.

3．发现问题

观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？

二、合作探究

探究点：一元二次方程根的判别式

【类型一】 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况

已知一元二次方程x²＋x＝1，下列判断正确的是(　　)

A．该方程有两个相等的实数根

B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根

D．该方程根的情况不确定

解析：原方程变形为x²＋x－1＝0.∵b²－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.

方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax²＋bx＋c＝0(a≠0)．当b²－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b²－4ac＜0时，方程无实数根．

【类型二】 根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围

若关于x的一元二次方程kx²－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

A．k>－1 B．k>－1且k≠0

C．k<1 D．k<1且k≠0

解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b²－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0.故选B.

易错提醒：利用b²－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.

【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合

已知a，b，c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b²x²＋(b²＋c²－a²)x＋c²＝0没有实数根．

解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三条边的长可知a，b，c都是正数．由三角形的三边关系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a.

证明：∵b为三角形一边的长，∴b≠0，∴b²≠0，∴b²x²＋(b²＋c²－a²)x＋c²＝0是关于x的一元二次方程．∴Δ＝(b²＋c²－a²)²－4b²c²＝(b²＋c²－a²＋2bc)(b²＋c²－a²－2bc)＝[(b＋c)²－a²][(b－c)²－a²]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．

方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．

【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题

是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m²x²－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：不存在，理由如下：

假设m²x²－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]²－4m²>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.

而当m＝0时，原方程m²x²－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．

∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．

易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．

三、板书设计

教学反思

本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.